PREMIERE LEÇON
Définitions. — Des variables et des fonctions continues ou discontinues, explicites ou implicites, simplet ou composées. — Des limites des fonctions. — Dérivée et difTérentielle. — Objet du Calcul différentiel.
1 . On nomme quantité variable celle que l'on considère comme devant recevoir successivement plusieurs valeurs différentes les unes des autres. On appelle au contraire quantité constante , toute quantité qui reçoit une valeur fixe et déterminée. Lorsque des grandeurs variables sont tellement liées entre elles que les valeurs d'une ou de quelques-unes étant données on puisse en conclure toutes les autres, on conçoit ces diverses grandeurs exprimées au moyen d'une ou de plusieurs d'entre elles qui prennent le nom de variables indépendantes ^ les autres grandeurs , exprimées au moyen des variables indépendantes, sont ce qu'on appelle des fonctions de ces variables.
2. Les fonctions sont explicites et s'expriment à l'aide des notations^ = F(ar), y = f(x)^ z = F(x^y), ^ =/(^5 j), w = F(x, J, z),u =f(x,y, z), quand les valeurs des variables dépendantes sont données immédiatement par des équations résolues : elles sont implicites lorsque les variables dépendantes sont liées aux
variables indépendantes par des équations non résolues
n est important de remarquer que si deux fonctions sont représentées par la même caractéristique F ou y, ou f , ou }(, etc. , eUes sont formées de la n^èmc manière au moyen des variables qu'elles renferment.
3. Les fonctions se divisent , i^ en fonctions simples ou composées suivant qu'elles résultent d'une ou de plusieurs opérations effectuées sur les variables-, 2^ en fonctions algébriques rationnelles ou irrationnelles lorsqu'elles résultent des cinq premières opérations de l'algèbre , et en fonctions transcendantes.
4. Une fonction j' = F (x) est continue lorsqu'à chaque valeur de la variable répond une valeur unique et finie de la fonction, et que de plus un changement infiniment petit h = ùx dans la valeur de la variable indépendante, produisant dans la valeur de la fonction un changement Ay infiniment peti t, la différence ày = F(x -hh) — F(x) =F(a:-f- A:r) — F(x) est infiniment petite. Si ces deux conditions ne sont pas remplie la fonction est discontinue. On appelle ici infiniment petite une quantité très petite qui a o pour limite, qui peut décroître indéfiniment , sans s'arrêter à une valeur appréciable, ou une quantité que l'on peut concevoir plus petite que toute quantité donnée. Les changements Ax, Ay peuvent être positifs ou négatifs, on les désigne cependant toujours sous le nom d'accroissements.
5. Lorsqu'une première variable dépend d'une ou de plusieurs quantités qui dépendent elles-mêmes d'une ou de plusieurs autres variables, on dit que la première variable est fonction de fonction. Exemple : si l'on a
z sera une fonction de fonction de x.
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6. On appelle en général limite d'une fonction , la valeur vers laquelle elle converge lorsque la variable dont elle dépend converge elle-même vers tmé valettr déterminée. Cette limite p%ut se présenter d'abord sous une forme indéterminée, et pour la calculer il faut souvent
recourir à divers artifices. Ainsi, par exemple, les fonctions
' X . NX M^-h^)
y = (^i ^ X) -i y '=■ —^ ' se présentent pour wC=:o
sous les formes indéterminées i** , | , et acquièrent cependant, pour la valeur o donnée à la variable, les valeurs finies e == 2, 71828...^ Le = p, a étant la base
du système de logarithmes désignés par L , et 1 représentant les logarithmes pris dans le système dont la base serait e ou les logarithmes népériens et hyperboliques. La considération de ces deux limites étant extrêmement importante , nous donnerons ici la preuve de leur existence et le moyen de les calculer.
La variable x en convergeant vers o, ou plutôt - en
oc
convergeant vers Tinfini, peut admettre des valeurs positives entières ou fractionnaires , ou des valeurs négatives. Examinons d'abord le premier cas.
Si - = m, m étant un nombre entier, on aura
m /»— I iw— 2 1 12 6 m^
ou, en effectuant la division ,
(.W-+i(.-i)+ii(-i)(
I— — ) ( I—- iH-etc,
4 CALCUL DIFFÉftBJfTIEL.
lorsque x egt très petit ou m très grand, tous les termes
du second membre sont positifs, la limite de (i+x) est donc un nombre plus grand (me 2. De plus le second membre croîtra certainement si , après avoir négligé les
termes négatifs, , ,——,.„ on remplace chacun
des dénominateurs 3, 4 9 S-*- 6^* 9 P^i* un dénominateur plus petit 2 \ noua aurons donc
lim.(i4-arf<a4-T+T+74-rî+...ctc. = 3.
La limite de ( i +a:)* est donc comprise entre a et 3. On la désigne par la lettre e, et Ton aura de e, qui est une quantité incommensurable, une valeur très approchée en donnant à m une très grande valeur; en supposant, par exemple, m = i 000 000, on trouve , à un cenO-x^illièlne près, e = 2,71828.
Si - eët un nombre fractionnaire , il sera compris entre
deux nombres entiers consécutifs m et n =: m -4i- 1 , et Ton aura
L'expression ( i + ^Y sera donc évidemment renfermé entre les deux suivantes :
