XXX INTRODUCTION

leçon , d'établir les principes et les formules qui servent à l'élimination des constantes ou des fonctions arbitraires avec l'aide d'un certain nombre de différentiations.

Je ne m'étendrai pas, dans cette Introduction, sur la seconde partie du Calcul différentiel ; elle est, plus encore que la première, l'ouvrage de M. Cauchy; dans l'impossibilité de mieux faire, j'ai dû souvent me borner à le copier. Après m'être ainsi effacé, j'aurai acquis le droit de dire que l'ensemble de ces applications géométriques me semble véritablement un chefd'œuvre. Je ne crois pasqu'oi^ puisse concevoir plus de précision et de clarté dans les définitions , plus de simplicité et de rigueur dans les démonstrations , plus d'élégance et de rapidité dans les transformations analytiques. Dans ce bel ensemble, je recommanderai comme plus spécialement dignes d'attention, I® les considérations si ingénieuses par lesquelles M. Cauchy est parvenu à établir les équations que doivent vérifier les coordonnées des points singuliers ; a^ la recherche de la courbure , du rayon de courbure et du centre de courbure d'une courbe plane ou quelconque; 3^ l'appréciation du contact des courbes ou des surfaces courbes ; 4° la détermination des rayons de courbure et des lignes de cour bure des surfaces; 5^ la recherche des équation; finies ou aux différentielles partielles , des surface que peuvent engendrer en se mouvant dans l'esp? des lignes droites et courbes de forme constante variable, soit que ces surfaces doivent passer

INTRODUCTION. XXXJ

une directrice déterminée^ soit qu'elles doivent être circonscrites à une surfisice donnée ; 6® enfin la théorie des lignes et des surfaces enveloppes.

Ije calcul des résidus, création de M. Cauchy, est devenu entre ses mains un puissant instrument d'investigations nouvelles et profondes. Il en a déduit des procédés rapides pour la détermination d'un nombre immense d'intégrales définies et des méthodes d'intégration spécialement applicables aux équations que l'on rencontre le plus souvent dans la solution des problèmes de physique mathématique. J'ai cru dès-lors rendre service aux géomètres en ajoutant une leçon sur les principes élémentaires de ce calcul , complément nécessaire du Calôul différentiel. Le calcul direct aux différences finies avait aussi naturellement sa place dans ce premier volume; j'ai été heureux de trouver dans les manuscrits de M. Cauchy tous les matériaux de la quarante-cinquième leçon. On verra avec plaisir comment M. Cauchy , après avoir ramené la recherche de la dififérence finie de l'ordre n au cas très simple où la fonction donnée F(a:) est égale à ^*, déduit les deux formules fondamentales du calcul aux différences finies de la considération des équations symboliques.

Deux Notes enfin complètent ce volume. La première a pour objet les formules nouvelles d'interpolation de M. Cauchy, qui sont peut-être l'un de ses plus beaux titres de gloire, et qui bientôt, je l'espère, seront exclusivement adoptées, parce qu'elles peuvent seules résoudre le problème de l'interpola-

XXXÎJ INTRODLXTÎOJS .

tion avec une approximation certaine et suffisante . Je n'aurais pas assez fait pour la clarté de cet ou* vrage si je ne donnais pas quelques explications au sujet d'un procédé d'élimination employé presque à chaque page et à l'aide duquel on échappe souvent à d'immenses calculs. Quand il s'agit de déduire d'un certain nombre d'équations les valeurs d'im nombre égal d'inconnues, M. Cauchy a presque toujours soin de ramener ces équations à une suite de fractions égales dont les numérateurs, toutes les fois que la chose est possible, renferment la première puissance d'une seule des inconnues. Cette transformation faite, il achève l'élimination avec une dextérité admirable, en égalant chacune de ces fractions multipliée , s'il est nécessaire , par un facteur convenablement choisi , au rapport que l'on obtient en divisant la somme des numérateurs par la somme des dénominateurs, ou la racine carrée de la somme des carrés des numérateurs par la racine carrée de la somme des carrés des dénominateurs. Le choix des facteurs n'est jamais entièrement arbitraire ni par conséquent difficile , parce que les équations mêmes de la question indiquent toujours ce qu'ils doivent être. Pour mieux faire comprendre cette méthode si ingénieuse et si féconde, reprenons im instant l'exemple de la page 279. Il s'agit de trouve le rayon de courbure et les coordonnées polair du centre de courbure , d'une courbe plane ql conque; les trois inconnues r,, w, et jd doivent sî faire à l'équation du cercle osculateur et à ses éc

INTRODUCTION. XXxilj

tions di£férentielles du premier et du second ordre : ce$ trois équations peuvent se mettre sious la forme

(i) [r, sm{u — ttx)]» -h [rj cos (a — «,) — r]* = />»,

(2) rr, siii(w — Ui)du — [r, cos (a — m,) -^^rldr^z o,

(3) Tj sin (a — a,) [rd* u -h idudr\

on tire de la seconde

rxCOs(a — Uj) — r r^ûvL{u — a,)

rdu dr *

Les inconnues r< , u^ ne sontpasiciau premier degré, mais il est facile de voir que dès qu'on aura r< cos (m — w<) et i\ sin (m — w<) , on aura immédiate-

ment r^ = \/^r\ cos^ {u — «4) + rj sin* (w — u^) et sin(w — W|) ou cos(i< — 1/4), et par suite u^. De plus réquation (i) piontre qu'en divisant la racine carrée de la somme des carrés des numérateurs des fractions qui précèdent par la racine carrée de la somme des carrés des dénominateurs, on aura le

rapport très simple ^ == , dont le numéra-

teur renferme la troisième inconnue jo au premier degré. Enfin si , ayant égard à l'équation (3) , et après avoir multiplié haut et bas la première des fractions par d^r — rdu^j la seconde par rd^u + ^dudrj on divise la somme des numérateurs par la somme des dénominateurs , les inconnues r^ et u^ disparaîtront et l'on obtiendra le rapport

dr^ -hr*du*

r(drd*u —^dud*r) -h(i2dr* 4- r*du*) du ' T. I. . C

XXXIV IHTftODUCTiail.

qui servira immédiatement au calcul des trois in* connues. Cet exemple suffit pour montrer, dans tous les cas, la marche à suivre. Il est bien choisi, car l'élimination que nous venons de faire aurait été trop pénible par d'autres procédés.

Les théorèmes sur lesquels reposent cette méthode d'élimination de M. Cauchy sont d'ailleurs évidents , car des équations

^ — ^, — ^^— etc.

on tire

a -h a' -h a'^ + etc. __a __ a' a"

^qrï^ + ^" 4- ete. '^I^V'^T" '

aA a' et* a" cl" a» -|-a'«'-f-a"«" a a'

fl û^a^ . /a* -h a'* -h a*'* -h etc.

b'-Vb'* ^V 6»-f-6'»4-*"»+etc/

En faisant ressortir ce que j'ai trouvé de neuf et de vraiment admirable dans les travaux de M. Cauchy, j'ai accompU un devoir sacré, j'ai répondu au premier besoin de mon cœur. Qu'il me soit permis en finissant d'exprimer ma reconnaissance à quelques savants qui m'ont été grandement utiles par leurs bienveillants conseils ou pa' leurs écrits : à M. Lacroix, le doyen de cette gén< ration de géomètres qui a conquis tant de gloire notre France , et qui, par ses ouvrages si répandu