Scolie, Reprenons les équations
y=Ax), /=/'(*) =^:
quand x est variable indépendante on obtient immédiatement les dérivées et les différentielles successives çn regardant Jx comme une quantité constante, mais si x cesse d'être la variable indépendante et devient fonction d'une autre variable, dx sera aussi une fonction de cette variable, et en différentiant plusieurs fois de suite les deux équations
et ayant égard aux règles ci-dessus établies, on trouve
dy =/'(*)dx, d'y =/"(x>ir» +/'ix)d'x, d^y =/''{x)da^ -t- lf''{x)dxd^x +/'{x)d^x,
, dy „ dx dxd^y — ^ dy^x
dxd\y — dyd^x
dx^ f'=d.
dx dx{dxd^y^^dyd^x)'^Zd^x[dxd*y^^dyd*x)
QUATRIÈMB f.EÇOM. 3l
Ainsi , i^ pour passer du cas où la variable x est variable indépendante au cas où elle cesserait de Fètre, il suffit de substituer aux valeurs -p-, -r-^» -r-r, etc., des
dx dx* dx^
dérivées j^, j^, y"^ ... les nouvelles valeurs données par les équations qui précèdent ; 2** pour revenir au cas où x serait variable indépendante, il suffit de supposer la difTérentielle dx constante, et par suite rf'x=o, rf'x=o, etc.; on retrouvera en eflèl de cette manière
^ ^ dx' ^ ~rfx>' y-da^'^^''
V^ dans ces substitutions ou dans ces changements de variable indépendante, la dérivée du premier ordre est la
seule dont l'expression -^ reste la même , de sorte que les
formules qui ne contiendraient que des dérivées du premier ordre, conserveront seules la même forme dans tous les cas.
20. Pour obtenir les dérivées ou les différentielles successives d'une fonction implicite donnée par Técpiation u =zV{x^y) = o, on pourra partir deTéquation
du du
dy dx . dx ,
di=-^ ou rfr=-.^^,
dy dy
qui, différentiée plusieurs fois ^ donnera immédiatement les dérivées et les- différentielles cherchées ; mais il y a souvent de l'avantage à déduire ces différentielles des équations que Ton obtient en différentiant de nouveau Téqua-
lion
du , , du .
Dans cette équation comme dans toutes celles ^'on en d^uit, les dérivées partielles — , —, ^-^, etc., seront,
3!l CALCUL DIFFÉRENTIEL.
en généra] , des fonctions de x et de j^ : la fonction implicite y^ au contraire, et ses différentielles éfy^ d^y^ d?y^ etc., doivent être supposées tenir la place de leurs valeurs en x \ dans cette hypothèse les premiers membres des équations sont identiquement nuls, et il faudra toujours égaler leurs différentielles à o. On trouvera de cette manière
d^u . d^u dr . d^udy* dud^y
dx* dxdydx^^ dy^dx*^^ dydx^ *
d^u d^u dy i^li?^
dx^ dx^dydx ' dy dx^ "^ ^
On a quelquefois aussi besoin de prendre les dérivées et les différentielles des fonctions imaginaires que nous supposerons toujours ramenées à la forme u + i^ k— i , u et i^ désignant des fonctions réelles. Cela posé, si Ton appelle limite d'une expression imaginaire variable ce que devient cette expression quand on y remplace la partie réelle et le coefficient de {/" — i par leurs limites respectives, et si , de plus, on étend aux fonctions imaginaires les définitions données pour les différentielles et les dérivées des fonctions réelles , on reconnaîtra que Téquation w= u + u [/" — I entraîne les suivantes :
dx dx dx •
dw=. du -^ dv V^ — i;
de sorte que pour différentier une fonction imaginaire , il faut opérer comme si la fonction était réelle , en regardant \/^—i comme un coefficient constant. Cette règle s'étend évidemment aux dérivées et aux différentielles successives.
Exemples : w = coso: -f- 1/— i sinx,
£/«'=(— sinx-|-K—icosj:), dw = — cvV^ — i rfx.
CINQUIÈME LEÇOn. 33
Relations qni ezitient entre les ibnctiont réelles d^une seule Ttriable et lears dérivées on diBerentielles de divers ordres.
SI. Soient Ax, A^, les accroissements simultanés des
variables x et y = F (x) , le rapport — ayant pour limite
la dérivée j^, finira, quand Ax sera assez petit, par avoir le signe de sa limite , et sera par conséquent positif si la dérivée est positive, négatif si la dérivée est négative. Dans le premier cas, les différences infiniment petites ùjr, Aor, étant de même signe ^ la fonction ^croîtra ou diminuera en même temps que la variable x ; dans le second cas, ces différences infiniment petites étant de signes contraires , la fonction jr crottra si la variable x diminue et décroîtra si la variable x augmente.
Corollaire i*'. Concevons que la fonction jr = F (x) demeure continue entre deux limites données x^, X, et que Ton fasse croître la variable x par degrés insensibles depuis la première limite jusqu^à la seconde , la fonction F(x) ne pourra cesser de crottje pour diminuer, ou de diminuer pour croître, qu'autant que la dérivée F'(x) passera du positif au négatif, ou du négatif au positif. D est essentiel d'observer que dans ce passage la fonction dérivée deviendra nuUe , si elle ne cesse pas d'être continue, et infinie si, sans cesser d'être toujours réelle, elle est discontinue.
CoroUmre a*. Supposons que la fonction j^ = F (x) s'évanouisse pour la valeur particulière Xq , et demeure
34 CALCUL DirPÉRBlfTlBL.
continue dans le voisinage de cette valeur, on aura
en supposant donc que la valeur x^^ 4- Ar = x difi%re très peu de x^ ,
F(jro4- Ax) = F(x) sera positif si F'(xo)>o. ¥(xo + ajt) = F (x) sera négatif si F'(j7o) < o.
22. Soient F(x) et f(x) deux fonctions réelles de x qui restent continues ainsi que leurs dérivées entre les limites x et x + A ; supposons d'ailleurs que la fonctioD dérivée de la seconde f\x) ne change pas de signe entre les limites dont il s'agit, ou qu^entre ces limites la fonction/*(x) aille toujours en croissant ou toujours en dé* croissant, le rapport des deux différences
sera égal à Tune des valeurs que prend entre les limites x et X'i'h le rapport des dérivées F'(x), f\x)^ c'estr4-dir€ qu^en désignant par dt un nombre plus petit que runité,
on aura
F(x 4- A) — F(jr) r{x + M)
/•(x + A)-/{x)"-/'(x-HMy Démonstration. Soit A la plus petite et B la plus grande des valeurs que prend le rapport th-^ entre les limites x et X 4- A ^ les deux différences
seront de signet contraires ; il en sera de même de ces deux autres
r{x)^Ar{x), r(x)-B/'(x).
puisque/^ (x) est constamment de même signe : or ces deux dernières différences sont les dérivées des deux
fonctions
Tune de ces fonetiona sera donc croissante et l'autre dé* croissante, et par conséquent, si de ce que devient chacune de ces deux fonctions on retranche ce qu'elle était, les différences ainsi obtenues
seront l'une positive et l'autre négative ^ et parce que f(x + h) — f{x) est par hypothèse une quantité toujoui^ positive ou toujours négative, les deux différences
seront encore nécessairement de signes contraires , et par
conséquent le rapport >' jtk\ f( \ ' P grand que
A, plus petit que B, sera compris entre la plus grande et la plus petite des valeurs du rapport ^77-^. De plus, si,
comme nous l'avons supposé, les fonctions dérivées sont elles-mêmes continues, pendant que x passera de la
valeur j: à la valeur x -f- ^ , le rapport 777— ( passera par toutes les valeurs intermédiaires entre A et B ; or
— — : — j{ 7T-T est une de ces valeurs intermédiaires ;
il existe doue une valeur de ^ de la forme a: -f- ô, A propre à vérifier l'équation
-?7 — 7-T\ 77—^ = Tif — . /.{, ce qu'il fallait démontrer.
f{x-\-h)—f{x) f'{x+fj,hy ^
CoroHcUre j". En posant, dans l'équation qui précède,
X = jCo , on a
et si les deux fonctions F (x) etf(x) s^évanouissent potU*
F(xo+A)F(jCo+M) fij:o + h)^ rixo + e^h)'
Corollaire 2. Supposons que les fonctions ne s'évanouissent plus pour X = x^j mais que leurs dérivées, celles de la seconde restant toujours positives ou toujours négatives entre les limites a:« et j:. + A, s'évanouissent seules , jusqu'à celles de Tordre n — i inclusivement, quand on donne à x cette valeur. En appliquant successi*' vement à ces dérivées la deuxième équation du corollaire 1^*^, équation qui s'étend à toutes les fonctions qui satisfont aux conditions énoncées, on aura
et par suite, en vertu du corollaire i**",
F (x6 + à) — F(xo) FC'')(xo + eh) /(xo + h) —/{xo) ~ /(-)(xo + OA)-
Sr les fonctions s'évanouissaient en même temps que leurs dérivées, on aurait
F(xo+^)FC")(xo+eA)
et en posant Xq = o, A = x ,
F(x)FC"^(ftr) /(x)"'/C-)(ôx)*
Corollaire 3. Les conditions des théorèmes précédents seront toutes vérifiées si l'on prend h assez petit, pourvu que les fonctions et leurs dérivées s'évanouissent, quand il le faudra, pour x = x^-^ en effet, les dérivées de la
CINQUIÈME LEÇOJN. ^7
seconde fonction ne changeront pas de signe dans Tintervalle infiniment petit de Xq à Xq + h.
Les conditions relatives à F (x) seront aussi remplies si Ton prendy(x) = (x — J^o)"» d'<>^
f'{x) = /i (x — Xo)«-% r W = n{n— i) (x— xo)-^»,. . . /C--0 (x)=/i(/i— I ) («—!»). . . 2(x— Xo), /('•)(x) = i .2.3. . . /i=/<«)(xoH-6A).
Si donc les dérivées de F (or) jusqu'à celles de l'ordre n — I inclusivement s'évanouissent pour x =Xo , on aura
F(x„ + A) — F(xo) =^ — 4^F(-)(xo + OA), et en faisant n == i ,
F(«, + A) — F(x<,) = AF'(x„ + Oh).
Si F ( OTa) s^évanonissait aussi, on aurait
F (x„+A) = ^ FC) (x„+ «A).
Lorsqu'on fait Xo = o, A = jc, les équations qui précèdent deviennent
F(x) — F(o) = fl-.F(-)(ôx), F(x) — F(o) = xr(Ox),
23. L'équation déjà obtenue -}/--{ = >.. x L^x renferme ^ \ /(x) f^'^^{Ox)
un théorème drot voîci l'énoncé : si deux fonctions F {x) eif(x) continues , ainsi que leurs dérivées, s'évanouissent pour X = o avec ces dérivées jusqu'à celles de l'ordre n — I inclusivement ; si de plus les n premières dérivées de la seconde sont toujours positives, ou toujours négatives entre les limites o et x , la valeur du rapport des fonctions sera une valeur inteimédiaire du rapport des dérivées n'"^'. On peut donner de ce théorème iraportant une démonstration directe cl très simple.
Supposons d^abord que les deux fonctions s'évanouissant seules pour x =:o, la dérivée première f'(x) de la aeconde conserve constamment le même signe, ce qui exige que la fonction f(x) soit toujours croissante ou toujours décroissante, et par suite toujours positive ou toujours négative, puisqu'elle s'évanouit avec x. Dans cette hypothèse, désignons par A la plus petite, et par B la plus grande des valeurs que prend le rapport des
dérivées j,,\ { entre les limites o et x, les deux quan-
tités f,)\ — A, '^) i -^-B, seront de signes contraires,
et il en sera de même, puisque ,/" (x) ne change pas de signe, des différences F (x) — A/'(x), F\x) — B/'(x), de sorte que des deux fonctions F (x) — Af(x), F (x) — Bf(x) dont ces différences sont les dérivées, Tune sera toujours croissante, Tautre toujours décroissante , ou, ce qui revient au même , puisque ces fonctions s'évanouissent aussi toutes deux avec x, Tune sera positive et l'autre négative ; les quotients
/(x) -fia:) *• /(x) -/(x) "'
seront encore de signes contraires, parce que f(x) ne change pas de signe , et il restera démontré que la valeur du rapport des fonctions est comprise enti^ la plus petite et la plus grande des valeurs du rapport oes dérivées. De plus, si Ton fait passer la variable de la valeur o à la
valeur X, le rapport continu -yrrr passera par toutes les
valeurs intermédiaires entre A et B; or, comme on Ta
prouvé, ^^ i est une de ces valeurs, il existe donc une
valeur de x de la forme 6iX, Oi désignant un nombre compris entre o et i , propre à vérifier l'équation
GIHQUIÈME LRÇOli. 39
}. i= TTTTT— T- Si les deux dérivées premières, secondes,
troisièmes, quatrièmes, etc. , jusqu'à Tordre n — i inclusivement, s'évanouissent à Içur tour avec or, en appliquant aux dérivées ce que Ton a dit des fonctions , on trouvera
et par conséquent ^^ =^00^).
En changeant dans Téquation qui précède x en /i, F (h) et/(/«) en F(x,+A)-F(x„),/(x„+A)-/(j:,), et supposant que les dérivé^ des fonctions F(x)^ /'(x) s'évanouissent pour x = x^^ jusqu'à l'ordre n inclusivement , on retrouverait l'équation
etsi F(xo) = o, /(xo) = o,
F(xo-^A)FC^)(xo+eA)
/(xo+ A) ~/(-)(xo+«Ay
Les deux théorèmes fondamentaux des n^' qui précèdent peuvent donc être déduits l'un de l'autre ou démontrés séparément.
Nota. Les équations
¥{Xo + h)^f{x,) = hr{xo + Oh), F(x-hA)— F(x)=AF'(x-f-6A), F(x)— F(o) = xF>flx),
supposent seulement que la fonction F (x) et sa dérivée F (a:), sont respectivement continues entre les limites x^ et Xp -+- A, X et X H- A, o et x, ce qui arrivera toujours (juand A ou X seront des quantités infiniment petites.
4^ CALCUL DIFFÉJlBliîTIEL.
Applications des premiers principes du Calcul différentiel k diverses questions d^analyse où- il n^entre qu^une seule Tariabte indépendante.
Première application. Détermination dés véritables valeurs des quantités qui se présentent sous tutie des formes indéterminées
, ^ — , ox± 00, o», 00^ ±: I*.
24. Supposons que deux fonctions réelles de Xy F(x), f(x)^ s'évanouissent pour x=Xq , et qu'il, en soit de même de leurs dérivées jusqu'à celle de l'ordre n exclusivement, de sorte que les deux dérivées de l'ordre n soient les premières qui ne s'évanouissent plus à la fois pour j? = Xq ^ en désignant par Aune quantité infiniment petite, nous au*
ron8,n»23,coroUaires a et3, J^^=||;^^^^^j , et par suite, en faisant A = o, 37-^ = ttjô") — \ h de sorte
que la vraie valeur du rapport jh^^ qui se présente sous
la forme indéterminée \ , est le rapport des valeurs que prennent pour a:=Xo, les deux dérivées de ces fonctions qui , les prenyères , cessent de s'évanouir à la fois. Si l'une de ces deux dérivées s'évanouit, la vraie valeur du rap* port sera o ou 00, elle sera au contraire tme quantité
SIxiàMB LEÇON. 4^
finie si aucune des dérivées /»**"^' ne s'évanouit. Si »=i, c'est-à-dire si les dérivées premières ne s'évanouissent pas à la fois, on aura
Exemples : pour jc = o ,
g*-^g"* €* + €"* sin* X 2sinxcosx
sinx cosx "^ • X i '
sin X cosx___ f -.cosx sin x cos x i
X* ax ' X* 2x 2 a'
X— sinx 1— cosx ainx cosx i
e* — <?"» — ax tf«-|-<?-» — a <?* — <?"* <?*-!-<?""*
'Sr— sinx I — cosx sinx cosx
et pour X = ij
— »a»«» diCy
X— 1 X * o:» — ! aj? a' x*— i /ix*^' /t *
25. Siqpposons maintenant que les deux fonctions F(x), y*(x) deviennent infinies^ pour a: = Xo, le» deux
quantités . ., -;= — r s'évanouiront et l'on aura, d'après
ce qui précède, pour x= j?^.
F(^o)yixo) /(xp)« F(xo)' /^(xq) /(xo) - I ^F(xo) - 7t^ • ^(Xo) ' F(xo) F(xo)»
i'où -^ **;= -~-~ , de sorte que la véritable valeur du rapport 77-^9 qiû se présente sous la forme indétermi-
4^ CALCUL DIFPÉRBMTIEL.
née — , coïncide avec la valeur correspondante du rap-
Exemple. On a pour a: = o , \xj sin'x a SI]
sinx cos X
cotx X I
Ce théorème est vrai quel que soît jr, ainsi que le précédent, et il le sera par conséquent pour x = oo.
Exemples. On a pour x = oo, I*». — == = ».
L'exponentielle l'emporte sur la variable x>y ou croit beaucoup plus rapidement.
Lr I
Le logarithme croit moins rapidement que le nombre.
. Corollaire. Si les dérivées F'(x) elf'(x) devenaîen^ellesHnèmes infinies pour x = Xq, et s'il en était ain>>^ jusqu'aux dérivées de l'ordre n exclusivement , on aurai ^
^'{xo)r{x,) FC) (xq)
et par suite
La vraie valeur d'un rapport qui se pjrésent(^ sous 1^
forme — coïncide donc avec la valeur du rapport de^
dérivées qui, les premières, ne deviennent pas infinies ^ la fois pour x — Xo-
91XIÈ1CB LEÇON. 43
Exemple. On a pour or =: oo , et en désignant par n le nombre entier immédiatement supérieur à a ,
X* a(a — \).,Aa — /i+i)
c'est toujours Texponenfielle qui l'emporte,
3°. Si le 'produit $=z¥{x).f{x) prend la forme
0 X 00 , sa véritable valeur coïncidera avec celle du rap-
port — ^— ^ ou"^-^-^, qui se présente sous la forme - ou
fîT) W)
— , et que l'on déteiminera facilement à l'aide des méthodes précédentes.
Exemples. On a pour x = op ,
Lr I
et pour a: = o,
Ix — — — -^11. — ~ X = o
Ix ^^ ^
x*.lx = "^ ' = — • — ^= o.
4**. Enfin si l'exponentielle s = F(x)/(*^ se présente sous Tune des formes o*, oo •, i=^* , on aura
et alors pour trouver la véritable valeur de ^J, il suffira de calculer la vraie valeur — ^; i}„\ de l'exposant r ^/ a-J,«
F(x)/'(x) ^ [/wr^
Exemples. On a pour x = o ,
Ix X*
pour X = 00 ,
X Jt X
pour X — I ,
1 Hx) I
X = tf -^ tf —
Dbuxijsme application. Comparaison des quantités in* finiment petites des diuers ordres; détermination de Tordre d*une quantité infiniment petite, etc.
â6. Définition. Désignons par a un nombre constant rationnel ou irrationnel , par i une quantité infiniment petite, et par a un nombre variable. Dans le système de quantités infiniment petites dont i sera la base , une fonction de I représentée par/*(i) sera un infiniment petit de
l'ordre a, si la limite du rapport —7— est nuUe pour toutes
les valeurs de a plus petites que a, et infinie pour toutes les valeurs de a plus grandes que a.
Corollaire. Toute quantité finie qui ne s'évanouit pas ou ne devient pas infinie pour i = o , peut être regardée comme un infiniment petit de Torde o.
Ces définitions admises , si Ton désigne par n le nombre entier immédiatement supérieur à Tordre a de U
quantité infiniment petite f(i), le rapport *^4^ sera le premier terme de la progression géométrique
. ' T^' fS- ••• ,.-.' ,-. •••'
qui cessera de s'évanouir avec i.
De plus, on aura successivement
lim./(.) = o, /(o)=:o, lim.-^^ = Um./'(i), /'(o)=o,
SIXIÈME LBÇOH. 4^
lim. -^ss lim. ^ — Um.-Ç^, /» = o. . . etc. ,
/C«)(o)=i.a,3...it lim. ^;
on en conclura que les dërivëes/^Oî/^COv-/^""*^ (0 s'évanouiront toutes avec /, et que par conséquent, dans le cas où, comme nous Pavons supposé, f(i) est un infiniment petit de l'ordre a, f^"^ (i) est la première des dérivées de fÇi) qui ne s'évanouit pas avec i et qui cesse d'être ime quantité infiniment petite.
Quant au rapport -^, il peut avoir une limite finie, ounuUe, ou infinie. Ainsi, par exemple,
sont trois quantités infiniment petites de l'ordre a, et le cpiotient que l'on obtient en les divisant par i', savoir
e' ont pour limites respectives
27. Théorèhb i**^. Si dans un système quelconque on considère deux quantités infiniment petites d'ordres différents, pendant que ces deux quantités s^approchcront indéfiniment de o, celle qui sera d'un ordre plus élevé finira par obtenir constamment la plus petite valeur numérique.
Démonstration. Concevons que dans le système dont la base est i, on désigne par A =zf(i), B = F(i) deux <{tiantités infiniment petites, la première de l'ordre a la Kconde de l'ordre &, et supposons a <I & : si l'on attribue
46 CAXCUL DIFFÉRENTIEL.
à a une valeur comprise entre a et h y les deux rapports
—, — auront pour limites respectives , le premier ^ ou oo^
le second o , et par suite le quotient de ces rapports ou^
la fraction - aura une limite nulle, la valeur numérique
du numérateur B décroîtra donc beaucoup plus rapidement que celle du dénominateur A, et cette dernière finira par devenir constamment supérieure à Tautre.
28. Théorème aS Soient a, &, c, . . . les nombres qui indiquent dans un système déterminé les ordres de plu* sieurs quantités infiniment petites, e\ a le plus petit de ces nombres, la somme où la différence des quantités dont il s'agit sera un infiniment petit de Tordre a.
Démonstration. Soit toujours i la base du système adopté , soient de plus A , B , C , . . » . les quantités données, la première de Tordre a, la seconde de Tordre &. • . ; le rapport de la somme A dz B ±i C ±:. • . à la quantité
A,* savoir, i ±: - ±: -- ±1. . . aura pour limite Tunité,
parce que les termes r 9 t 9 dans lesquels les numérateurs
sont des infiniment petits d'un ordre plus élevé que les dénominateurs, ont o pour limite^ et par conséquent le produit
\ A A Ji*,
aura la même limite que le rapport — : et puisque ce der-
nier rapport a une limite nulle ou infinie , suivant qvCaa
suppose a <^ a ou oc ]> a , on pourra en dire autant du
A^bBdbC^b rapport ^-^ ; donc A ±: B ± C it . . . sera
une quantité infiniment petite de Tordre a.
On conclura facilement de ce qui précède, que pour de très petites valeurs numériques de la base z , la somme ou la différence de plusieurs quantités infiniment petites, rangées de manière que leurs ordres forment une suite croissante , a constamment le signe de son premier terme. 29. Théorème 3^. Dans un système quelconque dont la base est i, le produit de deux quantités infiniment petites A et B dont les ordres sont désignés par a et ^ est une autre quantité infiniment petite de Tordre a + &.
Démonstration. Les rapports — , -> auront des Kmites
nulles toutes les fois que Ton supposera a <C a, 6 <C & ; des limites infinies toutes les fois que Ton supposera a> a, 6 ^ &9 et Ton pourra en dire autant du produit
-X -i= — r-7» d'où il réstdte que le rapport > aura
une limite nulle pour a-|-6<«-|-iet une limite infinie pour a + 6> a -t- i; donc le produit AB sera un infiniment petit de Tordre a -f- i« On en conclut : i® que si Tun des facteurs se réduisait à une quantité finie ^ le produit serait évidemment du même ordre que Tautre facteur ; o? que dans un système quelconque le produit de plusieurs quantités infiniment petites dont les ordres sont désignés par a, by c. . , est une quantité infiniment petite de Tordre a -|- i -t- c -f- . . .
30. Théorème 4*'« Si trois quantités infiniment petites I) A, B, sont telles, que la première i étant prise pour Use, la seconde A soit de Tordre a, et que la seconde A étaiit prise pour base, la troisième B soit de Tordre i^ celle^i, dans le système qui a pour base la première i, sera d^un ordre équivalent au produit ab.
Démonstration. Les deux rapports -, —z ont, par hy-
pothèse, des limites nulles quand on fait « •< a> € <[ &»
et des limites infinies quand on suppose a ^ a , 6 ^ fr
— ) X —>=— saura lui-même une li
mite nuUe pour aS<^ab, une limite infinie pour aS ^ ab et par conséquent si Ton prend i pour base, B sera un infiniment petit de Tordre ab.
Corollaire i*"". Le rapport entre les ordres de deui quantités infiniment petites B et A reste le même quelle que soit la base du système que Ton adopte, et ce rap port est équivalent au nombre b qui indique Tordre de h première quantité quand on prend pour base la seconde Donc, si après avoir déterminé pour une certaine basi les ordres de plusieurs quantités infiniment petites, ot vient à changer de base , les nombres qui indiquent ce divers ordres croîtront ou décroîtront tous k la fois danj un rapport donné.
Corollaire 2"*. Si dans le théorème 4 on fait B = i.
on aura évidemment ai ^= i , & = - , donc si dans k
système dont la base est 1 la quantité A est un infiniment
petit de Tordre a, 1 sera de Tordre - dans le système qui
aura pour base la quantité A. Ainsi, par exemple, lorsque A, considéré comme fonction de 1, est un infiniment petit du premier ordre , on pourra en dire autant de i considéré comme fonction de A.
Corollaire 3°*. Si deux quantités infiniment petites sont telles , que Tune étant prise pour base , Tautre soit du premier ordre , le nombre qui exprimera Tordre d^unc quantité quelconque restera le même dans les deux systèmes qui auront pour base les deux quantités données.
31 . Théorème 5*. Si Ton désigne par i et pary (1) deui quantités infiniment petites , zéro sera la valeur uniijuc
OU l'iine des valeurs que prendra le produit )" . lorsqu'on y fera évanouir la quantité i*.
Démonstration, H suffit évidemment de démontrer ce théorème dans le cas où la fonction dérivée /*'(/) s'évanouit en même temps quey(/) pour / = o ; or on y parviendra sans peine dans le cas où les deux fonctionsy(i), f (i) sont continues par rapport à i dans le voisinage de la valeur particulière i = o : en eflTet, on aura dans cette hypothèse
or puisquey*'(o) est nul et que didésigne une quantité comprise entre o et i, f ( 6i) convergera plus rapidement (luey(i) vers la limite o , d'où il résulte que la fonction
yrré sera plus petite que 1 unité, et que le produit ^ -frr^
aura une valeur sensiblement nulle \ donc la limite ou Tune des limites vers lesquelles convergeront ce même
produit, et par suite le rapport ^A-i^ » sera égale à o.
On pourrait démontrer encore que si la fonction ^(i), dans le système de quantités infiniment petites dont £ représente la base , est un infiniment petit de l'ordre a , le nombre a sera ordinairement la valeur numérique ou
du moins l'une des valeurs que recevra le produit ^, \ \
Supposons en effet quey(/) est un infiniment petit de Tordre a, et posons
De cette équation , l'on tirera en différentiant ,
5o C4LCUL DIFfAreUTIEL.
et dans tous les cas où le produit ^AA s'évanouirait avec /, ce qui arrivera par exemple si le rapport — ^ conserve
une valeur finie, a = lîm. \,, J . *
52. Ces considérations sur les quantités infiniment petites conduisent naturellement aux règles dont Tensemble conÂtitue la méthode infinitésimale. Cette méthode, qui est comme une simplification pratique du calcul différentiel, repose toute ehtière sur ce principe fondamental : Deux sonmies de quantités infiniment petites des divers ordres ne peuvent jamais être égales sans que, dans ces deux sommes, les quantités infiniment petites de même ordre soient égales séparément , c'est-à-dire que si
sont des quantités infiniment petites des ordres a, a , a y Téquation
A« + A.' -f- A«// ... = Ba + B«^ + B«// . • . ,
entraînera nécessairement les suivantes
A« :^ Bc, ' A^ ^=. Bf/-, A«// = B«//, etc.
Démonstration, Supposons que les nombres a, a\ a".., soient rangés par ordre de grandeur , et que a soit le plus grand; dans Téquation
A«-f- A^ -f. Aa'/. . . = B« -h Baf+Baf^y
mise sous la forme
(Aa — B.)-|-(A^— B^)4-(Av'— B.//)... =o,
le terme A^ — B^ sera encore un infiniment petit de Tordre a , et l'emportera sur la somme de tous les autres ; donc , si ce terme n'est pas nul ou si l'on n'a pas A« = B« , cette équation sera impossible. Ce que nous venons' de dire des deux termes A„, B^ s'étend évidemment k tous
STICTÈME LEÇOn. DI
les autres ; on aura donc nécessairement
Aa=Ba) A«'=rBfl', Ao// = Bfl'/, etc.
De cette proposition génënle on déduit les règles suivantes :
Règle i*"*. Peux quantités finies ou, ce qui revient au même, infiniment petites de Tordre o, qui ne différeraient Tune de l'autre que d'une quantité infiniment petite, sont rigoureusement égales.
Règle 2°^*. Deux quantités infiniment petites du premier ordre dont la différence serait infiniment petite du second ordre, ou plus généralement deux quantités infiniment petites d'un ordre quelconque, qui ne différeraient Tune de l'autre que d'une quantité infiniment petite d'un ordre supérieur , sont rigoureusement égales.
Règle 3°^. On peut rigoureusement, et sans crainte d'altérer les résultats, négliger, dans une équation, soit des infiniment petits ajoutés à des quantités finies, soit des quantités infiniment petites d'un ordre quelconque ajoutées à des quantités infiniment petites d'un ordre inférieur.
Règle 4'°^« Dans le cas où l'accroissement Aj? de la variable indépendante peut être considéré comme une quantité infiniment petite du premier ordre, ce qui arrive toujours dans les applications à la géométrie, à la mécanique , etc. *, la différentielle dj de la variable dépendante , difière de son accroissement ùy^ d'une quantité infiniment petite du second ordre; on trouverait en effet, en partant des principes déjà démontrés, *
A/= F' {x) ùx H F"(x + Ô.Ax) :
on pourra donc, comme nous l'avons indiqué, substituer ngmirevsement l'accroissement à la différentielle, et ré- <îiproqucment.
5a CALCl/L DIFFÉRENTIEL.
Suito des applications analytiques.
Troisième application. Recherche des maxinia et des minima d^une fonction d'une seule ^variable.
35. Lorsqu'une valeur particulière F (Xq) de la fonction F(j:) surpasse toutes les valeurs voisines, c'est-à-dire toutes celles qu'on obtiendrait en faisant varier x en plus ou en moins d'une quantité très petite h , cette valeur particulière de la fonction est ce qu'on appelle un maximum.
Lorsqu'une valeur particulière F (x^) de la fonction F(j:) est inférieure à toutes les valeurs très voisines, elle prend le nom de minimum.
Pour un maximum , il faut donc que la fonction cesse de croître pour décroître; pour un minimum, il faut qu'elle cesse de décroître pour croître ; ce qui exige , comme nous l'avons vu, que la dérivée passe du négatif au positif, ou du positif au négatif, et par conséquent (pie pour xsXo (Xo étant la valeur qui convient au maximum ou au minimum) la dérivée F'(j:), si elle ne cesse pas d'être réelle, devienne nulle ou infinie. Les valeurs de x qui rendent alors la fonction maximum ou minimum devront donc vérifier l'une des équations F'(x) = o, F'(j:) = oo . Soit Xq une des racines de ces deux équations : la valeur correspondante de F(j:), savoir F(Xo), sera un maximum, si dans le voisinage de x = Xq la fonction dérivée V{x) est positive pour j:= x^-^A et négative pour j:=:Xo-+- A.
SEPTIÈME LEÇOM. 53
Au contraire , F(Xo) sera un minimum si la fonction dérivée F' (x) est négative pour x = Xq — h et positive pour X = Xo + h.
Eniin, si entre les limites Xq — hetx^+hlsL fonction dérivée F'(x) était constamment positive ou constamment négative, la quantité F(Xo) ne serait ni un maximum ni un minimum.
Exemples :
I*. * F(ar) = x*-f-/?jr -f- çr, F'(x) = 2x + /?.
Cette dérivée s'évanouit pour x =z — -, eji deviept négative pour x< — -, positive pour x> — -. La fonc-
tion x* -+- px 4- q admet donc une valeur minimum correspondante à x= — ^p\ cette valeur minimum est
... F(x) = fl, r(.) = eL(±-l\
X ^ ' X \\je X )
Cette dérivée, qui s'évanouit pour x = Le, est positive pour X > Le et négative pour x < Le ; la fonction a
Le
donc une valeur minimum --— = -—.
Vie Le
LèX 3**. La fonction — admet, au contraire, la valeur
Le maximum ->-.
4®. x^e"' acquiert pour j:=a la valeur maximum
34. n est facile de décider si une racine quelconque Xo de l'équation F'(j:) = o produit un maximum ou un minimum de la fonction F (x). En effet , désignons par F<*^ (x) la première des dérivées de F(a:) cpii ne s'évanouisse pas pour x = Xo , nous aurons , d'après un théorème déjà démontré n^ 22, corollaire 3,
54 CALCUL DIFFÉXBHTIEL,
Si A est très petit, comme nous pouvons le supposer, le second membre aura le signe de son premier terme
F^") (j^o) î et dès lors, i® si n est impair, ce
premier terme changeant de signe avec A , il en sera de même de la différence F (a:« + A) — F (j::^), et la valeur F(j:o), plus grande queF(j:o^— A) et plw petite que F(jro4-A)', ou plus petite qu« F(xo — h) et plus grande que F(xo + A) ne pourra être ni un minimiun, ni un maximum. ^
a°. Si //ï est pair, la différence F (xo + A) — F (xq ) qui ne changera pas de signe aveq A, sera positive si F^"^(xo)> o et négative si F^*^(xo)<Co, et par conséquent la valeur F(a:o) sera un minimum dans le premier cas et un maximum dans le second.
Nous arrivons ainsi à cette règle générale : Lorsqu'une valeur particulière Xo de x dans le voisinage de laquelle la fonction F (a:) reste continue , fait évanouir les dérivées de F (x) jusqu'à celles de Tordre n exclusivement , la valeur correspondante de F(x) ne peut être im maximum ou un minimum que dans le cas où la dérivée qui la première cesse de s'évanouir est une dérivée d'ordre pair, c'est-à-dire dans le cas où n est un nombre pair; dans ce cas la fonction F(x) sera un minimum si la valeur de FC*)(x) est positive, et un maximum si la va-* leur de F^"^ {x) est Mcgative.
Exemfiè :
F (jp)=:^*+- aootx •!-<?"*, Y'{x)'=2€* — 2sinx — tr* ^
F"(jp) = tf* — 2casx4-e"', F*'(jr) = <?»-+. 31 sinx— e'* ^
Les trois premières dérivées s'évanouissent pour x = o .
]a quatrième se réduit à 4 ^ donc la valeur de F(x) correspoudante k x== o, ou le nombre 4? sei'a uu minimum de cette fonction.
Scolie. On a (l"y = F^" ' (x) dx" , et par conséquent si n est pair, dy étant toujours de m^ne signe que F(")(x), on pourra , dans l'application de la règle précédente , substituer les différentielles aux dérivées.
35. Outre les maxima et les minima qui répondent aux racines des équations F' (x) = o et F'(a:)=oo, il peut en exister d'autres qui répondent aux valeurs de X pour lesquelles la fonction F(x) cesse d'être réelle ou continue , de sorte cpie dans la recherche des maxima et minima il faut en général commencer pai' déterminer les valeurs de x qui rendent la fonction F(a:) imaginaire ou discontinue , et voir si les valeure correspondantes de cette fonction surpassent les valeurs voisines ou leur sont inférieures. Dans le premier cas , elles seraient un maximum, dans le deuxième un minimum.
Exemples :
Ces trois fonctions deviennent discontinues en passant du réel à Timaginaîre^ tandis que la variable x passe du positif au négatif, et obtiennent pour x := o une valeur nulle qui représente uii minimum de la première et un maximum de chacune dçs deux autres.
36. applications, i^. Partager un nombre en deux parties a et a — x telles , que le produit j^ = F (x) = X* (a — x)" soit un minimum cm un marianum.
La valeur maximum de ce produit corre8|M>nd à
X = — -r- . n v wr^ <de plus deux valeurs minimum
correspondantes à x = o , x = a , pourvu que m et n soient pairs.
56 CALCUL DIFFÉRBHTIEL.
2^. De tous les triangles construits sur une même base et isopérimètres, quel est le plus grand?
Soit a la base donnée , ^ip le périmètre ou la somme des trois côtés, x un second côté, le troisième sera %p — a — a: , et la surface du triangle
Cette surface est un maximum lorsque x étant égal à — , le triancle devient isoscèle.
3^. De tous les carrés inscrits dans un carre donné, quel est le plus petit ?
En nommant a le côté du carré donné , J? la distance d^un des sommets du carré inscrit au sommet le plus voisin du carré donné, la surface du carré est
Q =r F (ar) = aar* •— lax + «* ,
et cette surface est un minimum lorsque x = - , c'est-àdire lorsque le carré intérieur est formé par les droites qui joignent les milieux des côtés du carré donné.
4°. Quel est, dans Tellipse h'jd' -h «'y' = a*i% le maximum de Tangle V de deux cordes supplémentaires?
En désignant par x la tangente de Tangle obtus que fait, avec Taxe des x, l'une des cordes supplémentaires, la tangente de Tangle des deux cordes est
et l'angle est un maximum lorsque x == .
5**. Chercher le nombre x dont la racine x*'"*' est un
maximum \
X' est un maximum lorsque a: = e.
HUITIÈME LEÇON. Sj
HUITDSME LEÇOl^.
Soite des applications analytiques.
QxjATRiÈHE APPLICATION. Développement iT une fonction réelle statuant les puissances ascendantes et entières de la variable x^ formules de Taylor et de Machmrin»
57. Lorsqu'une fonction F(j:) étant réelle et continue avec ses dérivées, ces dérivées jusqu'à celles de Tordre n exclusivement s'évanouissent pour x = Xq-, on a , comme nous l'avons vu ,
F (xo ^ A) — F (xo) = ^^ F(«) {xo + eh) ;
OU en supposant que Xq soit nul et faisant h^ x^ F(x)~F(o) = — fl FC-)(9x),
et8iF(o) = 0,
^(')=7:ïx:ï,^^"f«')-
Or ces équations fournissent un moyen très simple de développer les. fonctions réelles d'une seule variable suivant les puissances ascendantes et entières de cette variable. En efiTet,, en posant n = ij il vient
F(jr)F(o)=:xF'(ôx), et en faisant
F'(Ox) = r(o) + R.,
F(^)F(o)— xF'(o) = R.x.
R|X est évidemment, ux^e quantité qui s'évanouit avec x,
Si8 CALCfJl. DIFPiREMTIEL.
ainsi que sa dérivée première F' (x) — F'(o), ^l dont la dérivée seconde esf F^(j:) nous aurons donc
ir»
-F(^)-F(o)-:rF'(o)= f^F"(6x).
Posons encore
F''(;(ix):^F'7o) + R,, il vient
F(x) — iF(o) — arF'(o)— -£^r(o) = R, "^
R, est encore évidemment une quantité , fonction de
JT, qui s'évanouit avec x ainsi que ses dérivées première* et seconde
et dont la dérivée troisième est F*^ (x) ; on aura donc
F (x)-F{ o)-xP'(o) - -^ F" (o) = jt^ F" (Ox).
En continuant de la même manière , et observant que les
fonctions -. \. . , etc., s évanouiront avec a'
ainsi que leurs dérivées, jusqu^à celles du troisième, du quatrième, du (n— i)'*^ ordre inclusivement, on aura définitivement Téquation
et
+ — ^ — F^'"^ iM ;
la fonction continue quelconque F(x)peut donc être con-
BuMnèME LEçon. 5^
^iéJ^ commç composée d'ufie fonctiSn entière de x,
.•^ cl d'un resu, savoir
i.a.3..>i> '*■■■■■' Exemptes.-
on a * ' r
- -Vf'
F'(o)l=F''(o) = ...= FC«-0(o)= I, F(") (to) = tf^S
2*. F(x) =: sifix,
F<*>(x) = siBrx4.^V F(o) = o, F'(o)=:i, * r'(o) = o, F^(-o)=— i...F(--')(o)=sin^^^^::^/
H 5 — 7 ^.sm îT
sin\ ôxH .1;
3*». F(x)=scosx,
P= I— -I 5—7. . .+ 2 7 ïCOS^ '—
= ces l ôx H );
6o CALCUL DIFFÉRBIITIEL.
