OS
d'où
, 2 sin r cos i 4 sin r cos i
sin i cos I + sm r cos r sinai+sinar
et enfin
, 2 sin r cos I
sin (i-+-r) cos(j: — r)
Dans le cas où la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence, nous avons trouvé pour Tamplitude du rayon réfracté
2 sin r cos i w = — r
sin (i-hr)
On voit que le rapport - est très-simple et a pour valeur — rzr'\ ' Ici encore l'intensité du rayon réfracté est égale à mu'^ : elle a donc pour expression
Tir si" ^ ^'^* ^ ^ si"* ^ ^os' '
^ sin/'cosi sin*(i-+-yjcos*{i — r)'
d'où
«, sin y sin 2 y]
* sin* (i + r) cos*(i — r) '
On peut encore obtenir cette expression au moyen de l'équation
qui donne
4»./î . tangM/-r)
d'où , par des transformations faciles ,
sin 21 sin 2r
mw'^ = -V
sin*(i-»-r)cos*(i — /') La discussion de la valeur de R|' se réduit donc à celle de la
Pour l'incidence normale, c'est-à-dire lorsque t==o, on a, en
tanfiffi r)
remplaçant les tangentes par les arcs pour la quantité ^^p^.- ;>
la valeur 1^^ y/ et par suite, pour mu'^ ou R', , la valeur .^^ ., que
THÉORIE DÉ FRESNEL /i25
nous avons déjà trouvée dans le cas oh la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence.
Lorsque Tangle d'incidence t croît depuis zéro jusqu'à la valeur
pour laquelle on 31 + ^=90 degrés, la quantité ^^^^,. : va en
décroissant, et par suite l'intensité du rayon réfracté va en croissant. Lorsque l'angle 1 varie depuis cette valeur jusqu'à 90 degrés, si le second milieu est plus réfringent que le premier, ou jusqu'à la valeur
pour laquelle r = 90 degrés si c'est l'inversé, la quantité r~^f — t|
va en croissant, et par suite l'intensité du rayon réfracté va en diminuant, et elle s'annule pour i== 90 degrés ou pour r= 90 degrés, suivant la nature des deux milieux. On voit donc que, lorsque la lumière incidente est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, le rayon réfracté a son intensité maximum quand Tincidencc est celle de la polarisation complète. Cette intensité est égale à l'unité ot le rayon réfléchi est complètement éteint.
320. néfractioii de la lumière polarisée dan» un plan queleoii«|ue. — Le cas de la lumière polarisée dans un plan quelconque se ramène aux deux précédents. On décompose le rayon incident en deux rayons polarisés l'un dans le plan d'incidence, l'autre per|jendiculairement à ce plan, et dont les amplitudes sont, en prenant pour unité l'amplitude du rayon incident et désignant par a l'angle du plan de polarisation avec le plan d'incidence, cos a et sin a. Les composantes de l'amplitude du rayon réfracté sont donc respectivement ticosa et li'sina : comme le rapport de ces composantes est indépendant du temps, le rayon réfracté est polarisé rectilignement et l'angle de son plan de polaiîsation avec le plan d'incidence, angle que nous appellerons y, est donné par l'équation
M. «' I ta ne a
tane y = ~ tane a -= -^ — 7 •
^^ n o cos II — /j
tangy est de même signe que tanga, car 1 — r est toujours compris entre — 90 et +90 degrés, et par suite cos («- r) est toujours positif; donc le plan de polarisation du rayon réfracté est toujours du même côté du plan d'incidence que le plan de polarisation du rayon inci-
VcRDET, Vf. — Oplirpii*, II. .iH
dent, et, comme tang y est plus grand que iang a, on volt que par Teffet de la réfraction le plan de polarisation 8*éloigne du plan d'incidence et se rapproche du plan perpendiculaire. C'est l'inverse de ce qui a lieu pour la réflexion.
Sous l'incidence normale, on a t = o et r=o et par suite y ==o: le plan de polarisation n'est pas dévié.
Quand l'incidence t augmente depuis zéro jusqu'à 90 degrés, si le second milieu est plus réfringent que le premier; jusqu'à la valeur correspondante à la réflexion totale, dans le cas inverse., cos(t — r) diminue et tang y augmente. La déviation du plan de polarisation du rayon réfracté va donc en augmentant avec l'incidence et atteint sa valeur maximum pour l'incidence rasante ou pour celle qui correspond à la limite de la réflexion totale, suivant la nature des milieux.
L'angle 7 ne peut jamais, par une seule réfraction, devenir droit, car, pour aucune valeur de t, on n'a t — r=90 degrés; la lumière, après une seule réfraction, ne peut donc jamais être polarisée dans un plan perpendiculaire au plan d'incidence. Mais, si on fait passer la lumière à travers une série de milieux à faces parallèles, par exemple à travers une pile de glaces , l'angle y^ que fait le plan de polarisation du rayon réfracté qui a traversé n glaces avec le plan d'incidence est donné par la relation
tang a
donc l'angle y„ tend vers 90 degrés quand le nombre des glaces augmente. Cette remarque est utile pour expliquer l'action des piles de glaces sur la lumière polarisée dans un plan quelconque.
Cherchons maintenant l'amplitude U et l'intensité R^ du rayon réfracté. On aura évidemment
U=\/tt2cos2^ + ^'2sin2a,
d'où, d'après les valeurs trouvées plus haut pour u et ti'.
Ll = îi sinrcosf 1 /-T--7; — i+'^-Tr — r-nnn — r*
Ysm*'-»-^ sin* i-Kr)ca8* '— '*
THÉORIE DE PRESNEL 427
Quant à l'intensité, elle est représentée par mll^, ce qui donne
Rn sinicosr , . ^ „ .r cos*a , sin' a H
* smrcosi Lsin*(/-+-r) sin*(/+r)cos*(/ — rj J
et, en réduisant,
TXH ' • -F cos*a , sin*a '|
' Lsin* (/ + r) sin* [i-^r] cos* [i — r)}
