F{x)=:{i+xy'=i+fiX-i^^ î^x

5*. F(j:) = arc tangx, on aura

et par suite, si n est pair, F** (o) = o ; si n est impair,

F» (o) = (— 1)"^^ 1 .2.3. . .(«— I ), arc ^uog j? = jr— »-5-4--^ ±

6®. Si la fonction F(a:) est entière et du degré «, s* dérivée de Tordre n se réduit à une quantité constante on a donc alors F<"^ (Ox) = F^'*> (o)

F(;r) = F(o)4-xF'(o) + ^F''(o)4- j^^ F-(o)

HUITIÈME LEÇON. 6l

Exemple : sî F (.r) = (i + x)", on trouvera

38. Â Taide des mêmes principes , on développera facilement F(x + A) 9 suivant les puissances ascendantes de X ou de A. En effet, nous avons

F(x-t.A) — F(x) = AF(ar+«^) = AF'(x) + R,; doà

F(x + A) — F(ar)— AF'{x) = R..

Ri est une fonction de h qui s'ëvapouit pour A = o , , ainsi que sa dérivée première F' (or + A) — ^\^)\ de plus sa dérivée seconde est ¥"(^x + h)\ on aura donc, d'après un théorème souvent cité,

F(x + A)F(x) — AF'(x)— — F''(x) = R,.

Ri est une fonction de h qui s'évanouit avec A, ainsi que ses dérivées première et seconde, et dont la dérivée troisième est V{x -+- A); on aura donc

F(x4.A)F(x)— AF'(x)— — F'(ar) = --^F^+M),

et m continuant de la même manière, on trouvera dëfinitivement

F{x-h*) = F(*)H-AF'(*) + -^F"(x)

6a CALCUL DrirmêRCNTIEL.

• en posaut dans ré({iuuiou Çi)x=^0^hrxx^ on trouverait

cette dernière formule n'est donc ^u'un eas particulier de cdBe qui précède. On pourrait cependautaussî déduire la formide (i^ de la formide (a) ; en effet, posons

F(A.)=/(x + A), on en tirera

F'(A)=/'(*+A),F"(A)=/"(x+A),.,F(«)(A)=/wtx+A), F(o)=/(x), r{o)=f{x] F<")(éA)=/(»)(x4.8A),

or, en vertu de l'équation (2),

F(A) = F(o) 4- AF'(o) H H ~ FW {6h) ;

on aura donc en substituant

formule identique avec la formide (i).

Corollaire. Si dans la formule (i), après avoir pose h = a — X, on change a en x et x en a, on trouvera

Exemples : F(x) = jC^, F(x) = Lr ,

'-i^- ^ ^^- j:— i(x— fl)«[/i+ô(x— fl)j ,

nuiTlÈMB LEÇOW. 63

± 1 /x-^nv- I r ^— ^. T -r

39. Lorscpe, pour de^ valeurt de x compfirtses entre certaines limites , les eipressioti^

décroissent indéfiniment tandis que n augmente, aloi^s, en posant n =z oo dans les équations (r) ou (%\^ on trouve

F(*+ A) = F (x)+ AF'(f ) + -^ F" (x)+ -4*4 • F>H-etc. ,

F(x) = F (o)+4:F'(o) + -^ F"(o) + -^ F" (o) + etc.

Ces formules, qui donnent le déreloppement en séries de

F (x) suivant les puissances de :r, et de F(x-4-A) sui-

' vant les puissances de h , s'appellent, 1& première, la for*

mule de Taylor,.la seconde, la formule de Maclaurin.