Applications: i**. à la. logarithmique j^ = a

m = lim. — =: lim. — :

< et en posant

j?=:— 00, fle = o, 5 = lim. ^ = lim. a'=:fl*"* = o,

la courbe proposée aura donc pour asymptote Taxe des x dont elle s'approche indéfiniment du côté des X négatifs. On prouvera de même que la logarithmique x = a^ a pour asymptote Taxe des j^ ;

n^. à l'hyperbole ^^-^{^ i,

« = lim. -=:lim.±- =±-,

b =: lim. (j^ — (Lx) = lim. ( liz - 1/j?*— a» zp - x j = o ; il y a donc deux asymptotes déterminées par l'équation

3°. à toute courbe dont l'équation peut se décomposer en plusieurs parties dont chacune soit une fonction homogène des variables x^ y.

Soient m, n^ etc. , les degrés de ces fonctions homogènes, de sorte que l'équation de la courbe soit

f{x, j)=:x'"Ff'^^+^«fr-^Wetc. =0,

les nombres m^n^ etc. , étant rangés par ordre de gran-

!lo4 CALCUL DIFFIÈRENTIEL.

deur •, la valeur de 5 = - sera déterminée par Téquation

x"F(j) + :F«f(*)+etc. =o ou F(f)H \r^ f(f)+etc. = o,

d'où Ton tire , en faisant x = oo , et se rappelant qu'alors

telle sera donc l'équation qui donnera les valeurs de a. Pour avoir 6, faisons dans l'équation de la courbe y z=.ax -^t^ ce qui donne

j:"Frct + -j + a?"f(*-4--) + etc. = 0; or l'on a , d'après un théorème connu ,

ou , puisque F (a) = o ,

on aura donc , en substituant ,

/x'"-'F'f«H- - j + x«fr«+- j+etc. = o, rF'(« + - )H î f(^rt+i^ )+. .. =ro,

et si , dans cette dernière équation , on pose j: = 00, et par suite f = 6, on en conclura, si F '(a) et f(a) ont des valeurs finies différentes de o ,

I*». Pour n<^m — i, Czro;

2''. Pour n = m— \, o = — ■^^hh''»

3". Pour n^ m — i, C = ±oo.

VINGT-UNIEME LEÇON. aOD

Par conséquent , à la valeur adoptée de a correspondra , dans la première hypothèse , une asymptote passant par l'origine , ou de la forme

et dans la seconde , iftie asymptote de la forme

r^ eL3n ^— — i— i-. :

dans la troisième hypothèse, l'asymptote s'éloignant à une distance infinie , disparait entièrement.

Dans la première hypothèse les équations y = qlx . F (a) = o , donnent encore pour l'équation des asymptotes, F(- j = o, ou a:"*F ( - J = o, desorte quequand l'équation de la courbe est décomposable en plusieurs fonctions homogènes , et que le degré m de l'une d'entre elles surpasse de plus d'une unité les degrés de toutes les autres , non-seulement toutes les asymptotes passent par l'origine , mais elles sont toutes représentées par l'équation que l'on obtient en égalant à o la fonction homogène du degré m.

Exemple : Si l'on suppose B ' — 4AC > o, on reconnaîtra que l'hyperbole

Ao?» -h B^r + C/» = K

a pour asymptotes les deux droites représentées par l'équation

Dans la deuxième hypothèse , les asymptotes sont données par les équations

F(*) = o, XZ=AX — :=rr

les droites passant par l'origine et représentées par les

ao6 CALCUL DIPFéRENTIBLk

équations F (a) = o, y = «x, ou par la fonnule

sont seulement parallèles aux asymptotes. Exemple :

Dans le folium de Descartes, x^ +y^ — 3axjr == o, l'asymptote sera parallèle à la droite a:^+j^^ = o, ou X + y = o. Dans ce cas , a = — i ; en partant de cette valeur on trouvera

. f(-i) ia

et l'asymptote aura définitivement pour équation

jr=: — X — a.

Corollaire, Ce que nous venons de dire s'applique évidemment aux courbes dont l'équation a pour premier membre un polynôme entier. De plus, si dans ce cas la courbe a un centre , en le prenant pour origine des coordonnées , son équation ne devra contenir que des termes de degré pair ou des termes de degré impair. Dès-lors le degré m de la première fonction homogène surpassera de plus d'une unité le degré tz de la deuxième fonction, et les asymptotes non parallèles aux axes passeront par la nouvelle origine. On arrive ainsi à ce théorème remarquable , que dans les courbes dont l'équation est algébrique, les asymptotes non parallèles aux axes passent généralement par le centre.

Ces conclusions supposent que les quantités F '(a), f (a) ne deviennent ni nulles ni infinies : s'il en était autrement la quantité S pourrait obtenir des valeurs différentes de celles que nous lui avons assignées ^ mais pour les déterminer il sufiit toujours de chercher la limite ou les limites vers lesquelles converge t pendant que x croît indéfiniment.

VIVGT-VKIÈME LEÇOif. 207

113. Certains points des courbes présentent des particularités remarquables dépendantes de la position des axes coordonnés, ou inhérentes à la nature même de la courbe, et qu'il importe de mettre en évidence. Remarquons d'abord que , l'équation d'une courbe étant f(x^J')==^Oj si on la résout par rapport à^, on en tirera une ou plusieurs équations de la fogue j^ = F (x), et chacune de celles-ci représentera une ligne ou portion de ligne dont les propriétés dépendront de^la nature de la fonction F (x). Or, I® si cette fonction demeure continue entre les limites x=Xq^ a:=X, la ligne représentée par l'équation j' :=F(x) sera elle-même continue entre ces limites: mais elle pourra devenir discontinue , si la fonction F (x) offre des solutions de continuité , par exemple lorsque cette fonction deviendra infinie pour certaines valeurs finies de x^ ou lorsqu'elle passera tout-à-coup du réel à l'imaginaire , ou lorsqu'elle changera brusquement de valeur ^ le premier cas se présente dans l'hyperbole j^ =- , le second

dans les courbes logarithmiques^ =—, y = jrlar; letroi-

sîème dans la ligne déterminée par l'équation j^ =; .__ ,

qui se réduit à j^ = i, si a: est positif, et à j^ = — ^, si or est négatif.

2**. Dans le cas où la fonction F(j:) et sa dérivée F'(j:) resteront continues , les ordonnées maxima et minima nç répondront qu'à des valeurs de x propres à vérifier l'équation j^' = FYx) =; o ^ et une valeur de x tirée de cette équation fournira effectivement un maximum ou un minimum dans le cas où la première des dérivées F" (x), P*' (a:)... qui cessera de s'évanouir, sera positive ou négative, mais d'ordre pair. Si au contraire certaines valeurs de X rendent la fonction discontinue , elles pourront pro-

îlo8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

duire des inaxima ou des minima sans vérifier l'ëquatîon F'(x) = o.

3**. La valeur numérique de la fonction P (x) représente ,comme nous l'avons vu, la tangente trigonométrique de Tângle que la tangente à la courbe fait avec Taxe des jr : cette tangente sera donc parallèle ou perpendiculaire à l'axe des a:, suivant que l'on auraF'(x)iF=o ou F'(x)= oo. Et si la fonction dérivée change brusquement de valeur, il en sera de même de l'inclinaison de la tangente.

114. On désigne exclusivement sous le nom commun de points singuliers, tous les points qui se trouvent situés sur une courbe, de manière à offrir quelques particularités dignes de remarque, inhérentes à la nature de ces mêmes courbes , et indépendantes de la position des axes coordonnés^ Ainsi, I** si la fonction f{pc^ y) ne devient réelle que pour unnombre limité de valeurs dex, l'équation /"(j:, y)=o ne représentera qu'un point ou une suite de points isolés. Par exemple, l'équation x^ + y » = o ne représente qu'un seul point qui coïncide avec l'origine. Il peut arriver que l'équation fix^y) = o fournisse en même temps un ou plusieurs points isolés et une ou plusieurs branches de courbe.

1^^ Exemple :

ay^ -^ x^ -\' bx^ = o.

2® Lorsque la fonction f{x^ j) passe lout-à-coup du réel à l'imaginaire, ou change brusquement de valeur, la ligne que l'on considère s'arrête tout-à-coup en certains points que Ton appelle points (T arrêt.

Exemple : Les deux logarithmes j^ z= —^ y = x\x

1 oc

ont chacune pour point d'arrêt l'origine des coordonnées.

yiKGT-<UI9IÈMS LEÇON. aop

La ligne y = offre deux points d'arrêt situés sur

Taxe des y de part et d'autre de l'origine et à l'unité de distance^.

3®. Lorsque la fonction fipc^y) restant continue , la dérivée j^' cliange brusquement de valeur, les deux branches de la courbe viennent se réunir en un point donné , de manière que leurs tangentes forment entre elles un certain angle. Ce point s'appelle un point saillant. Tel est , par exemple, le point correspondant à a: = o dans les courbes représentées par les équations

^ = V/^, / =xar(ftang-, 7 = -.

JC J-

4®. Si les deux branches d'une même courbe s'arrêtent en un point donné, de manière à toucher l'une et l'autre une droite ou demi-axe aboutissant au point dont il s'agit, ce point sera ce qu'on appelle un point de rebroussement. Le rebroussement sera de première espèce si le demi-axe passe entre les deux branches de la courbe , et de seconde espèce si le demi-axe laisse les deux branches d'un même côté.

Exemple : La cycloïde offre une infinité de points de rebroussement de première espèce, tous situés sur l'axe des X , et correspondant aux abscisses

j? = G , jr = rt axR , X = ± 2/zxR.

5^. On appelle ^om^5 multiples ceux auxquels viennent se rencontrer deux ou plusieurs branches de courbe qui ne s'arrêtent pas toutes à ces mêmes points, ou auxquels aboutissent , pour s'y arrêter, au moins trois branches différentes.

aïO * CALCUL DIFFÉRBMTIEL.

I*' Exemple : La courbe j"" = j:*(i — x') est formel de deux branches qui se croisent à Torigine en touchant les droites j'" = — x^jr = x,

2™* Exemple : La courbe^* = x^(i — x') est formée de deux branches tangentes toutes deux à Taxe dea x. L'origine des coordonnées est pour ces deux courbes un point multiple.

6°. Lorsqu'en un certain point la courbe et la tangente se traversent mutuellement , ce point est ce qu'on nomme un point d* inflexion.

115. Telles sont les six espèces de points singuliers que peuvent présenter les courbes algébriques et transcendantes. On peut souvent les mettre en évidence et reconnaître leur nature à Taide des conditions analytiques suivantes. Nous exclurons d^abordle cas où l'un des coefficients diflférentiels serait infini.

Théorème i*^''. Si un point M, dans le voisinage durquel la fcmction u =^f(Xyj) et ses dérivées du premier

ordre -;-, -r- restent finies et continues, est dans la courbe dx dy

représentée par l'équation u =^f (a:, j^) = o , un point isolé

ou un point d'arrêt , ou un point saillant , ou un point

de rebroussement de première ou de seconde espèce, les

coordonnées de ce point devront vérifier les deux équa-

du du

tions -— =o, -7- == o.

dx dy

Démonstration, Dans ces quatre hypothèses, on pourra par le point M faire passer un nombre indéfini de droites PP' telles que dans le voisinage de ce point, on ne puisse trouver d'un côté au moins de cette droite (Jig.4^ 5, 6, 7), ou même des deux côtés (Jig* 3), aucun point qui appartienne à la courbe dont il s'agit. En conséquence , deux points situés sur cette droite, de part et d'autre du point M, pouvant être joints l'un à

Tautre par une nouvelle courbe PQ qui ne rencontre pas la première AB dont l'équation est u = f(x^ j^) = o, les valeurs de u correspondantes à ces deux points seront nécessairement des quantités de même signe. En eflfet, pendant que Ton passe du point P au point Q , sur la courbe PQ , la fonction u =f (x , y) que Ton suppose continue , ne pourrait pas changer de signe sans s'évanouir • or elle ne peut pas s'évanouir puisque la courbe PQ ne rencontre pas la courbe AMB dont les coordonnées vérifient seules, par hypothèse, l'équation u = f(x^y) = o^ donc elle ne changera pas de signe. Cela posé, la fonction u=^f(x,j)^ variable d'un point à l'autre sur la droite PMQ , qui s'évanouit au point M , et conserve le même signe en P et en Q de part et d'autre de ce point, sera néeessairement en ce point un maximum ou un minimum , suivant que les valeurs de u en P et en Q seront négatives ou positives. Dans les deux cas on devra avoir

du du

du du dy

dx dy dx

D'un autre côté, en appelant a la tangente de l'angle que la droite arbitraire PMQ fait avec les axes, son équation, à laquelle devront satisfaire les coordonnées x^yàyx point M, sera j^ = aj? -)- i, d'où l'on tirera

dx on aura donc en substituant

du du

dx dy *

•et parce que cette dernière équation devra subsister pour

un nombre indéterminé de valeurs de a , il faudra né* cessairement que Ton ait

dà

Les coordonnées des points isolés , des points d^arréts , des points saillants et des points de rebroussement devront donc satisfaire à la fois aux trois équations

du du

De deux de ces équations on tirera les valeurs de x et dej^, pour les substituer dans la troisième. Si un couple de valeurs a:=: jj^, j^=:j^o vérifie à la fois ces trois équations , le point correspondant , ou qui aurait x^ et y^ pour coordonnées, pourra être, mais ne sera pas toujours un point singulier.

116. Pour reconnaître la nature de ce point, remarquons d'abord que l'équation différentielle première

du dy du

dy dx dx

devenant identique quand il s'agit d'un des quatre points singuliers dont il est question dans le théorème précédent , il faudra , pour obtenir la tangente de l'angle que la touchante à la courbe fait avec les axes , recourir à l'équation différentielle du second ordre, laquelle, à

, ,, , du du /j • »

cause des conditions — = o, -j- =: o, se réduit a

d'^u f dy\^ d^u dy d*u

dy^\dxj dxdy dx dx^

Supposons encore que l'on ait ramené à la forme^=F(j:) l'équation de la branche de courbe sur laquelle se trouve le point singulier dont on veut connaître la nature.

VÎNGT-UKIÈME LEÇON. 2l3

Dès-lors , I. Le point a: = Xq , j^ =j^o sera un point isolé , 1** si les deux ordonnées F (Xo+ A) , F(Xq — h) sont toutes deux imaginaires 5 a** si à ce point la courbe n'a point de tangente , ce qui exige que l'on ait

\dxd^ ) ~dx~*dfy^ ^^' si l'on n'a pas

djr^ ' dxdy ' dx"^

n. Le point x ^^x^^y =^jo sera un point d'arrêt , i *^ si l'une seulement des coordonnées F {Xq-^- h) , ¥{Xq — h) est imaginaire ; 2° si la courbe eu ce point n'a qu'une tangente, et si par conséquent les coordonnées de ce point vérifient

l'équation -7 — = o.

m. Le poiut a:=:»ro,j^==/oSera un point saîUant, i^'si a chacune des abscisses x=-XQ'\-h^ x=Xq — h répond une seule ordonnée très peu dilïérente de j^o ? ou si à l'une de ces abscisses répondent seulement deux ordonnées sensiblement égales ^jo\ 2° si la courbe aupointoTo, j-^ a réellement deux tangentes, ce qui exige que l'on ait

/ d^u Y d*ud^u \dxdy) ~~Â^ë^^^*

IV. Enfin, le point a:o,j^o ne pourra être un point de rebroussement qu'autant que la première condition exigée pour le point saillant étant remplie , les deux tangentes en ce point coïncideront en une seule, ce qui ne peut avoir lieu sans qu'on ait

\dxdy ) dx^ dy^