XXIV INTRODUCTION

J'ai, rangé dans le meilleur ordre possible les applications analytiques du Calcul différentiel; on n'étudiera pas sans intérêt et sans fruit la leçon sur les quantités infiniment petites, et les règles dont l'ensemble constitue la méthode infinitésimale. Dans les dernières années de sa vie, le grand géomètre enlevé trop tôt à la France, dont il faisait la gloire , M. Poisson, déclara la guerre à la théorie des fonctions telle que l'avait faite le génie de Lagrange, et s'arma de toute sa puissance pour ramener le monde savant à la méthode infinitésimale. Il affirma que les infiniment petits ne sont pas seulement un moyen d'investigation imagina par les géomètres, mais qu'ils ont une existence réelle, c'est-à-dire qu'il existe des grandeurs qui ne sont point nulles , qui même peuvent être doubles, triples, quadruples d'autres grandeurs , et sont cependant moindres actuellement que toute grandeur donnée. Quoique appuyées d'une si imposante autorité, ces assertions furent vivement combattues et repoussées : elles n'énonçaient pas seulement un mystère dont la raison aurait pu s'effi^ayer sans avoir le droit de le rejeter; beaucoup d'esprits judicieux y virent une évidente impossibilité. En effet, ou ces grandeurs, plus petites que toute grandeur donnée, sont encore étendues et divisibles, bu elles sont simples et indivisibles : dans le premier cas leur existence est une chimère, puisque, nécessairement plus grandes qu leur moitié, leur quart, etc., elles ne sont pi moindres actuellement que toute grandeur donnée

IKTRODUCTION. XXV

dans la seconde hypothèse, elles ne seraient plus des grandeurs mathématiques, les adopter, ce serait renoncer à l'idée du continu divisible à l'infini, point de départ nécessaire et fondement de toutes les sciences mathématiques. Quelques applications moins heureuses de ces principes,'dont le plus grand inconvénient était de ramener trop ouvertement la science à son berceau, firent mieux comprendre la nécessité des méthodes plus rigoureuses dont MM. Poinsot etCauchy s'étaient faits les défenseurs. Pour ces géomètre, un infiniment petit n'est qu'une quantité variable ou indéterminée qui a zéro pour limite, qui peut décroître indéfiniment sans s'arrêtera une valeur appréciable; une quantité qui, prise isolément, peut être conçue plus petite que toute quantité donnée. Il suffit de cette définition pour mettre hors de doute les règles fondamentales de la méthode infinitésimale. Convenablement appliquées, ces règles ne peuvent pas égarer; si j'ai évité d'en faire usage , c'est uniquement parce que leur emploi entraîne nécessairement des considérations préliminaires assez délicates , qui font perdre à la méthode infinitésimale le seul avantage qu'on semblait ne pouvoir pas lui disputer, la promptitude avec laquelle elle conduit au but. Pour faire mieux comprendre ma pensée, je me hâte de recourir à un exemple. Si l'on veut obtenir par la méthode infinitésimale la différentielle de l'arc s d'une courbe , il ne suffit pas de remarquer que l'accroissement Ùls de l'arc étant sensiblement égal à sa corde , on a

ÏXVJ INTRODUCTION.

Pour que cette marche soit admissible, il faut néces* sairement démontrer avant tout que l'accroissement de l'arc diffère de la corde d'une quantité infiniment petite du second ordre , ou du moins que le rapport de l'accroissement de l'arc à sa corde a pour limite l'unité. Entravée par cette démonstration et ramenée aux proportions de la méthode que nous avons adoptée dans notre Traité, la méthode infinitésimale devient, ce semble, rigoureuse, mais en cessant d'être expéditive , et l'on est forcé de convenir que , très avantageuse quand il s'agit de prévoir ou de retrouver les résultats, elle ne constitue pas à elle seule une méthode d'exposition suffisamment exacte et classique.

Pour me conformer à un usage reçu et distinguer l'une de Tautre les formules qui donnent les développements deF{x -\- h) suivant les puissances ascendantes de Z( , et de F {ai) suivant les puissances ascendantes de JCj j'ai appelé la première formule de Taylor, la seconde formule de Maclaurin; mais en réalité la gloire de ces deux formules , qu'on a voub aussi attribuer à un aujtre géomètre anglais, a partient tout entière à Taylor, comme le recoi naissent ouvertement Maclaurin et Stirling dd plusieurs endroits de leurs ouvrages.

Après la démonstration si simple et si ingén* que M. Cauchy a donnée de ces deux formule

INTRODUCTION. XXVlj

damentales 9 je ne concevrais pas qu'on pût recourir encore à la méthode trop imparfaite et trop inexacte des coefficients indéterminés , qui suppose tout et prouve seulement que dans tous les cas où les fonctions F (x) et F (a: + A) pourront être exprimées par des séries convergentes ordonilées suivant les puissances ascendantes de ^ ou de A, ces séries coincideront avec la série de Maclaurin ou avec la série de Taylor.

On renvoie ordinairement au calcul intégral la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples, et pour effectuer cette décomposition on a recours encore à la mauvaise méthode des coefficients indéterminés; M. Cauchy a montré depuis long-temps que cette décomposition est une simple extension de la formule de Taylor au cas où la fonc-, tion qu'il s'agit de développer, suivant les puissances ascendantes de a: — a, devient infinie pour a: = a.

La douzième leçon , sur les formules de Moivre , sur la définition ou la détermination du sens qu'il faut attacher aux expressions x^j A*, Lor, sin^, cos X j dans le cas où la variable x prend une valeur imaginaire, mérite aussi beaucoup d'attention. Les, notions qui s'y trouvent réunies sont malheureuse-^, ment fort peu répandues, et je regrette de n'avoir pas pu entrer à ce sujet dans de plus grands détails, que l'on trouvera du reste dans l'analyse algébrique da M. Cauchy.

Je me félicité d'avoir pu, dans la dix-septième leçon, donner une démonstration élémentaire de

XXVllJ INTRODUCTION.

cet admirable théorème de M. Caiichy, qui ramène la loi de convergence des séries à la loi de continuité des fonctions qui leur ont donné naissance j et suivant lequel une fonction quelconque , réelle ou imaginaire , d'une variable réelle ou imaginaire JCj est développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de jc j tant que le module de cette variable conserve une valeur inférieure à celle pour laquelle la fonction et sa dérivée cessent d'être finies et continues^ c'est-àdire cessent de prendre pour chaque valeur de la variable une valeur unique et finie, croissant ou décroissant infiniment peu avec cette même variable. Ce beau théorème j en ramenant le développement d'une fonction quelconque F (x) à celui de l'exprès-

sion très simple , fournit, i® une démonstration

très remarquable de la formule de Taylor ; 2® une .expression nouvelle du reste de cette série. Il s'étend d'ailleurs avec une extrême facilité au cas de plusieurs variables indépendantes.

On ne trouve dans aucun ouvrage élémentaire la démonstration de la belle série donnée par Lagrange pour le développement des fonctions implicites ; il faut même nécessairement convenir que If raisonnements par lesquels on a essayé jusqu'ici d'< tablir cette série laissent beaucoup à désirer; o admettait sans preuves la possibilité et la forme ce développement, on prétendait mettre son e tence hors de doute, indépendamment de la consi

INTRODVCTIOK . T%\X

ratiou des valeurs attribuées à la variable , ce qui ne peut être, puisque la série n'est convergente iqu'entre certaines limites quelquefois très rapprochées. Il m'en aurait trop coûté de laisser dans l'enseigne* ment une si grande lacune ; cédant à mes vives instances^ M.. Cauchy, pour qui lutter contre une difficulté est déjà l'avoir vaincue , est heureusement parvenu à étendre aux fonctions implicites les règles de convergence qu'il avait établies pour les fonctions explicites , et à donner de la série de Lagrange une démonstration aussi neuve que rigoureuse, qui, je n'en doute pas , sera bien accueillie de tous les géomètres. L'application qu'il a faite de cette théorie nouvelle à une question importante , résolue avec de grands efforts par le célèbre Laplace dans deux longs Mémoires, mettra mieux en évidence ses immenses avantages.

On a souvent besoin , dans la théorie du contact des courbes et dans la solution de plusieurs autres questions d'analyse , de comparer entre elles les dérivées de deux ou de plusieurs variables indépendantes prises successivement par rapport à diverses variables considérées comme indépendantes. Les bases de cette comparaison manquent dans la plupart des ouvrages élémentaires , j'ai essayé de la rendre rigoureuse et facile à l'aide d'une suite de théorèmes importants dont l'ensemble forme la première partie de la dix-neuvième leçon. Pour ne renvoyer au Calcul intégral rien de ce qui appartient proprement au Calcul différentiel , j'ai pris soin, dans cette même