Théorème 2™®. Si la courbe représentée par l'équa
ai4 CALCUL DIFFÉ&EITTIBL.
liona =y'(.r, jr)=o oflre un point multiple, c'est-à-dire
un point dans lequel se réunissent, sans s'y arrêter, deux
branches de la courbe , ou trois branches au moins pour
s'y arrêter ,. les coordonnées de ce point vérifieront encore
du du
les équations — = o , — = o.
Démonstration» En effet, considérons (J^g' 8) deux branches de courbe qui se réunissent au point M , et coupons ces deux branches dans le voisinage de ce point par une droite PQ qui fasse avec l'axe des x un angle quelconque dont la tangente soit a, et qui ait pour équation
si X eiy sont les coordonnées du point P , celles du point Q pourront être représentées par x + Ax = x^ adx^ y+Ay=jr+ady^ de sorte que l'équation a=y*(a:, y)=o devra être satisfaite à la fois et par x^ y et par x + Ax, jr 4- Aj' Mais si dans u on change o: en a: + Ax^y en jr + Ay, u devient u + Au ; on aura donc à la fois , et quel que soit Ar, z/ = o, m 4- Au = o, d'où Au = o,
et par conséquent du = lim. — = o, ou
, du , du dr
du-=: — — I ^ = o-
dx dy dx '
mais les coordonnées j:, y^ satisfaisant à l'équatitm
y ^= ax -\- b,
dy
on a
dx-^"'
donc
on aura aonc aussi
du du
dx dy '
VINGT-UNIÈME LBÇON. 21 5
et cela quelque soit a , ce qui entraîne les deux équations
du du
dx ^ dy '
donc, etc.
Scolie. Si trois branches de la courbe venaient à se réunir au point M , la droite PQ couperait la courbe en trois points dont les coordonnées pourraient être représentées par
On devrait donc avoir, quel que fût a, non-seulement w = o , Au = o, mais A'm == o, d'où du = o, d^u = o ,
du du
dx dy
dx^ dxdy dy
Or ces équations ne peuvent subsister qu'autant qu'on aura à la fois
du du d*u d*u d^u
En général , on démontrera de la même manière que la réunion de n branches de courbe au point multiple M, entraîne les conditions
du du
dx ' dy
dx^ dxdy dy"" '
rf«-'a d^^^u d'^'^u
rz: o, :— nz o, -r ::=0,
dx""-^ - dx^'^^dy dy""^"^ '
auxquelles devront satisfaire les coordonnées x^y du point multiple m.
2tl6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
