n est imp(^tant de remarquer que les quantités
s'évanouissent pour une valeur infinie de n. En effet , le produit m(n — m-^- i), qui peut se mettre sous la fonpe
( j — ( 'w J , ou dont la dérivée prise par
rapport à m est 2 ( -^ m j , croît évidenmient
'w, depu^ m = I jusqu'à m = , ou croît à mesure que ses deux facteurs approchent d'être égaux : on en conclura, en faisant tour à tour m = i, m = 2, etc., V^ des n quantités
avec
■ WJflip H>!»P wt.F..iPT,. t..'.I.JHi
la plus petite sera la première, et que par conséquefl leur produit [i .2.3. . . (/s — i) /i]* sera plus petit qu: cette première n élevée à la puissance n : on aura donc
1.2.^... n \\/nJ or cette dernière quantité s'évanouit pour /i = 00 ; en sera donc ainsi de = et .
Corollaire. Si les deux quantités F^'*^(ex), F<"J(a:+eA:" conservent toujours des valeurs finies, les produits
diminueront indéfiniment à mesure que n augmentera on pourra donc alors employée les séries de Taylor et d Maclaur^n au développement de F(j:) et de F(x + A^ C'est ce qui 2ura lieu si Ton prend
F(x) = ^, F(x) = sinjr, F(x)=otsx, F(x) = c*,
et l'on trouvera par conséquent
tf ' = I H 1 1 5 4- etc. ,
COSX=I— 1 ô— 7"~ o / g» etc.,
«'= iH — la H Xa^A 5 la', etc.
^uite dM applications analytiques.
Règles générales de la conuergence des séries recolles. Application de ces règles aux formules de Taylor et d^ Maclaurin.
41 . Les formules de Maclaurin et de Taylor ne peuvent subsister qu^autant que les séries
F(o) + ^F'(o) + — F'(o). . . etc. , Y{x) + hr{x) + — Y^x), . . etc.,
seront convergentes ; il importe donc de fixer les conditions de la convergence de ces séries. Une série , en général , est une suite de quantités
'^oj ^ly ^^aj • • • ''n* • • j
qui dérivent les unes des autres suivant une \(À déterminée; ces quantités elles-mêmes sont les diflerents termes de la série qu'on considère, w„ est le terme général. Soit
S« = «o + ". 4-«i+.-.+«ii-o
la somme des n premiers termes \ si pour des valeurs de «toujours croissantes, la somme S„ s'approche indéfiniment d'une certaine limite finie S, la série sera dite convergente , et la limite en question s'appellera la sonmie de !« série; au contraire, si, tandis que n croît indéfiniment, 1^ sonmie S^ ne s'approche d'aucune limite fixe , la série T. I. 5
^tr^f-^g^'mm
66 CALCUL DIFFÉRENTICL.
sera divergente et n'aura plus de somme. L'une des séries les plus simples est la progression géométrique^
Oy ox, oj?*, ax%
qui a pour terme général ax^ \ la somme àfis n premiers termes
I — ^ a ax"
convergera évidemment pour des valeurs croissantes de
n vers la limite fixe , si la valeur numérique 3e x
est inférieure à l'unité^ au contraire, cette sonmie croîtra indéfiniment si a: > i : la série sera donc convergente dans le premier cas et divergente dans le second. Considérons maintenant la série
«o , «1 , «t , . . a« ^ etc.
Pour que cette série soit convergente, il faut et il suffit que la sonune
S. = Wo + Kl + «a +. . . + «n-i
converge à mesure que n augmente vers une limite fixe et finie S , ou que , n devenant infini , les sommes •S„, S„^i , S„^.,... diflèrent infiniment peu de la limite S, et par conséquent les unes des autres. Or
S«^, — S, = tt«, Sn^t — S« =: a»-f- «»u|.x> etc.
Il faudra donc que ces différences soient infiniment petites quand n sera 1res grand ^ et par suite, il faudra que le terme général ii„ et la sonmie des termes pris à partir de u„, en tel nombre que Ton voudra, s'évanouissent pour ra = 00.
Réciproquement, lorsque ces diverses conditions sont remplies, la convergence de la série est évidemment assurée.
!^El VIÈME LE^:ON. 6*J
42. Ces principes nous fournissent deux moyens assez simples de reconnaître, dans beaucoup de cas, si une série est convergente ou divergente.
Règle' 1^^. Cherchons la limite ou les limites vers lesquelles converge , tandis que n croît indéfiniment , Tex-
pi^essiorl (U„)", Un étant la valeur numérique de m„, et spitLla plus grande de ces limites, la série
( I ) «o + «I + «a + • • • «te.
sera convergente si Ton a L < i , divergente si L > i .
Démonstration, Supposons d'abord L < i : en désignant par p un nombre plus petit que Tunité. mais supérieur à L , ou tel que Ton ait L < p < i ? et donnant à n
une valeur assez considérable, (U^)", cpii peut diflférer aussi peu que Ton veut de sa limite L, finira par être
plus petit que p : on aura
de sorte que les termes de la série w„, "n+i, i^n+t-**? seront des nombres inférieurs aux termes correspondants de la progression géométrique
Or le terme général et la somme des termes de cette dernière progression vont en diminuant à mesure que n augmente, puisque p est plus petit que i , il en sera donc de même à plus forte raison de la somme u„+ «/i+iH- m^j . . . , et la série (i) sera convergente.
Supposons en second lieu L > i : » venant k croître , on aura bientôt, si Ton désigne par p un nombre plus grand que l'unité et compris entre L et i , ou tel que Ton
ailL>p>i,
L ■■ ■ mv
le terme général de la série (i) croîtra donc, ainsi que indéfiniment avec n , et cette série sera diverç;ente.
Bègle 2"". Si pour des valeurs croissantes de n, terme général f/« décroit indéfiniment, et si le' rapp
"'*'' converge vers la limite fixe /, la série (i) sera ce
tJ n •
vergente toutes les fois que Ton aura / < i , et div< gente toutes les fois que l'on aura / > i .
Démonstration. Désignons par € une nombre inféric à la différence qui existe entre i et /, ou tel que deux quantités / — e, /+ e, soient en même temps q / plus petites ou plus grandes que Tunité ^ en donnan
n une valeur assez considérable, le rapport "j^' fin
par être compris entre / — e et / + e , et les diffère; termes de la série tt„, w„+i..., se trouveront compris en les termes correspondants des deux progressions géon triques
Or, i** ces deux progressions seront toutes deux conv .gentes, si l'on a /<!, et leurs sommes, ainsi que la som: intermédiaire i/„ + m„^, + etc. , décroîtront indéfi: ment si £/„ approche indéfiniment de o à mesure qui augmente ; 2" elles seront toutes deux divergentes, et somme w„ + u^^^x •+■ etc. , croîtra indéfiniment avec n /> I : la série (i) sera donc convergente dans le pj mier cas , divergente dans le second.
Nota. On démontre facilement que les deux limites et / sont toujours égales. En effet, si nous donnons k une valeur considérable , les rapports
<H par suite la moyenne géométrique entre ces rappoi
EM
NEUVIEME LEÇON. 6g
1 -|^ j cLifféma de /d'une quantité e aussi petite que Ton voudra ; on aura donc
et en passant à la limite, ou faisant n infini,
• , iiœ. (U.)" = L = (/±.)U^ = /rt:i.
•^.^Les deux limites- L et / différent donc l'une de l'autre lif ^d'une quajitité e qui peut devenir aussi petite que Ton voudra, et sont par conséquent rigoureusement égales.
45. En appliquant ces deux règles aux séries de Madauriu Qii'de Taylor , on obtient la proposition suivante.
SoiiF(x) upe fonction de x, et (f„ la valeur numéri- <iue de l'expression
' ^ FC»)(o) ou i F(")(x),
«uivant qu'il s'agira de la série de Maclaurin ou de la ^ric de Taylor , soit de plus 4> la limite vers laquelle . Convergent, tandis que n croît indéfiniment, les plus
grandes valeurs de (9„)" ou bien encore la limite unique du rapport *'*'' , ces deux séries seront convergentes toutes les fois que la valeur numérique de x sera inférieure à -, et divergentes toutes les fois que la valeur
numérique de x surpassera - : en effet , si Ton désigne
P*rw«=±:^^" le terme général de ces séries, on aura , ^ns le premier cas ,
Km. (U„)" = ^x < ï , lim. --^ = «Pa- < i ,
Un
■ ■ mn p ^M
70 CALCUL D1FFÉR.ENTIEL.
et dans le second
Um.(U„)" = 0a:> I, lim. îî^ = 4»x> Donc, etc.
Exemple: i». F(x)=:<f', FC'«)(o)=i,
la série
+ etc.
sera convergente pour une valeur réelle quelconque d^ variable x\
1^. On peut en dire autant des deux séries .
cosx:= I 1 T— 7 — etc.,
sinx = -
— etc.
En effet, dans ce cas, 4> = lim. ( = — '— 1 devra <
core être plus petit que i , puisque la série
est convergente, quelle que soit la valeur de x,
3°. Si Ton prend F(x) == 1 ( i + x), on trouvera
donc la série
IfBUVlËMB LEÇON. yi
sera convergente tant que la valeur numérique de; x sera inférieure à l'unité 5
4°. On en peut dire autant de la série
tangxrrx — -5- -^ — p- — — -4- etc.
5". SiJ'on prend F(x) = ( i + jc)", 011 aura
FC-)(o)=^(/,— I)... (^ — « + !),
îi±i = ^=l^ = ^, * = ,, ' =.;
n donc la série
1 +xr = I +^«2cH ^^ ^ jr*H — ^^ '-^ jc^+etc
sera convergente tant que la valeur de x restera inférieure à Tunité.
6^. On prouvera encore que ces deux formules
l(x + A) = l(x)+-----+3^ + efc.,
subsisteront tant que l'on aura - < i , h <ix.
44. On pourrait croire que la série de MaclaïU'in a toujours F(x) pour somme quand elle est convergente, et que par consécpient, dans le cas où ses diflerenls ternies s'évanouissent, la fonction F(j:) s'évanouit elle-même; il n'en est pas ainsi. En effet, si l'on prend
--or
¥{x)z=ze
la fonction F(x) n'est pas identiquement nulle, et cependant tous les termes do la série de Maclaurin se ré-
duiront, dans ce cas , à o. a^. Si Ton suppose
la série que Ton obtiendra sera convergente, et elle aura pour somme, non pasF(a:) , mais seulement son premier
terme e""'*.
45. Toutes les fois néanmoins que les fonctions F(x) et F (x + h) pourront être exprimées par des séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières de a:, ces séries coïncideront avec la série de Maclaurin ou avec la série de Taylor.
Démonstration. Supposons que Ton ait
F(x)=ao + ûxJ?* + «»* +«3*^ + etc. ,
a 5 6 , y , étant des nombres entiers rangés par ordre de grandeur; en diflerentiant plusieurs fois de suite, on aura
F'(x) = a,rtx +a,Cr -f-asyx'^ +..., F"(x) = û.4(-t — i)x*""^+«>C(C— i)x^-'"''
F^(x)= fl, ct(«— i)(« — 2)x"""^ + a.C(C— i)(ff— 2)x^""^
+ «3y(y— i)(y--ti)x^ +...;
et puisqu'en général les quantités F(o), F'(o), F"(o), ne doivent se réduire ni à o , ni à oo , on aiu^a nécessairement
ao = F(o), «= I, a, = — ^, C=a, a, = — ^S
et par suite
F W = F (o) H- f F' (o) + ;^ F" (o) + -^. F" (o) + etc.
Donc , etc . . •
Supposons en stcond iSèu %
F(x + A) i ♦ (x) + p. (*) . A' + (p, (x) . a' + »3 (*) . A^-I^wé.;
en diffërentiant d'abord par jrappoft ii x^ P^^' P!K|^.^^P~ port à A , nous aurons *^ -^ -^"^
<ir ~fiSr^^^ dlr ^V ctr "*" cir T *
rfA , ^
puisque la fonction F(x + h) est cpmp^éc dj la même manière en x et en A, e% qu'en*»posaj|rt x +7I t=jr, on a évidemment ^ . '
rfF (x + A) ^ dV ix). dx ^dVjj^^^^ ,
dx dy dx dr ^ ,
rfF(x -H A) ^ rfF(r) ^r ^F(r) ^^ ^ ^rfF(x+A)^ rfA dy dh dy dx *
Les deux dérivées — ^-^ , — ^7 — »^, sont nécessaire-
^ daf ^ dh ^
ment égales et doivent renfermer Ifes mêmes puissancéil
de A. Dès lors, en supposant les exposants a, 6, y... rangés
par ordre de grandeur, on aura
d'ailleurs , en faisant A = o , on trouve ^ (x) = F (x) \ donc
f.W = F'(x), ^.(x) = I^\ ^,(x)=I!M.... etc.,
F(j: + A) = F(x) + AF(x)H-— F'(a:) + elc. C. Q. F. D.
'"■■'■ " ■•' » iï-v^P'
74 CALCUL DUTFÉAENXIEL.
JLi
DISJEME iiECON.
Suite des applications analytiques.
Rèf^0$ de coni^ergehce des séries dont le terme géra est imaginaire, ^application aux forfrikles de Taj et de Mffclaurin* ^.
46. Les règles que nous avons données sur la coui gence des séries en général et des séries de Maclaurii , de Taylor en partieuiier, subsistent encore dans le cas le terme général de la série u^ et la variable x ont des leurs imaginaires , mais'albrs il faut substituer à ce têi général i/„ et à x leurs modules.
En effet , une "série dont le terme général est îmj
naire et de la forme m* =!/„' +«' v — i peut être regai comme la somme de deux séries réelles dont Tune se
multipliée par le facteur imaginaire k — i , de sorte l'on ait
La somme s^ = 5[ +V/^--.i 5" des n premiers terniK la première série, convergera pour des valeurs en santés de n vers une limite fixe, si les deux somi réelles s,\ , s" convergent vers de semblables limites çn résulte qiie la série imaginaire sera toujours coni gente en même temps que les séries réelles. D'ailleu comme en appelant p„ le module du terme général la série imaginaire, on aura
. les o^jux ^ipnes Uo t^Vj • • • »toj nft • >• uiHyu suite ul série Uq ^ Uj , . . . i/„ , «i^nt confergentes^si les middules '
forment eux-nj^êmos une semblable série. Oi«éduît t0^ médiatemcnt 4^ ce principe les deux théorèmes suivants.
