PR^IÈRE LEÇON

Quand x décroit indéfiniment, ou cjuand m et /» cnoissent à l'infini , les deux quantités ( i + — J , t 1 4— j convergent l'une et l'autre vers la limite e, tandis que les expo-

sants !-+--,! H — approchent indéfinimentde la limite i;

il en résultèque les deux expressions ( i H — j , ( i -f— ) ?

lier CI At» £

et par suite l'expression intermédiaire ( i + x)' convergent encore vers la limite e.

Einfin si x devient négatif, i+x sera plus petit que

I , l'on pourra poser i + xs= , a étant une quan-

tité positive qui converge elle-même vers zéro, et l'on trouvera

I !■♦-* r ilCi-f-») .

puis en passant à la limite, lim. ( i + x)' = e.

Considérons maintenant l'expression -^ ^ .

Ona

L[(n-*r]=ML±fi,

donc

Um. ï^ii^^ = lim. LL ( I +xf J = L<f,

ou, en vertu d'un théorème connu,

L( 1 4-^) I X la

6 CALGITL DIFFËftBUTIBL.

et par suite

lim. -i — ■ — i =lrïs: m- = K 4? \e

On trouvera aussi que le rapport a pour limite Tu-

se

nité, lorsqu^on fait converger x vers la limite o. En effet, sin X est plus petit que Tare x ; Tare à son tour est plus petit que tango: puisque le triangle formé par la tan-» gente , la sécante et le rayon R , et qui a pour mesure -R tang X, est plus grand que le secteur correspondant |Rar. -r

On a donc

sin^ . X 9mx ^ sinor

<^-=ri, > •= oo%x,

XX X Ung«

Or coso: à la limite est égij à i , donc le rapport — ?

toujours compris entre deux quantités qui, à la Kmite, sont toutes deux égales à Tunité, aura luî-méme Tunité

pour limite , et nous aurons lim. -^i— = i .