V^ ÎL- V
et enfin
n*-hi — 2H*sin*i 2ficosiV'ï*»in*i— 1 /
D'autre part, l'expression
A sin îiTT q^ + B €os âTT ,j, peut s'écrire
V^V*^+ B^ sin (^vj + arc tang jj
v/A'^+B'-* représente l'amplitude v du rayon réfléchi et arc tang t
est la différence de phase entre le rayon réfléchi et le rayon incident au point d'incidence.
Si l'on admet que, pour avoir l'intensité du rayon réfléchi, il faille prendre la somme des carrés de la partie réelle et du coefficient
de v/— J dans la partie imaginaire de l'expression de v, ce qui revient à remplacer a + b v/— t par yjd^ + 6^, on aura pour cette intensité R
p (w*-i- 1 —2n*sin* /)*-+- 4n*co8'i(n*sin*i— i)
K (jjrrTT
d'oh
n («*+ iy-h4yt*sin*t'— 4yi'(yt*-f-i)sin*t— 4yt*cos*f
THÉORIE DE FRESNEL. â35
et enfin
(Fl«-1)*
Nous trouvons donc ainsi que Tintensité du rayon réfléchi est égale à celle du rayon incident, comme le prouvent Texpérience et la théorie.
Quant h la différence de phase du rayon incident et du rayon réfléchi au point d'incidence, si on représente le mouvement vibra*
loire sur le rayon réfléchi par srn ^w f tk — ^) i elle est égale à qtt ^ • On a donc
aw ^ = arc tang -r » tang *-^^ ^ = t '
Pou
<P aftcosi\Aï*sîri*i---i
tanff 3 71 T = i — ± ' 9' '
o A n-n*-2/i*sm*i
Telle est la formule que l'expérience doit vérifier quand le rayon incident est polarisé dans le plan d'incidence.
Tout ce qui vient d'être dit peut s'appliquer au cas où le rayon réfléchi est polarisé perpendiculairement au plan d'incidence ; seulement il faut prendre v' au lieu de v. Par un calcul analogue à celui que nous avons fait pour v, nous pouvons mettre v' sous la forme
, sin i cos /— nsin iV'i^sin* i — i v — > sin I cos 1 4- n sin i ^n'sin* / - i y/— i
ou
, 1 -»-u--(/i*4-i)sin*i a/icx)Sf\//t''sin''t— i
^ ~ (/i^~i)t(n*-hi)sin«j-ij""(rt»-i)[(Fi*H-i)sin«t-i] ^"^ * *
Les quantités réprésentées par A et B ont donc ici pour valeur
4 i-i-yi*— (n*+i)sin*i ^ ancosi'y/n'sin*/- 1
~(n*— i)[(n*-hi)sin*i — i]' """ (Fi*-i)[(R*-i-i)sin*j— i]*-
L'intensité de la lumière réfléchie sera encore égale à A^ + B-, ce qui donnera, tous calculs faits, une valeur égale à l'unité.
Si Ton désigne par ^^y la différence de phase entre le rayon incident et le rayon réfléchi au point d'incidence, on aura
0' B ancost\/w*sin'i- i
" A A l-h/l*— (/l*H-l)Sin*l
Ainsi, les différences de phase sont données, lorsque la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence , par hi relation
(b îiHcostV'i*sin'i— 1 tane aw-I — , . ,. ^
et, lorsque celte lumière est polarisée peq)endiculairement au plan d'incidence, par la relation
0' 2/icosj\/'t*sin*/— 1
tang 'i-n j -- - , ^„.(„.^ ,),;„.,- •
32â. PelarlMitieii elliptique «u eireulaire produite par la réflexien fetele. — La difficulté qu il y a à mesurer les différences de phase empêche de vérifier directement par rexpérience les formules que nous venons de trouver; mais elles peuvent trouver une vérification indirecte si Ton fait réfléchir totalement de la lumière polarisée dans un plan faisant avec le plan d'incidence un angle quelconque a. Un rayon de cette lumière peut se décomposer en deux rayons, l'un polarisé dans le plan d'incidence et l'autre dans un plan perpendiculaire. Les rayons réfléchis correspondant i\ ces deux rayons auront pour amplitude cos a et sin a , et présenteront avec les rayons incidents dont ils proviennent des différences de
phase égales respectivement à aw^età awy- Le rayon réfléchi
résultant de la combinaison de ces deux rayons sera donc polarisé elliptiquement, puisque les deux composantes rectangulaires de ce rayon sont inégales en amplitude et ont une différence de phase. La différence de phase entre les deux composantes du rayon ré-
fléchi est égale à un --c-^-» et nous allons chercher a la déterminer.
Posons
tangU7r^==j. tang97r^=^-,,
THEORIE DE KRESNEL. 437
nous aurons
vVh-/>*
SinMTTy =
ijiiù An > , -— ^
\/rt«+ fc*»
cos 9ir v^
d'où y en remplaçant a, h, h' par leurs valeurs,
<p— ^' 4«'cos'i(ii*8in*i — i)4-(i4-n*— 2w*sin'i)[i 4-w'— (nVi)sîn*jJ
/[4 fi* COS* / (fi*si n* « ~ 1 ) + ( iH- n- - a /i* si n* «)*] { 4 n* cos* / (/i* si ii- / — i ) y +[i4-ii*-(/i*-Hi)sin»/]*!
Toutes réductions faites, on trouve
<p— 0' 1 — (i -i-n*)sin*j-h2ii'sin*/
cos *î7r-^— Y-*- = ; ., ♦ ,-
A (i -h/i*)sin*f — 1
On a donc dans le plan d'incidence et dans le plan perpendiculaire deux rayons polarisés à angle droit, ayant des intensités proportionnelles à sin^a et à cos^ a et ayant pour différence de phase la
quantité ^^ x ^^^^ ^^^^ venons de déterminer le cosinus. Le
rayon réfléchi qui résulte de la composition de ces deux rayons sera polarisé elliptiquement, à moins que la différence de phase ne soit nulle, auquel cas la lumière serait polarisée rectilignement dans le plan primitif.
On a dans ce ras
cos 37r > =^- 1 ,
d'où
1 — (i +w'^)sin^î + 'W<-sin*t=--(«2+ i)sin^i— i,
d'où encore
n^ sin'* i' — ( 1 -h n-^) sin^ t + i = o .
On tire de cette équation
sin^i= — r"^V/ / / i
&38 RÉFLEXION ET RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE, d'où
sin^ ï = — r =*= — r •
Les deux valeurs de sin^t sont i et —^^ et par suite les deux valeurs de sint sont i et ;-; donc la lumière réfléchie totalement est
polarisée rectilignement sous Tincidence rasante et sous Imcidence limite de la réflexion totale. 11 n'y a pas lieu de chercher ce qui
arrive quand cosstt ^ \ «=— i, c*est-à-dire quand 9^ j^ ^^
égal à une demi-circonférence, car chacun des arcs qw v- et âwy est moindre qu'une demi-circonférence,
La lumière réfléchie totalement n'est donc polarisée rectilignement qu'aux deux limites de la réflexion totale; dans ces deux cas la diiïé-
rence de phase 97r J^ est nulle; dans l'intervalle elle croît pour décroître ensuite : elle passe donc par un maximum. Ce maximum
correspond à un minimum de cos air ^ > • En annulant la dérivée de celte dernière expression, on obtient la relation
(i+«^)sin^i — â = o, d'où
Sous cotte incidence on a
cos QW ^—^ = —- ^ -^
i -h n* d'où
cos9,r-f^= (i+ny
Pour le verre, n = -; c'est sous l'incidence représentée par sin^ ' ~T3 que la différence de phase est un maximum; elle a alors pour co*
sinus -gS» qui est un peu plus petit que — » cosinus de 45 degrés.
THEORIE DE PRESNEL. &39
La différence de phase maximum dépasse un peu j et la différence de marche ^— <P' est un peu plus grande que - •
Si Ton a ^^ x "â ^^ ^^ aw •^-y^ = o, les axes de l'ellipse sont dans le plan d'incidence et dans le plan perpendiculaire. On a alors, pour déterminer l'incidence t, l'équation
Q»^ sin* t — (i 4- n^) sin^ t + 1 = o, d'où
sm^ t =» —-; —
lin*
Si , sous cette incidence , l'angle a du plan de polarisation de la lumière incidente avec le plan d'incidence est de &5 degrés, la lumière réfléchie totalement sera polarisée circulairement. C'est là un moyen de vérifier expérimentalement les formules.
Pour le verre , il est évident que la polarisation circulaire ne peut avoir lieu, puisque la différence de phase, lorsqu'elle est ù sa valeur
maximum , dépasse à peine -7 *
D'ailleurs, la formule qui donne t montre que, pour que la polarisation circulaire puisse avoir lieu , il faut que l'on ait
ou
ce qui a lieu si l'on a
car on ne peut avoir n^<: 3 — v^8, qui est la plus petite des racines. Pour toutes les substances monoréfringentes, comme le verre, n est
moindre que y 3 + v^8. Le plus grand indice est celui du diamant,
qui surpasse de très-peu y 3 + \/S , mais ce corps ne peut être employé pour d'autres motifs. Pour trouver un indice notablement
supérieur à y 3 + v^8, il faut aller jusqu'au réaigar, qui a pour indice. a, 8, mais qui est fortement coloré et auquel la théorie de Fresnel ne s'applique pas.
La vérification qui consisterait à constater la production de la lumière polarisée circulairement par une seule réflexion totale n'est donc pas possible ; mais elle peut conduire à d'autres vérifications possibles. La difl'érence de phase des rayons réfléchis ne dépendant que de l'angle d'incidence, on peut choisir cet angle de façon que
la différence de phase des deux rayons réfléchis soit égale à -t' et si
alors on fait réfléchir une seconde fois la lumière sous la même incidence et dans le même milieu, on aura après la seconde réflexion,
entre les deux rayons réfléchis, une différence de phase égale à ->
et, si l'angle a est égal à 45 degrés, la lumière deux fois réfléchie sera polarisée circulairement. On peut aussi produire une différence
de phase égale à .- et faire réfléchir trois fois la lumière, ou une
diff'érencc de phase de ^ et faire réfléchir quatre fois la lumière, et ainsi de suite.
Pour que la difl<»rence de phase soit égale à 71 il faut que l'on ait
COS 9.'lt . =- ^^— 1 A 1
d'où
5i - 9(1 +M-)sin^ t+ 4«^sin^/ = v':^ (1 +w^) sin*i - V^î^» et en simplifiant,
4n2sin*i — (*î +\ a)(i + w^) sin^/+ *î +\ -? =■ 0.
On tire de là
sm I— ^^,
ou
(,.v^)„„,.^(,,^«).,,,,„..,„.(,,vi)
sin^ î ==
dette expression est réelle pour le verre et pour les milieux analogues, dont l'indice varie do i,4 à 1,6.
THEORIK DE KKËSiNEL !i!i\
Pour une différence de phase égale à ^^ on a
COS 9.7r X ^- -
ce qui donne
sin* I =
Si la différence de phase est t. ^ on a
^ — 9 V^-hV/!*
COS ^.TT i- r-ï- =» 5^ »
et ainsi de suite.
On a donc là une série de vérifications expérimentales très-simples. On trouve deux valeurs pour l'incidence i, ce qui tient à ce que , de part et d'autre de la valeur de l'incidence qui correspond à la différence de phase maximum, il y a deux valeurs de l'incidence qui correspondent h des différences de phase égales entre elles.
Verdet, VI. — Opliqiu», 11. jy
VRRrKrCATlONS fîXPRRniENT\LES DE LA THÉORIE DE FRBSNEL
