z = 8in/, ^ = C0S7^, dz^=LQO^y—dxr=zçmydy
dz ' dy • ^j ' j
lo». z = cosj, ^= — sin/^,É^2=— 8in^^r/x=— sinr^O
dz ^ ^y j ^y
II*». z=:arcsinr, -;-=: — >-.^ -— , az = --,__^=:,
dz ^ dy ^ dy
i^o. z=:arccos^, — = -; -~ </«= —
dx y/j^^y^dx* y/j y*'
La règle générale est donc de diSerentier comme si^
dr était variable indépendante, puis de substituer ^ -j-o
à dy , leur valeur en or tirée de l'équation j^ =J'Çx).
12. On calcule avec non moins de facilité les dérivé et les différentielles des fonctions composées.
1*^. Pour II = z itj^, on trouve
^u Az, Ax , du ,. , dy^^dz . . . .
— =— ±~," =-r=J =tz'=--f ±:— , du=zdy±:d
Ax Ax 'Ax dx '^ dx dx *^
La dérivée ou la différentielle de la somme ou de différence de deux fonctions est égale à la somme' ou la différence des dérivées ou des différentielles de c fonctions.
a®. Pour u = ^ ,
AX Ax AJ7 AX Aj: '
,. Att , du dr , dz , . /
Plus généralement si tv = i^ozy... , on trouvera
c est-à-dire, que pour avoir la dérivée ou la différentielle d'un produit, il faut dans ce produit remplacer tour à tour chaque facteur par sa dérivée ou sa différentielle et faire la somme des produits ainsi obtenus.
On peut arriver d'une autre manière à cette conclusion. Eu effet, l'équation w = uuzy... donne
«^ = ç*uHy*. . . , W» = 1p» + la» H- \z* -f- \x* 4- etc. ;
eu différentiant les deux membres de cette équation identique, on trouve
dtv dç du , dz , dr
— = — H h — + etc.,
(V V U Z jr
dw^i uzy...d9-^pzy,..du + puf,,,dz + ci«...f(^-f-etc.
tfota. Nous avons élevé au carré pour éviter les logarithmes imaginaires, dans le cas où les quantités i^, /<, «, j... seraient négatives.
exemples : 2 =xljr, z = afe"*.
y AJT \r+A/ XJ àx 6x dx y* y*
A2 Ar
AX AX
Jix + AT) '
l8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
La diiréreiilielle d'une fraction est donc égale au dénominateur multiplié par la différentielle du numérateur, moins le numérateur multiplié par la différentielle du dénominateur, le tout divisé par le carré du dénominateur. On pourrait arriver au même théorème de la manière suivante :
L'équation w = - donne
, , , du dz dy , rdz — zdy
4\ Vouru=y%
du dY
la = zl j , — ■=zz—-]rdz !/, du = j»" » {zdjr+y\y dz\,
13. On peut déduire de l'examen de ces divers cas particuliers la règle générale suivante : pour différentier une fonction composée quelconque, il suflSt de différentier tour à tour par rapport à chacune des fonctions dont eUe est formée, comme si les autres étaient constantes , et de faire la somme des quantités ainsi obtenues. Eji vertu de cette règle , les équations
donnent bien
dif z= yzdu -f- uydz + uzdy , du z= j*~ ' {zdy + y\ydz) ,
du =: j:*( i -f- \x) dx,
, ,. sin X , cosj: , . sin*jr , Applicat. y = tang xzr: , dy = dx H dx,
dx
CCS X . sin a: , cos* x
X==cotx = -i , dy z=L ; dx ; ,
sm X sm X sm*a:
dx
dy:=z r—- = — ( I + cet* j?) dx :
8in*j: . ^ ^ ^
TROISIEME I.EÇOK. I9
MD r , dy
^ ^ ' ^-^ cosjr cas»/'
dy"=idx cos*/ ==
i+x»' j=arccotx, éfy = — dxsin*/ = —
Si Ton a plus généralement a = F( j, «) , jr et xr étant deux fonctions quelconques de x^ diaprés la règle ci-dessus énoncée , la différentielle du se composera de deux parties*, Tune sera la différentielle de F(y , £) prise par rapport à y comme si z était constant , différentielle que Von peut et que Ton doit désigner par la notation
— ^^-^ — dx^ on simplement -r-^r; l'autre seraladiffé-
dx dx '^ dx -^
rentieDe-T- dz deF(jr^ z) prise par rapport à z comme dz
i « du . du 1
SI y était constant ^ on aura donc du =^ — dj -^ — az :
or cette équation, qui est d'une très grande importance dans la recherche de» différentielles , peut se démontrer facilement comme il suit. Eln effet , donnons à x un aceroissement Ax^jr^ z, u prendront des accroissements Ajr, À?, Aie, et nous aurons
Att^F(jr+Ajr, z+^z)—¥{x, z)Y(x+àjr, g)— F(7, z) Ay ^ Ax C^jr Ax
Y{y + Ax, z + Az) — F(j + A7, z) Az "*" £iZ ùx*
En passant à la limite, le i**" membre devient -j- ; le
dx
i" terme du 2* membre est -;- . -^^ ouïe produit de— par
dy dx '^ dx ^
la dérivée de ¥{j^z)=lu prise par rapport à j, comme si
jéuit seul variable, et z constant. Pour mieux connaître
fiO CALCUL BIFFÉKÉNTIBL.
ce que sera à la limite le second facteur^ faisons d'abord Ay =^ o , il devient
ÙZ HiX^
j et si Ton y fait de plus Az = o, on voit évidemment que ce terme à la limite est bien le produit de — par la dérivée de F(j^, z) prise par rapport à z, comme si z était seul variable, et^ constant. Nous avons donc réelle^ ment
du du dy ^ du dz , du , du ,
— = — -^ -I et du z=z — dr + — dz .
dx dy dx dz dx ^X ^
Si l'on avait w = F(y, tj a, i^,...), on trouverait de la
même manière
dw . . dw ^ dw . ^ dw , dtv =1 -r- dr + -T- dz -j- -T- du -4 — j-iw + etc. , dy *^ dz ^ du ^^ dv '
et la règle que nous avons donnée plus baut pour la différentiation des fonctions composées, se trouve rigoureusement démontrée^ c'est-à-dire que pour obtenir la différentielle d'une fonction composée , il suffit de différentier tour à tour par rapport à chacune des fonctions composantes, et de faire la somme des différentielles
ainsi obtenues. Ces différentielles -rdy. -r-dz^ -=- ilu.
dy *^ dz ^ du
— du, s'appellent les différentielles partielles de la fonction F(j^, z, M, t',...).
Exemple : si li = F (sin x , cos x) , en posant sin x =^) cos x = z , on aura
du du
du := -r- cos xdx —— — - siaxdx ; dy dz
et si w = cos*x-|-sin*x,
du = — a cos xsinxdlr-f> 2 sin x cosxeix = o*
ce qui doit être puisque cos' x -h sin' a: = i .
TROISIÈME LEÇON. Ij
a*^. Pour u = zjj
AJ? Aj: Ax Ax Ax *
,. Att , du dr , dz / . /
Plus généralement si w = i^uzjr. . , , on trouvera
dtp cr' = — = uzy,.,tf''^^~i^zJr,.,u' + vuy^.,z' -f- c«z.,,/' + etc. ;
</«» = uzy ,,,dv '\-' vzy\*.du ^ çuy,.,dz -^ vuz,,,dy ^ eX.c. ;
c'est-à-dire, que pour avoîr la dérivée ou la différentielle d'un produit, il faut dans ce produit remplacer tour à tour chaque facteur par sa dérivée ou sa différentielle et faire la somme des produits ainsi obtenus.
On peut arriver d'une autre manière à cette conclusion. En effet, l'équation w = vuzy,,, donne
«r* =r c;>a»2»j». . . , W = 1p» -f- 1m» -f* b» -|- 1^» + etc. ;
en différentiant les deux membres de cette équation identique, on trouve
dw dv du dz dy ^
— = — H 1 h — 4- etc.,
dwrzz uzy.,.d9^vzy,.,du + vuy,,,dz -f cttz...r(^-f-etc.
Nota. Nous avons élevé au carré pour éviter les logarithmes imaginaires, dans le cas où les quantités i^^ u^ z^y... seraient négatives.
Exemples : z=x\x^ zzzzaf'e ',
AZ Ar
^ -^ Z AK /z-f-A3 Z\ \ àX AX
y. Pour « = -, — = ( —r- 1— =-7 r— -7 ,
r Ax \y+ ày y) Ax r (r + ^r)
A« , du yif — z/ ydz — zdy
a a CALCUL DIFFÉRENTIEL.
d'où
du du
dy dx ^ j
dx é/u * du
dx dy
D est doue facile dans tous les cas , sans résoudre Téq^
dr lion F(x, j') = o, d'obtenir la dérivée ^ , ou la di
rentielle dy \ il suffit pour cela de prendre les dérivées
I®' membre tour à tour, conmie si x eiy étaient variai
indépendantes ; le quotient de ces dérivées pris en si|
, dy contraire donnera la dérivée—^; en le multipliant
dx on aura la différentielle dy.
Exemple :
du du
y^^a^—'^axy = Oy ~=3a:^ — 3ay, =3j* — 3
donc
dy af^'-^'ay ay^^x^
dx y^'^ax y^^-^ax
a* Exemple :
du ^ du
y'—xr=Oy —=y'\y—yxf"y — = xy''* — xJ
donc
dy ^yxT"^ — X'^X __T* — ^X^X dx xy*'^ '^xTXx j:* — x/lx'
Nota. Dans les équations qui précèdent , aux notati
-r , T-"--» on substitue souvent les notations équivalei
dx dy *■
dx ' tir'
Des iIiTÎvées et diflérentieUes successives. — Chaiigemeul de la variable indcpendaute. — DifTèrentielles des fonctions imaginaires.
\b. La dérivée ^^(jt:) d'une foiirtion quclcoiujue V(x) étant généralement une nouvelle fonetion de x, elle aura aussi sa dérivée et sa différentielle , et Ton conçoit que d'une fonction donnée F(.r) on pourra déduire en général une suite de fonctions nouvelles, dont charnue sera la dérivée de la pi*écédente. Ces fonctions nouvelles sont ce qu'on nomme les dérivées des divei^s ordres de y ou F(jr), et on les i'ndique à l'aide des notations
ou
Ainsi j^' ou F'(x) sera la dérivée du premier oindre de la tonction proposée j^ = V(x) ] y ouF"(x) sera la dérivéedn .second ordre de -^et en même temps la dérivée dupnîmitîiordredey. .. EnCn y^"^ ouF^"^ (x) (n désignant un nombre entier quelconque) sera la dérivée de Tordre n de j^ et en • même temps la dérivée du premier ordre de j^^"~*^, etc.
16. Comme la différentielle rly =:zjtlx^ d'une fonction de la variable x est une autre fonction de cette variable, on pourra la différencier plusieurs fois de suite, et Ton obtiendra de cette manière les différentielles des divers ordres de la fonction ^^ Il semble qu'il faudrait les désigner par les notations (l,dy\ (LcLtly , . . (Ld.fL(1,dy\
mais ôn est convenu, pour abréger, de les écrire de k manière suivante
n existe entre les dérivées et les différentielles successives des relations remarquables qui peuvent cependant être regardées comme le résultat de certaines conventions.
Pour calculer à^y^ il faut différentier l'expression dy =:jdx\ or dans celte expression on regarde le facteur dx<i qui est Taccroissement arbitraire Ao: attribué à la variable x dans la première différentiation , comme indépendant de cette variable , et il Test en effet , comme ne variant pas avec elle : y'dx = V {pc)dx est donc un produit dans lequel le facteur dx est constant, et dont on obtiendra la dérivée en donnant à x un nouvel accroissement ùjc , et prenant la limite de la quantité
dx
F'(a:+Ax)— F'(x)
ùkX
limite qui est évidemment égale kjr'dx : telle est donc la dérivée de dy^ et si l'on convient de prendre le second accroissement Ax égal au premier dx , la différentielle de dy sera y ^% et Ton aura
En procédant delà même manière, on aura successivement
d^y=dydx* = dx^dy'z=zy^dj^,d^y=/''dx^.,.d^y=y^^^dxr^
La différentielle de l'ordre quelconque /* est donc égale à la dérivée de l'ordre n multipliée par la puissance n'*'% dxf"^ de l'accroissement arbitraire attribué à la variable x, et réciproquement la dérivée» de l'ordre », y^'^\ est le coefficient par lequel il faut multiplier la /i**"" puissance
dx^ de dx = Aa:, pour obtenir la différentielle de Tordre n. C'est pour cette raison quej^^"^ est quelquefois appelé le coefficient différentiel de Tordre n.
Appliquons ces principes généraux d'abord aux fonctions simples :
1°. jr = fl-f.x, /= I, /'=o, y = o...^(") = o,
2». ^ = a—x, /=—!,/' = G, y=o...jC«)=o, dy=.^^dxj d^jrzzzOy d^jr :=z o. , .dy =z o\
3°. ^ = ax, / = fl, /' = o,. ..j(*) =o,
dj' = adx , d*jr=zo, •. dy = o ; a
4°. r = - = «^ S y = — «^"* I y =+ 2flx~3. . .
Le coefficient ( — i)" exprime que la dérivée est accompagnée du signe — quand n est impair, et du signe -|quand n est pair.
rf'j = £i(a — 1). . .(a— 71 + I )af^daf.
Cette dérivée de Tordre n ne sera jamais nulle si a est un nombre fractionnaire ou une quantité négative, mais elle s évanouira si a est un nombre entier m , quand n sera égal à m -f- i . Ainsi la dérivée et la différentielle de Tordre (m -f- I ) de x^ sont nulles ^ la dérivée de Tordre m est la qiuintité constante m (m — ^) {^ — 2). . . i, ou I.2.3. . .m.
fr. j = fl», / = a*\a^ y" = fl*lfl». . . , ^'») = o^la";
Si
a6 CALCUL DIFFÉREIfTlEL.
toutes les dérivées de e* sont cette même exponeiitielU Les dérivées successives de j' = e"', sont
et Ton a
— jr*"" v' — —
xla^la'^ ' ^ - la
^n)^ 1= -^ .1 2.3...(« — I )x^''daf
8". 7 = sin X , y = sin f X + - j , /" = sin ( x -f a - j j^(") = sin(;p + /î- j, rf(»);^=sin[x4-/i- ] rir".
sin (ar + /i- j n'a que quatre valeurs diflercntcs^ n '
effet ne peut avoir qu'une des formes suivantes :
4»» , 4"' 4" * » 4''* + ^ > 4^^ + 3. Dans le premier cas
ain(jf+/i-) =sin(j?-+- 2/w»-) := sin x ; dans le deuxième cas
sinf jr + «-j = sin fx4- 2//i:v *-f- - j = cos x ; dans le troisième cas
sin( X + « - j =: sin [x + 3w» + 7; ) z=: —sin x
QUÂTRlion LEÇON. ^^
dans le quatrième cas
sinf x+«- 1= «inf JC-4- amw-f- 3- j = —
cosor.
Les dérivées de Aux n'oflBrent donc que quatre valeurs qui se reproduisent périodiquement.
9°. / = cosx,/^ = cosf 0:4— J, j** = cosf x-f-'i- j. .. j(") = cos ( «+«-)» £/f")j = cosf x-f-zi ~ J daf^.
Ici encore les dérivées nWtque quatre valeurs distinctes, CO8X, — sin x, -^ cos Xj -4- sin x, qui se reproduisent périodiquement.
'. / = arcsinx, /=(i— -j:*)", f = x{\ — a:»)"»,
y=:(i +aj:*)(i — a:*)"», etc.;
ii«. /=:arccoft4:,y=— (i — ar*)"s/'= — a:(i— ce»)"», etc.
17. Quand z était une fonction de fonction, déterminée par les équations
z = F(j), jr =f{x),
nous avons trouvé
dz dL dy
dx dj ' dx^
dz en différentiant une seconde fois , et remarquant que —
dy est une fonction de r, ~- une fonction de x , nous au-
dx
rons
(te» dy^ dx^^ dy djà^^ dy^ *^ r(r
a8 CALCUL DIFFÉREMTIBL.
Une troisième différentiation donnerait
dh d^z dy^ %^^ ^X d*y dz d^y
S"'""^^"^ '^^dxdx^'^'^dj?'*
Exemple: z = 1^, / = sînx.
On trouve
dy =zco^xdxy rf*/ = — sin xéir* , i/^/ = — cosxdlr^,
dz I I d^z 1 I é^z 2 1
dy y sinx ^ dy* j* sin*a:' dy^ y^ sin^x'
d!» = rf.lsinx = —; — dx* rt'z = rf*.l sina?= -— -T— -- •
ana? sm*a:
dH = rf^.lsinx = -^— î — dj?,
srn^x
Ces* exemples suffisent pour montrer la marche à suivre dans tous les cas particuliers.
18* Supposons enfin que u soit une fonction composée, ou que Ton ait
Nous avons trouvé
, du du dy ^ du dz
dx dy dx*^dz dx'
Différentions une seconde fois , en nous rappelant que
—, — sont des fonctions immédiates de j^ et de ^ , et des
dY dz fonctions de fonctions de x, tandis que ^, -z- sont
seulement fonctions de x ^ de plus , désignons par les no-
d*u d^u , ^, , , , du du , , taUous , . , -; — r- les dérivées de --, -;- prises, lapredzdy dydz dy dz *: '^
mière par rapporta ^,la deuxième par rapport à j^, ou ce
QUATHIÈME LEÇOlf* ap
tpi'on obtient en différentiant u d'abord par rapport kjr^ puis par rapport à z , ouen premier lieu par rapport à z, et en second lieu par rapport à jr ] nous montrerons plus tard que ces deux quantités sont égales, ou qu'on a
= : cela pose, nous trouverons
dzdy djrdz
d^u </*« djr^ du d^y d*u dy dz ,du d*z d*u dz*
rfr» ^^"'"^^"'"^ dzdf dx dâ dz dx^'^d^ dx* ' d*u . , du ^ d^u , , , du . d^u .
Pour différentier une troisième fois, on désignerait
par , , , r-TT les dérivées des quantités -r- , , , , ^ dzdjr* dfdz* ^ djr*^ dzdy
—, prises pour la première par rapport àz, pour la seconde
par rapport à z et à y, pour la troisième par rapport à y. Nous prouverons aussi plus tard que ces dérivées offrent
seulement deux valeurs distinctes —-—-=— — -=-____-.
€izdjr* dy^dz dydzdy ^
: dès lors il serait facile d'é-
dydz^ dz*dy dzdydz
crire la valeur de ^-3 o^ de d}u.
Exemples -. « = /z, j = sin x, z =: cos x,
dy = cos xdx^ d*y = — sin xdx^ , rfz = — sinxdlr, £f*»= — cos xrfr*, du du d^u d*u d*u d*u
^'^^' ~dz~^^ d^^^' ^""^^ l^^l^^^' du =: z cosxdx — j^ sin xdx = cos* xdx — sin* xdx , <^tt=r -^cosxsinjrcir* — 2 cosjrsinxd^r* — cos jr sin j; cLr*,
ou enfin
d*u = -—> 4 sin X cos xd[r*.
On trouvera facilement, d'après ce qui précède, que les dérivées »'•""' des fonctions
3o CALCUL DIFFÉRB»TIBL.
i4=j+a, «=/ — z, « =r A^ -f- 62 -f- etc. , u z=z ax^ + bx^"' + caf^* • • • + p^* -f- yj? + '"> sont
'^"(ûfr + ^z + etc.) = ady + bd^z + etc,y d''(ax*+bx^^+ ...)=:i.2.3.. .nadx'^y d''^^{aaf' + baf' +etc.) = o.
La différentielle w**"^ d'une somme ou d'une différence, est donc encore égale à la sonmie ou à la différence des différentielles n'^""".
