AT

A* -^ sin/ V^i — x» V/i— ^

Remarque* Si Ton ajoute les différentielles des deux fonctions arcsinor, arccosor, on trouvera o, ce qui doit être, puisque k somme de ces deux arcs est évidemment égale à une quantité constante dont la différentielle est nécessairement nulle.

TROISIEME LEÇON. l3

DériTées et différentielles des fonctions de fonctions , des fonctions

composées et des fonctions implicites.

11. Supposons que z soit une fonction de fonction de X, déterminëe par les équations z = F(j^), y =y(ar) ^ en donnant à or un accroissement Ar, y elz prendront des accroissements A^, Az , et Ton aura

Lx ùx ùjr Ax'

à la limite , le premier facteur -^^- — ^ devient

évidemment la dérivée dezj prise par rapport ky^ comme si^ était variable indépendante \ désignons cette dérivée par z^jj nous désignerons par z'^ la dérivée de z prise

par rapport k x, ou la limite du rapport — ^ le deuxième

facteur -—- a pour limite la dérivée y, ou j^ de j' prise par rapport à a?; nous avons donc en dernier résultat

Ainsi la dérivée d'une fonction de fonction , est égale au produit de deux dérivées. Tune z\ prise par rapport â j, comme sij^* était variable indépendante, et Fautre^^ prise par rapport à x. En désignant par dj^z, d^z, d^ les différentielles de z prises par rapport à or et à j^ et de ^ prise par rapport à :r, on aura , n^ 8, en vertu des défi-

l4 CALCUL DIPPÉIBHTIEL.

nitions admises,

et par suite

dx^ djZ d^ ^djc^i^ ÉlLdx

dx dy* dx* dx dy* dx

On est convenu de supprimer les indices ar , j^ et d'écrire simplement

dz dz dy dz , dz dy ,

— =: — . — , — dx^z —dx^

dx dy dx dx dy dx

en laissant aux dénominateurs dx^ dy^ désormais inséparables des numérateurs, à désigner que les dérivées sont prises tantôt par rapport à y , tantôt par rapport â X.

dz Ainsi --r- n'est pas proprement une fraction ; mais un sym-

bole, une notation qui indique la dérivée de z prise par

rapport ky. On écrit cependant souvent dz :=i — -^ fb:,

au lieu de ;r'^= j"*;/^ ^ t parce que le second

membre indique suffisamment par sa forme que la différentielle du i**" est prise par rapport à x.

Si l'on avait u = y\z), z=f(j), y=ff{x), on aurait de même

^ ;iJ^^+^^yziEl^ /ix+^r)—Ay) ày

^x Au ^y àx'

Les trois facteurs du 2* membre ont respectivement pour limites les dérivées i/',, z'^, y^^ de u par rapport à z, de z par rapport ky^ de y par rapport kx] on aura donc u', = u\^z^j .y X 9 et la dérivée d'une fonction de fonctions est toujours égale au produit des dérivées de toutes les variables prises chacune par rapport k ceUe qui la suit

TROISIÈME LEÇOII. IJ

imaout elle dë{)eiid immédiatement, couune si elle était variable indépendante. En admettant les notations précédentes, on aura

dgU dtU djZ d^y dx dz* dy dx ^

(jueldi écrit simplement

du dudt dy du dz dy

dx dzdydx^ dz dy dx

Applications, i°. z=: y^ z' =i y\ dz ::=. d) ,

1^. z = a :iij^y

y étant une fonction de x , on aura

une constante ajoutée à une fonction ne change rieti à sa dérivée ou à sa diflerentielle , et par conséquent deux fonctions (pii ne diffèrent que d'une quantité constante ont la même différentielle et la même dérivée.

^ dz dy , dy ,

On différentie sans avoir égard à la constante qui reste simplement en facteur.

. a dz a dy a ,

a dy ^ ady

dz= ~ dx = ^,

X*dx 7»

t dz dy ,

dz ■=. ay*^ " * j^"'''^ ■=iay'^^ 'dy ;

l(> CALCUL DIFFÉRENTIEL.

La dîflérentielle d'un radical du second degré est don toujours égale à la différcnlielle delà quantité sous le rad cal divisée par le double du radical.

n». 2=0?^, -^=flr/la-p-, dz=ia^\adx\ * ftx dx

dz dy , dy