F'»H ^F»+....H ^F«(^ + OA

Quand A est très petit, le premier terme l'emporte sur la somme de tous les autres, et par conséquent , entre les abscisses X elx -f- A 9 Tordonnée de la courbe sera constamment supérieure ou constamment inférieure à ceUe de la tangente, suivant que la dérivée seconde ^"{po) sera, dans ce même intervalle, constai4ment positive ou constamment négative. De plus , la tangente et la courbe se traverseront au point (x^ y) qui , dans ce cas, deviendra un point d'inflexion, lorsque dans le passage de x — Aà x+liy Y" {x) changera de signe. Or si la fonction j" = F (x) reste continue , ainsi que ses dérivées successives , dans le voisinage du point (x, y)^ Y"{x) ne pourra changer de signe sans s'évanouir ; les coordonnées d'un point d'inflexion vérifieront donc , dans cette hypothèse, l'équation F ''(a:)=:o. Pour que la difllérence à change réellement de signe , il faudra en outre évidemment que des dérivées successives F'" (x) , F'^(a:), etc., celle qui la première cessera de s'évanouir soit une dérivée d'ordre impair. Ainsi pour trouver

les point» d^inflexion , on cherchera les racines communes aux deux équationsy=F(jr), F"(a:) = o; onf(x^j) = o^

y" = o.Un système de valeurs x= j?o? jr=J^o? ^^^^ ^*^ ^^s équations, répondra réellement à un semblable point, si la première des dérivées qui ne devient pas nulle pour

ar:?=a:^,j^=: j^o ^* ^^^^ dérivée d'ordre impair.