Dans cette discussion nous avons toujours supposé

dy que y = -j- ne devenait pas infini ou que la tangente

n'était pas perpendiculaire à Taxe des x. Si le cas se présentait, il serait facile de déterminer la nature du point dont les coordonnées a: =Xo, y =Jo satisferaient à l'équa-

tion-^ =00. En effet, dans cette hypothèse, les deux

quantités F (Xq -f- A) et F (x^ — h) peuvent être toutes deux réelles, ou Tune réelle et l'autre imaginaire.

I. Si toutes deux sont réelles et toutes deux plus grandes ou plus petites que F(a:o), le point çn question sera un point de rebroussement de première espèce ; si l'une est plus grande et l'autre plus petite que F (x^ , le point sera un point d'inflexion;

n. Si l'une de ces quantités, par exemple F (j:o — A), est réelle et l'autre imaginaire , alors, i*' siF (Xo — h) a une seule valeur , le point sera un point d'arrêt ; 2° si 'P(^Xq -^ A) a deux valeurs, toutes deux plus grandes ou toutes deux plus petites que F (Xq) , le point sera un point de rebroussement de seconde espèce ; 3° si l'une des valeurs de F(Xo — 11) est plus grande et l'autre plus petite que F(Xo), le point dont il s'agit sera une simple limite de la courbe \

m. Enfin , si l'une des quantités F (Xo-f- A) , ^{x^ — h) ou toutes deux avaient trois ou un plus grand nombre de valeurs , le point en question serait en général à la fois et un point multiple et un point d'inflexion.

ai8 CALCUL DIFFÉREUTIBL.

£n résumé, on obtiendra les coordonnées des points singuliers des courbes* en cherchant dans quels cas les coefficients différentiels deviennent nuls , ou infinis , ou ^ . On assignera Tespèce du point, i^ en examinant combien il y passe de branches de la courbe , et si elles s'étendent ou non, en*deçà et au-delà; 2^ en déterminant la position de la tangente ou des tangentes correspondantes en ce point.

YINGT-DEUXIEME LEÇON.

Moyen de déterminer quand une courbe tourne sa concayité ou sa convexité vers les axes des coordonnées. — Analyse d^une courbe ou discussion de son équation. — Différentielle de Tare d^une courbe.

120. n est quelquefois nécessaire de reconnaître si une courbe tourne sa convexité ou sa concavité vers les axes des coordonnées, or Ton peut donner à ce sujet des règles générales et d'une application facile.

Il est certain d'abord que si la fonction j^ = F(x), et sa dérivée j'"' = F '(a:) restent l'une et l'autre continues pour toutes les valeurs de x comprises entre les abscisses de deux points donnés, la corde qui joindra ces deux points sera parallèle à l'une des tangentes menées par les points intermédiaires de la courbe.

En eflFet , si l'on représente para: et x-^-^ les abscisses des deux points dont il s'agit , on aura

Ajc ^x

Or — est la tangente de l'angle que fait avec l'axe des x

la corde qui unit les deux points (a:,j^), (x+Ax^y+Ay)-^ F'(x -f- 6£ix) est la tangente de l'angle que fait avec le même axe la touchante à la courbe , menée par le point intermédiaire qui aurait pour abscisse x + dAx \ la sécante

aaO CALCUL DIFFÉRENTIEL.

est donc parallèle à Tune des tangentes intermédiaires.

121 . On dit qu'une courbe ou portion de courbe est convexe entre deux points donnés , lorsque , entre ces points, elle ne peut être rencontrée plus de deux fois par une même droite. Or une courbe sera convexe toutes les fois que l'ordonnée j^ et sa dérivée y' seront deux fonctions continues de l'abscisse x , dont la seconde croisse ou décroisse constamment tandis que l'abscisse augmente. En effet, si i^fig' g) elle pouvait être coupée par une droite en trois points différents M, N, P, on pourrait, d'après ce que nous venons de dire , mener deux tangentes parallèles à cette droite par deux certains points m , w , situés l'un entre les points M et N, l'autre entre les points N etP, et pa^r conséquent^' reprendrait au point n la même valeur qu'au point m , ce qui est contre l'hypothèse.

Au contraire , il est clair qu'une courbe qui renferme un point d'inflexion ne saurait être convexe. En effet, après avoir tracé (Jig» i o)la tangente qui passe par le point d'inflexion M, menons de ce point à deux points N etP, les rayons vecteurs MN, MP, l'un au-dessus, l'autre au-dessous de la tangente ; celui de ces rayons MN qui fait le plus petit angle avec la tangente passera évidemment , si on le prolonge , entre la tangente et l'autre rayon , et rencontrera de nouveau la courbe en un point n ] cette droite MN aura donc trois points de commmi^ avec la courbe qui , par suite , ne sera pas convexe.

122. 11 suit encore des principes ci-dessus, établis, que pour décider si une courbe tounie sa convexité ou sa concavité vers l'axe des x , en un point pour lequçl r et y" obtiennent des valeurs différentes de zéro , il suffit d'examiner si ces valeurs sont des quantités de même signe ou de signes contraires; c'est-à-dire si le produit j^^'' est positif ou négatif. Eu effet, en supposant h très petit la différence â entre l'ordonnée de la courbe et celle de la tan-

gente esl (n** 118) de même signe quey". Or pour que la courbe tourne sa convexité vers Taxe des Xj il faut, i^sijest positif que la courbe soit au-dessus de sa tangente ou que d et y soient positifs 5 2° si j- est négatif, que la courba soit au-dessous de sa tangente ou que d ely" soient négatifs : au contraire, pour qu'une courbe tourne sa concavité vers Taxe des a:, il faut, suivant que^ est négatif ou positif, que la courbe soit située au-dessus ou au-dessous de sa tangente, c'est-à-dire que â et y" soient positifs dans le premier cas et négatifs dans le second. Donc, etc.

125. Quand on veut faire l'analyse d'unccourbe donnée par l'équation J'Çx , j^) = o , examiner sa nature , ses propriétés, etc., il faut, i® chercher les points où eUe rencontre les axes 5 2® quand on le peut , résoudre l'équation pour en tirer une ou plusieurs valeurs de la forme y = F (x) , jr = ((x) ^ chacune de ces dernières équations représentera une branche de la courbe donnée : il faut au moins déterminer autant que possible combien de valeurs dej^ répondent à chaque valeur de x , ou combien de valeurs de X répondent à chaque valeur dej^ ; 3° examiner-entre quelles limites les coordonnées sont réelles , et si la courbe a des branches infinies ^ 4° calculer, en prenant la dérivée, l'angle que la tangente fait en général avec les axes , fixei* les points où cette tangente est horizontale ou verticale , s'il y a des maxima ou des minima 5 5° trouver s'il y a des asymptotes et quelle est leur équation ^ 6° voir enfin si elle admet des points singuliers, et de quelle nature ils sont. i**^ Exemple : Discuter la courbe

f^ — 3axf -f- j?^ = o.

Cette courbe (fig* 1 1) s'appelle le folium de Descartes : ï** elle rencontre les axes à l'origine seulement ] 2° à chaque

valeur positive de x, depuis x = o jusqu'à x=a V^-, ré-

pondent trois valeurs de l'ordonnée y ; depuis x = a I/4

jusqu'à X = 00 , une seule des valeurs de y est réelle , les deux autres sont imaginaires ; enfin , à chaque valeur négative de X répond une seule valeur positive de y^ qui croît indéfiniment avec a: : 3** la courbe a deux branches infinies, situées Tune au-dessous, Fautre au-dessus de l'axe des x\ ^\2l tangente en un point quelcpnque fait, avec l'axe des x , un angle t déterminé par l'équation

fl r— x^ tang T = —^ ;

la tangente est horizontale à l'origine et au point qui a

pour coordonnées a: = a v\ ^y := a Ka : cette dernière ordonnée est un maximum \ la tangente est verticale à l'o-

rigine et au point x = a v^^y = a k a : 5^ la courbe a, comme nous l'avons déjà prouvé , une asymptote dont l'équation est^= — X — a\ &^ l'origine est un point double ; les deux tangentes en ce point sont l'une verticale , l'autre horizontale : 9** si l'on prenait pour axes des coordonnées une parallèle et une perpendiculaire à l'asymptote menée par l'origine , l'équation de la courbe deviendrait

y'^[Za -t- 3x l/ï ) = Box* — x^\/i ;

à chaque valeur de x répondraient deux valeurs de y égales et de signe contraire 5 l'axe des x serait un axe principal.

:2™® Exemple : Discuter la courbe

j4^g6fl*j* -{- iooa*j7* — x^ =:z o.

Cette courbe (fig» 12), i*^ rencontre l'axe des x à l'origine et aux points x = :iia kio , l'axe des y à l'origine et aux points j^ = it 4« V/6j 2° En résolvant, par rap-

VINGT-DEUXIÈME LEÇON. Hni

port à^, on trouve

3®. Depuis X = o jusqu'à x = 6a^ h chaque valeur de X répondent quatre valeurs de y égales deux à deux , et de signes contraires^ depuis x = 6a jusqu'à x = Sa^ l'ordonnée est imaginaire; la courbe n'a qu'un point dans cet intervalle; depuis x = Sa jusqu'à x = loa, l'ordonnée reprend quatre valeurs réelles , enfin , depuis X = loa jusqu'à x = oo, deux seulement des valeurs de y sont réelles; la courbe s'étend à l'infini au-dessus et au-dessous de l'axe des x ; elle est symétrique par rapport aux axes qui sont des axes principaux; la portion à gauche est entièrement semblable à la portion située à droite : 4°. La touchante, en un point quelconque, fait avec l'axe des x un angle dont la tangente trigonométrique est

dx j^— 48^*j'

Au point X = o , j^ = ± 4«k6 , la tangente est horizontale ; elle est verticale aux huit points qui ont pour coordonnées

x=-}-6fl, j=±4^V/3; x=z — 6û, 7=±4^V/3> *zz= + 8fl, 7=:±4flV/3; xzr— 8a, j ==dz4a\/3 :

5**. La courbe a deux asymptotes passant par l'origine, qui est son centre , et dont les équations sont y = x ^ y "=- — X. De sorte que leur position est indépendante de la constante ou du paramètre a : 6^ l'origine est un point double ; à ce point la courbe est touchée par deux droites faisant avec l'axe des x des angles dont les tangentes trigonométriques sont respectivement égales à -f- V/yJ

et — V71 ; la courbe a, de plus, quatre points d'inflexion qui sont clairement indiqués par la marche de ses bran-

2^4 CALCUL DIFFÉBENTIEL.

ches ^ mais il serait difficile de déterminer leurs coordonnées, à cause du degré élevé de Fécpiation dont elles sont racines.

3°*® Exemple : Discuter l'équation

déterminer sa nature et ses points singuliers suivant que m sera un nombre pair 2/^, ou un nombre impair 2/j +i ; ou une fraction de dénominateur pair et de numérateur

impair , ou une fraction de Aumérateur pair et

de dénominateur impair ; — , ou enfin une fraction

— ^î^ dont le numérateur et le dénominateur soient à la

fois impairs.

J^^ Exemple : Discuter la courbe •

y^ — J?^ -f- nbx^jr z=: o.

Cette courbe (fig- i3) est formée de deux parties situées l'une au-dessus , l'autre au-dessous de l'axe des a:, et symétriques par rapport à l'axe desj^^ la première branche touche à l'origine l'axe des x , la seconde a pour tangente l'axe desj^^ l'origine est pour la courbe un point triple, et pour la branche inférieure un point de rebroussement; l'une et l'autre partie ont pour asymptotes les deux droites

qui rencontrent l'axe des^ au même point et font, avec l'axe des a:, un angle de 4^^.

5™® Exemple : Discuter la courbe L'origine est (fig* i4)9potir cette courbe, un point triple.

VINGT-DEUXIÈME LEÇON. ïl^S

6™* Exemple. Discuter la courbe

L'origine et le point j^=o, x=^a sont deux points doubles.

124. L'arc s d'une courbe f(x^y) = o^ ou j^=rF( x), compté à partir d'un point fixe quelconque A jusqu'au point M , est évidemment une fonction de l'abscisse x de ce point. Cette fonction , comme nous le verrons par la suite , est très difficile à déterminer : on n'y parvient que dans un très petit nombre de cas \ mais il n'en est pas ainsi de sa différentielle, que l'on obtient très facilement et dans tous les cas possibles. En effet , considérons sur la courbe {fig* i6) un deuxième point M' dont l'abscisse soit x-|- Aa:, M]Vr= A^ sera l'accroissement de l'arc AM=:^; on pourra d'ailleurs prendre Ar assez petit pour que dans cet intervalle la fonction dérivée j^' = F '(a:) ne changeant pas de signe , l'ârc MM' soit convexe.

Cela posé, menons la tangente au point M, elle fera avec l'axe des x un angle NMQ = t dont la tangente trigôtiotnétrique , le sinus et le cosinus sont

Prolongeons enfin cette tangente jusqu'à ce qu'elle rencontre en N l'ordonnée M'P', prolongée s'il est nécessaire. L'arc convexe MmM' est plus grand que la corde MM' et plus petit que la ligne enveloppante MNM'^ on a

donc

MiwM' > MM', MmW < MN + NM'.

NM' = NQ — M'Q =MQ tangNMQ — M'Q = x'^x — a/; on aura donc , en substituant ,

226 CALCUL DIFFÉRENTIBL.

et par suite

A la limite, les seconds membres de ces deux inégalités de^ viennent égaux entre eux et égaux à