sin ai sin ar

2 si n* (/ -h r) cos* (i — r)

Donc, quand la lumière naturelle se réfracte, l'intensité de la lumière réfractée a pour expression

|j« 1 sin ai sin ar i sin a/sin ar

^ a si n' (' + r) 2 sin* (i h- r) cos* (/ — r)

•uS.

ou bien

p. 1 sin 21 sin ^f [ , i l

* a si n* (/ -h /•) L ^Oîj* (« - r) J '

Les valeurs des intensités des deux composantes de la lumière réfractée montrent qu'elle peut être considérée comme composée d'une proportion de lumière naturelle ayant pour intensité

sin 31 sin sr

sin*(/+r)

et d'une proportion de lumière polarisée perpendiculairement au |)Ian d'incidence ayant pour intensité

smafsmar ismaismsr

3 si n* (f + /') cos* (/ — /•) a si n* (/ -h r)

H résulte de là que la lumière réfractée est partiellement pola* risée et qu'elle a pour plan de polarisation partielle un plan perpendiculaire au plan d'incidence. L'expression qui représente la proportion de lumière naturelle ne pouvant jamais devenir nulle, il faut en conclure que la lumière naturelle ne peut jamais être polarisée complètement par une seule réfraction.

11 n'en est plus de même si la lumière naturelle se réfracte à travers une série de milieux k faces parallèles, par exemple à travers une pile de ^aces. Après n réfractions, en effet, on a pour l'inten* site de la lumière polarisée dans le plan d'incidence

i rsina/sinar]«

2 L sin*(i-hr) J

et pour l'intensité de la lumière polarisée perpendiculairement au

plan d'incidence,

1 I' sin ai sin ar In

a L si n* (/ 4- /•) ros* (/ — /•) J

Le rapport de la première intensité à la seconde est cos"(i — r) et tend vers zéro quand n augmente indéfiniment, d'où l'on conclut que la lumière naturelle transmise à travers une pile de glaces se rapproche d'autant plus d'être complètement polarisée perpendiculairement au plan d'incidence que le nombre des glaces est plus considérable.

THËOAIË DE FKESNËL. ^29

L'intensité dd la portion de la iumièire réfractée qu on peut considérer, après une seule réfraction , comme polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, est

I sin 2i sin 'ir i sin lisin ar

3 sin*(/-4-r)cos*(£--r) a sin^t-hr)

ce qui peut s écrire

1 sin 'itsiii ar [ i a si 11* (' + '') LC0s*(i— r) P ou enfin

I sin aisinarsin'C — r)

a sin* (i + r) cos* (/ — r)

Dans le cas de la réflexion de la lumière naturelle , nous avons trouvé, pour l'expression de l'intensité de la lumière qu'on peut considérer comme polarisée dans le pian d'incidence,

! rsin*(« — r) tang*(i — r)"| a Lsin*(t+r) tang* (/-«-/') J '

ce qui peut s'écrire

i sin* (i — /•) [ cos*(/4-r) 1

a si 11* (i •+- /•) L cos* (/ — /•) J

ou

1 si II* (/ - /•) fcos* a — r) — ces* (< -♦- /') a siii-(/-Hr

ou encore

) fcos* a — r) — ces* (i •+■ r) 1 )L cos*(«-r) J

1 sin* (i - /•) [ cos (/ — /•) H- cos (i ■+• r)] [ cos (i - /•) — cos [i + r)] a si n* (i + /) cos* {i — /•)

ou entin

1 sin ai sin ar sin*(i— r)

a si n* («■*-'') cos* (i—r)

expression identique à celle que nous venons de trouver pour l'intensité de la partie polarisée de la lumière réfractée. Ainsi, quand la lumière naturelle tombe sur la surface de séparation de deux mi* lieux, les quantités absolues de lumière polarisée qui se trouvent dans la lumière réfléchie et dans la lumière réfractée sont égales, mais il y en a relativement inoins dans l'une que dans l'autre, car

/i30 RÉFLEXION ET RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE,

les quantités totales de lumière réfléchie et de lumière réfractée ne sont pas égales. Cette remarque nous sera souvent utile par la suite.

322. Béllexloii totale. — Dans le cas où le second milieu est moins réfringent que le premier, nous avons laissé de côté le cas de la réflexion totale. Lorsqu'en effet l'angle d'incidence devient supérieur à la valeur pour laquelle on a r = 90 degrés, on trouve pour sin r une valeur supérieure à l'unité ; cet angle devient donc imaginaire , et les formules qui donnent les amplitudes et les intensités de la lumière réfractée et réfléchie sont inapplicables.

Examinons d'abord le cas où la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence. L'expérience nous montre alors que, toutes les fois que l'angle t dépasse la valeur pour laquelle r est égal à 90 degrés, il n'y a plus de rayon réfracté, et le rayon réfléchi est égal en intensité au rayon incident et polarisé comme lui dans le plan d'incidence. La théorie confirme ce résultat : le principe de Huyghens montre que dans le second milieu les mouvements vibratoires se détruisent tous à partir d'une très-petite distance de la surface de séparation. Le principe des forces vives exige que le rayon réfléchi soit égal en intensité au rayon incident, du moment qu'il n'y a plus de rayon réfracté; et enfin, par raison de symétrie, le rayou réfléchi doit être polarisé dans le plan d'incidence.

Cependant la formule que nous avons établie pour déterminer l'amplitude du rayon réfléchi dans le cas où la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence, formule qui est

sin(i — r) sm(!-f-r)

donne une valeur imaginaire pour v quand, le second milieu étant moins réfringent que le premier, t dépasse la valeur pour laquelle r=90 degrés, c'est à-dire lorsqu'il y a réflexion totale, car alors on a , en remplaçant sin r par sa valeur n sin i,

siniVj — «*sin*i— nsinicos/

sin i\/ 1 — n* sin* / + n sin i cos i Pour les \tileurs de t supérirurci! à colle qui donne r = ()o degrés,

on a iisini^>i; donc les quantités placées sons les radicaux sont négatives et l'expression de v devient imaginaire. On peut même donner à cette expression la forme ordinaire des expressions algébriques imaginaires : il suffit d'écrire

n sin i cos i — si n i v/n* sin* i - i v/— i nsinicos«4-sini\/n*sin*i— I y/- i

Puisqu'il y a là une contradiction entre Texpérience et les conséquences déduites de la théorie, il faut que les principes sur lesquels s'appuie cette théorie aient quelque chose d'inexact, du moins dans le cas qui nous occupe. Le premier et le second principe ne sont pas attaquables et ne peuvent être en défaut. On ne peut non plus toucher au quatrième principe , qui regarde la constitution de l'éther, sans renverser toute la théorie de Fresnel , car si ce principe était inexact dans le cas de la réflexion totale , il devrait l'être dans tous les autres cas.

Reste donc le troisième principe, qui suppose que les changements de vitesse ont lieu brusquement à la surface de séparation , de sorte que les trois rayons incident, réfléchi et réfracté ont pour vitesses, au point d'incidence et au temps t,

sinQTTrjo vsia-Y^ usmav^)

V et u ayant les mêmes valeurs au point d'incidence qu'à une distance finie de la surface de séparation dans les deux milieux, et alors le second principe nous donne la relation

En particulier, pour le cas que nous traitons, l'amplitude u devient nulle à une petite distance de la surface de séparation dans le second milieu, et, si nous admettons que cette amplitude soit aussi nulle à la surface même, nous aurons t>>=— i, c'est-à-dire que la vitesse de vibration du rayon réfléchi au point d'incidence est à chaque instant égale et de signe contraire à celle du rayon incident. Mais cette supposition, que l'amplitude u est nulle jusque sur la surface de séparation, dépasse les données de la théorie; le principe de Huyghcns nous apprend seulement que le mouvement réfracté

/i32 RÉFLEXION ET RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE.

cesse à une petite distance de la surface, mais rien ne prouve qu'il soit nul à la surface même. Admettons donc que le mouvement réfracté ne soit pas nul à la surface de séparation, et alors les équations que nous avons posées seront inexactes.

La vitesse du rayon réfléchi n'est plus égale à la vitesse du rayon incident , mais bien à la différence entre la vitesse du rayon incident et celle du rayon réfracté au point d'incidence. D'ailleurs, la force vive du rayon incident, qui, dans le cas général, se partage entre le rayon réfléchi et le rayon réfracté , devra , dans le cas particulier que nous examinons, revenir tout entière au rayon réfléchi, puisque le mouvement réfracté s'arrête à très-peu de distance de la surface, d'où Ton conclut que l'intensité du rayon réfléchi doit être égale à celle du rayon incident. Mais, si le rayon réfléchi et le rayon incident ont même intensité et par suite même amplitude, pour qu'au point d'incidence leurs vitesses de vibration ne soient pas égales au même moment, comme cela a lieu dans la supposition que nous avons faite, il faut que leurs phases soient différentes, que le mouvement vibratoire, étant représenté au point d'incidence sur le rayon

incident par sin 27r;p^ soit représenté en ce même point sur le

rayon réfléchi par sin stt ('T ""t) *

Dans le cas ordinaire de la réflexion, c'est le contraire qui a lieu; les amplitudes sur le rayon réfléchi et sur le rayon incident ne sont pas égales, mais la phase est la même sur les deux rayons au point d'incidence , et les deux mouvements vibratoires sont représentés au

point d'incidence par sin ùttj et par «?sin aw^;' C'est de ces nouvelles données qu'il faudrait partir pour rendre compte des phénomènes de la réflexion totale.

323. Interprétotloii conjecturale de* exprcMiioMi taift- Sinairee. — Au lieu d'aborder ainsi à nouveau l'étude de la réflexion dans le cas particulier de la réflexion totale et de chercher à déterminer la différence de phase entre les rayons incident et réfléchi au ])oint d'incidence, Fresnel a cherché à tirer parti des formules obtenues pour le cas ordinaire de la réflexion ^^K

^') Ami. fie chim. et df phys., («0, XXIX, 175. — Œiivret cumplèlpn, I, l»5*^.

THÉORIE DK FRESNEL. â33

Dans le cas de la réflexion totale, raïuplitode v du rayon réfléchi

prend la forme a+b\/— i . Or, dans un grand nombre de problèmes géométriques 9 quand on trouve sous une pareille forme la solution d'un problème dont l'énoncé a été trop restreint, on arrive k un ré* sultat exact en interprétant cette solution de la manière suivante : les quantités a et i ne doivent pas être portées à la suite Tune de* l'autre comme si on avait h construire une ligne égale h a + b, mais on doit prendre un point 0, mener pur ce point une droite quelconque sur laquelle on prend, à partir du point 0, une longueur a, puis, par le même point, une seconde droite perpendiculaire à la première, sur laquelle on prend k partir du même point 0 une

longueur égale k b,ei a + b V- i représente la longueur de la ligne (|ui joint les deux points ainsi obtenus, c'est-à-dire l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont a et b sont les côtés. D'après cela le

résultat a + b\'— i indique que, si on avait rectifié convenablement

les données du problème, on aurait trouvé pour solution \'a^-\-b-.

Fresnel a appliqué ce mode d'interprétation à la question qui

nous occupe. H a remarqué que, le mouvement vibratoire sur le

rayon incident étant représenté par sin tànfr^y le mouvement vibratoire sur le rayon réfléchi peut toujours être représenté par

A sin !i?r rj- + B cos aw «p »

A et B étant deux constantes. L'amplitude du rayon réfléchi est

alors égale à V A^+B^. D'autre part les formules générales nous conduisent, pour l'expression de cette amplitude, à une solution de la

forme a + b\'— t ; nous interpréterons cette solution en faisant rt = A et i = B, c'est-à-dire en supposant que a + b\^— i soit équivalent à vV + A^

Il n'y a là en réalité qu'une analogie avec un résultat géométrique, résultat qui lui-même n'est pas nécessaire et qui souvent ne donne aucune solution répondant à la question. En un mot ce n'est (|u'une conjecture; mais nous ne devons pas moins nous assurer si elle conduit à des conséquences vérifiables par l'expérience, et si ces

/k3& RÉFLEXION ET RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE.

conséquences sont en effet vérifiées, auquel cas la conjecture sérail justifiée.

Commençons par mettre l'expression de v sous la fonne a+h\/— i : nous aurons

nsin I cosi— sin iy/n^sin^i" i \/—i

nsin I cosi-f sin tYn'sin*t — 1 y/^ ou, en faisant disparaître le radical du dénominateur,

fi*sin*i cos'i--n*sin*i-fsin*j — 2/isin'iC0siv/'i*sin'i— i \/^

n*sin*icos*i-f sin*i(n'sin*i— i)

d*oî

ou

n^-h 1 — 2n*sm*i— an cos i \/n*8in*i—i\/— i