GO

DIM'OSI I IO.N OKOMhTMQUK

spire; tandis que, dans un grand nombre, on compte plus de deux tours de spire, et plus de cinq feuilles.

Uitjioiiiion ,tu- L’arrangement le plus simple est celui que nous présentent les feuilles distiques, celles qui, comme vous savez (p. 177), sont à la fois alternes et placées sur deux rangs. Il est bien clair, en effet, qu’ici la troisième feuille sera insérée immédiatement an-dessusde la première; donc deux feuilles nous suffisent pour arriver à celle troisième, cl il est absolument impossible qu’elles fournissent plus d’un tour de spire.

i-trcif. Dans toute disposition, on appelle cycle ( cychts ) un sys-

tème de feuilles chez lequel, après un certain nombre de tours de spire, on trouve une feuille qui recouvre celle d’où l’on est parti. La feuille qui recouvre ainsi la première commence un nouveau cycle.

D’après ce que je vous ai dit tout à l’heure, il est évident qu’un cycle peut comprendre un ou plusieurs tours de spire et un nombre de feuilles plus ou moins considérable. Deux choses sont donc à considérer dans le cycle : le nombre de feuilles qui le composent, et le nombre de tours de spire que forment ces mêmes feuilles.

Manier* a* i* Pour faire connaître la nature d’un cycle quelconque, on indique par une fraction les deux nombres qui doivent nécessairement le caractériser. Le dénominateur exprime le nombre de feuilles que le cycle comprend, et le numérateur celui des tours de spire : ainsi la fraction 2/5 représentera le quinconce, et la fraction 1/2 la disposition distique.

Il ne faut pas croire que ce mode de désignation soit arbitraire : en effet, en même temps que la fraction indique flfc. le nombre de feuilles et celui des tours despire, elle indique aussi la distance qui existe, dans le sens horizontal, d’unedes feuilles du cycle à la feuille la plus voisine, ou, comme l’on dit,

DES FEUILLES

la divergence ( divergentia ). Si, par la pensée, nous rappro- u ebons, dans Un inénae plan horizontal, toutes les feuilles d’un cycle, il est clair qu’elles formeront un cercle autour de la tige, et la distance de l’une à l’autre sera déterminée par l’arc qui mesurerait l'angle dù à deux plans passant à la fois parles feuilles et l’axe géométrique de la tige. Quand les feuilles sont distiques, nous avons un tour de spire et deux leuilles; donc ces deux feuilles, ramenées dans un même plan , se partageraient le cercle ou 3(i0 degrés; par conséquent il y a 180 degrés entre une feuille et l’autre, par conséquent encore la distance qui se trouve entre les deux est véritablement exprimée par la fraction 1/2. Sup- * posons que, dans le quinconce, il n’y ait, avec les cinq feuil- 3

les, qu’un lourde spire, la mesure de l’angle qui séparerait deux des feuilles serait évidemment la cinquième partie du cercle ou 72 degrés; mais les cinq feuilles fournissent réellement deux tours de spire ; donc la distance de l’une d’elles à la plus voisine est de 1 11 degrés, ou les delix cinquièmes du cercle. En résumé, la distance de deux feuilles d’un même cycle, dans un plan horizontal, ou, si l’on aime mieux, l’angle de divergence ( angulus divergenliœ) de ces feuilles, peut être exprimé par une fraction dont le numérateur indique le nombre de tours de spire compris dans le cycle, et le dénominateur le uombre de feuilles; et, si l’on désirait substituer à la fraction un nombre entier équivalent, il suffirait de multiplier 3C0 ou la mesure du cercle par celle même fraction : dans un cycle de huit feuilles et trois tours de spire, la divergence pourra être également indiquée par 3/8 ou 1 35 degrés.

Les diverses dispositions que les feuilles peuvent affecter r... divwgenrri

, qui aont le* plut

ne se rencontrent pas aussi fréquemment les unes que les co**»nr*unc»eic«-ur.

1 t * 1 qui *ont l« plu»

autres. Les plus ordinaires sont celles que représenteraient les fractions 1/2, 2/5, 3/8. On observe moins communément

UISPOSniON O» OMhlhlytfc

Série <|ui .ndi- ^ui* lei «li vergence» habituelle».

Autre» difteren- « < * ij ni |»' u veut •r rencontrer dans lu rli»|M)sition de»

feuille*.

les dispositions exprimées par 1/3, r»/13,8/2i, 13/34, 21/55.

On peut établir en général (jue la divergence habituelle des feuilles alternes est un des termes de la série 1/2, 1/3, 2/6, 3/8, 5/13, 8/21, etc.; série dans laquelle, si l’on excepte les deux premières fractions, chacune a son numérateur formé de l'addition des numérateurs des deux précédentes, et son dénominateur de I addition ri.; ceux de ces deux mêmes fractions.

Les différences qui résultent du nombre des feuilles et des tours de spire ne sont pas les seules que l’on rencontre. Chez certaines plantes, la spirale tourne de droite à gauche, et, chez d’autres, elle tourne de gauche à droite. Le sens de la spirale peut être le même dans la lige et les rameaux ; il peut, au contraire, changer en passant d’un rameau à celui qui en émane, ou même d’un cycle à l’autre, sur le même axe.

Non-seulement l'arrangement des feuilles varie dans les diverses plantes; mais encore il est susceptible de varier dans le même individu. Ces changements, que l’on attribue à une torsion plus ou moins sensible, dérivant d'une disposition primordiale quelconque , ne sauraient s’effectuer que dans certaines limites; de sorte qu’une disposition étant donnée, on peut calculer quelles sont les combinaisons qui sont susceptibles d’en dériver.

§11. — Des .spirales secondaires et de la spirale génératrice.

Da ns le Pécher et le Peuplier, que je vous ai cités plus haut, on ne voit qu’une spirale; mais il n’en est pas ainsi de toutes les plantes. Si nous jetons les yeux sur les Sedum

DF.S Fl.' ILI.CS.

à feuilles plus ou moins cylindriques , sur un grand nombre d’Euphorbes, V Isatis tinctoria , cerlai ns Linum , les jeu nés liges el les jeunes branches de diverses Conifères, certains bourgeons, etc., nous remarquerons que plusieurs spirales s’étendent à droite et à gauche, les unes à cùlédes autres, et que toutes cellesqni courent dans le même sens sont parfaitement parallèles. Pour peu, cependant, que nousexaminionscosspi raies avec attention, cliviVEitjiliorbia Characiat, pir exemple, nous ne tarderons pas à reconnaître que chacune d’elles est loin d’embrasser toutes les feuilles de la lige, qu'il faut leur ensemble pour comprendre ces feuilles sans exception, cl que, par conséquent, les spirales parallèles ne sauraient être de même nature que celle du Pécher, qui , à elle seule, embrasse la totalité des organes appendiculaires d’un même axe. Poussant notre examen plus loin , nous reconnaîtrons encore qu’outre toutes ces spirales qui nous ont frap|>és d’abord, il eues! une autre beaucoup moins apparente qui nous avait échappé : celle-ci, que l’on doit représenter par la fraction 8/2 1 , comprend bien réellement toutes les feuilles de la lige, et par conséquent c’est elle qui est l’analogue delà spirale du Pêcher, cl non, comme je vous l’ai déjà dit, l’une des spirales incomplètes que nous avions aperçues les premières.

Les Scdum à feuilles étroites el cylindriques peuvent nous éclairer sur l’origine de celles-ci. Les jeunes pousses de ces plantes nous offrent, en effet , plusieurs spires incomplètes très-prononcées , marchant les unes à droite el les autres à gauche; mais, à mesure que la lige croit et que les entrenœuds s’allongent , les spires incomplètes deviennent moins sensibles , et par conséquent elles sont le simple résultat de l’extrême rapprochement des parties. Si une tige à plusieurs spirales incomplètes était formée d’une matière élastique, nous ferions à volonté paraître el disparaître ces spirales, en laissant la tige dans un état naturel ou en rallongeant.

Ce qu'on enlrnd par «pirate génératrice cl «piraln M'condtiin ; origine «le «1» • nüm>

264 uisruMnov géométrique

De tout ceci , il résulte qu’avec des feuilles alternes nous D'avons jamais qu’une seule spirale organique , et que les nombreuses spirales que nous voyons dans plusieurs plantes sont produites par des circonstances réellement indépendantes de la manière dont sont insérées les feuilles. On donne à la spirale organique le nom de spirale génératrice (Itnea spiral i s primaria) , parce que d’elle émanent réellement toutes les autres, et l’on appelle celles-ci spirales secondaires (lineœ spirales sccundariœ ); le nombre secondaire (numerus sccundarius ) indique combien il y a sur une tige ou un rameau de spirales secondaires égales et parallèles, et la divergence secondaire (divergentia secundaria) est la distance qui sépare, dans ces spirales, les deux feuilles les plus voisines.

,, ®i, dans VEuphorbia Characias , nous numérotons successivemenl, de bas en haut cl en commençant par l’unité, toutes les feuilles de la spirale génératrice, il n’v aura pas sur la tige une feuille qui ne porte son numéro. Mais ce n’est pas seulement la spirale génératrice que nous voyons sur la tige; nous y apercevons, dès le premier abord, deux spirales secondaires parallèles et égales, beaucoup plus apparentes que la génératrice elle-même. Or nous savons que toute spirale secondaire ne comprend qu’une partie des feuilles de la tige, et nous avons ici deux spirales parallèles et égales pour la tige tout entière ; donc elles doivent se partager l’ensemble des feuilles par égale portion. Si, à présent, nous cherchons quels sont les numéros de chacune des deux spirales, nous trouvons sur l’une 1, 3, 5, 7, etc., et sur l’autre 2, 4, 6, 8, etc.; par conséquent, la différence d’un chiffre à l’autre dans chacune des deux spirales se trouve indiquer le nombre de ces dernières. Avec un peu plus d’attention, nous découvrons encore, sur la même lige, trois autres spirales secondaires et parallèles qui l’embrassent ,

UES FEUILLES

comme les deux premières, cl porlenl, l’une, les numéros I ,

4, 7, 10, elc., la seconde, ‘2, 5, 8, 11, elc., el la troisième,

3, 6, 9, 12, elc. Ces séries de numéros, étant confondues, offriraient, sans interruption , la suite naturelle des nombres, c’est à-dire ceux de la spirale génératrice, et nous >ovons qu'ici encore il y a, dans chacune des trois spirales parallèles, entre deux nombres consécutifs, une différence égale au nombre des spirales. Poussant plus loin notre examen, nous apercevons cinq autres spirales égales et parallèles comprenant l’ensemble des feuilles de la lige, et nous trouvons qu’une différence de cinq existe entre les numéros de chacune d’elles. D’après tout ceci , il est clair que les numéros des deux feuilles voisines d’une spirale secondaire quelconque nous présentent toujours une différence égale au nombre des spirales parallèles dont elle fait partie.

De là résulte cette loi : que, sans connaître la spirale gêné- ,,ouvViT.mmi"" rutrice, on peut trouver les numéros d’une spirale secondaire quelle quelle soitj pourvu qu’on ait compté le nombre desuîn. ** f'""* spirales qui lui sont parallèles.

Rien n’est plus facile que de se rendre raison de cette loi.

En effet, les feuilles étant alternes, il est évident que, si nous avons, pour toutes, deux spirales parallèles, el que la première de celles-ci commence par le numéro 1, la seconde commencera par le numéro 2, puis l’alternance exigera que le numéro 3 se trouve sur la première, 4 sur la seconde, et toujours de même. Que trois spirales, s’élevant concurremment, se partagent les feuilles d’une manière égale, et que la première commence par 1, la seconde, d’après ce que nous venons de voir, portera le numéro 2, cl la troisième commencera par 3, puisque, si ce numéro était inscrit sur la première ou la seconde spirale, l’alternance serait troublée ou les spirales deviendraient inégales ; ensuite, comme il n’v a que trois spirales, il faudra qui1 4 se trouve être

i)iH'osmo\ oi.uMt iniyi r

la seconde feuille de la première spirale, 5 la seconde feuille de la seconde spirale, et ainsi de suite. Ainsi, chaque fois que nous reviendrons à l’une des spirales , nous aurons nécessairement passé par les deux autres, si nous en avons trois, et par les quatre autres si nous en avons cinq ; donc chaque numéro de la même spirale se composera du précédent cl de celui qui indique le nombre total des spirales; conséquence d’où résulte naturellement la loi que je viens de vous faire connaître.

Dans une foule de plantes, nous pouvons, avec plus ou moins de peine, découvrir, à la simple vue, la spirale génératrice, au milieu des spirales secondaires; mais il n’en est pas lonjours ainsi. Les écailles des cônes de Pin ou de Sapin

wÙZI'.'I.mIi' wc. (PinuSj Abies ) et les folioles des involucres d'um: foule

«ouJairei.

de Composées, serrées les unes contre les autres, ne nous laissent plus voir que des spirales qui nécessairement doivent être secondaires; car, si nous en comptons les pièces, nous trouvons qu’elles ne forment qu’une petite partie de celles qui entrent dans la composition du cône ou de l’involucrc. Mais nous savons que toute spirale secondaire résulte d’une spirale génératrice, et qu’elle n’est duc qu’à l'extrême rapprochement des parties; ici donc il doit encore exister une spirale génératrice, et, quoique nous ne l’apercevions pas, nous pourrons la découvrir par l’application de la loi que nous avons formulée tout à l’heure.

Je prendrai pour exemple le cône du Pi nus marin' ma. Si je jette les yeux sur ce cône, je vois que, de gauche à droite, s’élèvent parallèlement treize spirales secondaires qui embrassent tout le cône ; je vois que, de droite à gauche, il s’en élève huit un peu moins apparentes que les premières; j’aperçois encore d’autres groupes de spirales, mais ils ne sont plus aussi faciles à distinguer. (V. la figure du cône du Pinus maritima, ri la planche qui offre des exemples des di-

I)t," KtLILLKt.

verses sortes de fruits : des li<jties vertes indiquent , dons cette figure j les spirales par 13, et des lignes rouges celles par 8.) Je place le numéro 1 sur une des écailles les plus voisines du pédoncule; sachant que les numéros des pièces d’une spirale secondaire quelconque doivent laisser entre eux une différence égale au nombre des spirales parallèles dont celle-là fait partie, je puis facilement procéder au numérotage d’une des treize spirales, qui tournent de gauche à droite; j’écris 1 4 sur l’écaille la plus «oisinc du numéro 1, cl j’ai ainsi 13 de différence entre les deux premiers numéros; l'écaille suivante sera nécessairement marquée 27, la suivante portera le numéro 40, une autre le numéro 53, et ainsi de suite, jusqu’à ce que l’opération soit complète. Je me trouve avoir alors tous les numéros d’une des treize spirales parallèles dont l’ensemble embrasse le cône tout entier, et, comme on va le voir, les numéros de cette spirale me serviront successivement de point de départ pour marquer les pièces des spirales qui, au nombre de huit, s’élèvent de droite à gauche. Ces huit spirales , embrassant tout le cône, comme les treize premières, doivent nécessairement croiser celles-ci, et, par conséquent, chaque écaille déjà numérotée, de la spirale par 13, fait nécessairement partie d’une des spirales par 8. Pour trouver les numéros de ces dernières, je pars d’un de ceux que je connais déjà, le numéro 1, par exemple; j’y ajoute 8, et j’ai 9 que j’inscris sur la première d’une de mes spirales par 8 ; puis j’inscris 1 7, 25, 33, il, i9(v. la figure citée plus haut), cl ainsi de suite, jusqu’à ce que je sois parvenu au sommet du cône. La seconde écaille de la spirale par 13, qui porte le chiffre 14, sera mon second point de départ, et j’inscrirai successivement 22, 30, 38, 46, 54 , 62, etc. La troisième écaille, 27, me conduira à 35, 43, 51, et ainsi de suite. En procédant de cette façon, je n’aurai cependant point encore

DISPOSITION GEUMCTRIQCK

numéroté toutes nies écailles j car je me serai clevé de la spirale par 13 jusqu'au sommet du cène, et les écailles qui se trouvent entre celte spirale et le pédoncule seront restées sans numéro , ou , pour mieux dire, je n’aurai numéroté, dans les spirales par 8, que la partie qui se trouve au-dessus de la spirale par 13, ma ligne de départ. Les numéros deviennent de plus en plus forts, en s’élevant de la base d’une tige, d’un rameau, ou d’un cône vers leur sommet ; ainsi j’ajouterai successivement les différences , si je marche vers l’extrémité supérieure du cône; mais il est évident que je dois les retrancher, si je me dirige vers le pédoncule où se trouve le numéro t. Partant donc du second numéro de la spirale par 13 qui est 14, afin de parfaire, en descendant, la seconde spirale par 8, je retrancherai 8 de ce nombre 14, et j’inscrirai G. (V. la mime fiqure.) Le troisième numéro de ma spirale par 13, c’est-à-dire 27, me fournira successivement 19, 11, 3, et je continuerai ainsi, jusqu’à ce que toutes les écailles de mon cône se trouvent numérotées. Suivant alors la série des numéios 1 , 2, 3, 4, etc., j'aurai la spirale génératrice.

En résumé, pour la trouver sur une lige, un cône, un involucre, une agrégation d’ovaires, où on ne saurait la découvrir d’abord , on compte les spirales secondaires les plus apparentes marchant parallèlement de gauche à droite, et ensuite les plus apparentes qui tournent parallèlement de droite à gauche; on inscrit le numéro 1 sur une. des feuilles ou des écailles les plus voisines du pédoncule, et ensuite on numérote toutes les pièces d’une des spirales de gauche, en ajoutant successivement d’abord au numéro 1 , puis à ceux qui doivent en résulter, le nombre des spirales parallèles dont fait partie celle que l’on numérote. Quand les pièces de celle spirale ont leurs numéros, on part du premier pour suivre, eu montant,

ni: s fklii.lks.

la spirale de droite à laquelle il doit appartenir, et l'on inscrit successivement sur les écailles de cette spirale un numéro composé du précédent et du nombre qui représente celui de toutes les spirales parallèles tournant de ce même côté; puis on répète la même opération, prenant pour points de départ, l’un après l’autre, tous les numéros de la spirale de gauche numérotée la première. Pour achever le numérotage, on part toujours de la même spirale de gauche afin de descendre vers le pédoncule, et au lieu de faire à ses divers numéros des additions successives, on retranche le même nombre que l’on avait d’abord additionné, lorsque l’on montait vers le sommet du cône, de la tige ou de l’involucre.

Quand toutes les pièces portent un numéro, la spirale génératrice se trouve indiquée par la série naturelle des nombres 1 , 2, 3, etc.

Nous savons que dans le quinconce la sixième feuille recouvre la première ; si donc celle-ci est numérotée 1 , l’autre portera le numéro G, et pour connaître le nombre de feuilles quisc trouvent entre les deux, ou, pour mieux dire, celui des feuilles du cycle, il nous suffira de retrancher la première i.r r„i, ,i.„, de la sixième, ce qui nous donnera 5. Dans notre cône (|(, l,"""“ltP‘u'- Ptnus mari lima , nous trouvons aussi une série d’écailles qui se correspondent dans des lignes à peu près droites, par exemple 1, 22, 43, Gi, 85, etc., etc.; par conséquent , nous devons dire qu’entre les écailles 1 et 22 il y a un cycle, comme entre 22 et 43, et par conséquent encore, le cône du P inus maritima doit présenter des cycles de vingt et une écailles. (Y. la figure du cône de P. maritima déjà citée : les séries d’écailles qui se correspondent en lignes à peu près droites sont indiquées par des points rouges.)

Pour donner ici l’expression du cycle tout entier, il nous faudrait connaître encore combien de tours de spire ont parcourus les écailles jusqu’à la 22e; comme nous avons

^ vrVVv ’• %

«■KS ' • *1? • JÉm** •