i*''^ T^ÉOBJsME. Cherchez ^ limite gu les liijpai^es

vers Ies(]uelles conTQfge, tandis que n croît indéfiniafelit,

Vunc (^s expressions (p»)'^ "~ î '^ *^^^ inygii^tir^

sera convergente on(|Slivergente , suivant que la lïmte unique ou la plus grande de ces limites; -sera plus petite ... ouplus grandeftjUe Tunîté. > *' • •*

2* Théorème. Soient F(x) une fonction imaginaîte de la variable -cr , et (p„ le module de l'expression ^

F^"^(o) ; sdlt de plus 4>.la limite vaps laquelle

converge, tandis que «croit indéfiniment/ la limite uni- ,^ que ou If plus grande des ypcdu^s de l'une o\\. l'autre des * * ♦

quantités (^n)"? — t'-, la série de Maclaurin sera cou- .*^

vergente toutes les fois que la valeur numérique ou le • •

module de x sera inférieur à -,

Pour appliquer ce théorème à la série de Taylor, il f suffit de remplacer l'expression

F C»; (o) par 5 F (») (x).

i.2.3«../i ' ^ i.Qt.3.../i

48. Ce dernier théorème suppose que ToiQ puisse étendre les formules de Maclaurin et de Taylor au cas où li variable x devient imaginaire, or c'est à quoi l'on parviendra facilement comme il suit.

Soit

X ==:/> + 7 l/^ — I zzr r{cose ■+• \/ — I sin t)

76 CALCUL différbuàel. ^

pne valeiiif^jbla^irtre de la vaille a:j%toigd^(ifciMi cnfmïtffe seut WMable. et dbsons ^k

nous aurorul^ en différentiant plusieiuqi^ firis 4^ suite f v rapport à r, #- T

r^l-CcMï+HU-i sinî)](co»f + i/S^rin/)

d'où, eu posant r=o,*

, ^'(0) + ,^/:^ ;«'(o) =F'(t>)(co5f4-V/— « ànt); . ♦"(o)+\/Z:ï;c''(o)=F"(o)(co$/+l/^sinO*i

on a de plus

j:(r) = x(o)-f.^;t'(o)Ht— a;"{o) +

et par suite

+ r[ç'(o) + »/-iA5'(o)l +

■fc

.^ii£

F(*) = F(o) f f F(o) + fi r^^ +.^. . . .

On peiU metlre^e dernier terme ou le resté de c^te fvmule sous uMaûtre forme | en effet, on a ^ ^ *^

II" et Is étftit dé^ qwntltës qui s'évanouissent avec/; donc , ^

et par conséquent ^b

FW=F(o)+,fF'(o) + ^F'tol+...+ ^;^[|«<o)+I], -

I éunt une quantité , — ^ ' . r- qui s'évanouit

^ > • (cosf + y^^i sinr)" ^

avec r, et par suite avec x.

En désignant par a une valeur particulière, réelle ou '* ' imaginaire de la variable x , et posant

X — a ^=1 z=: ^ (cosr + l/^ — I sinr), F(x) = F (a + z ) = F [a H- p (cosrH- 1/^ sinr) ]

on trouverait de même, en différentiant par rapport à p,

{cosr+V^ — I sin r)'"Ft*) [a +/î(cosr+ V^ — i sinr)]

= <K«) (/5 ) + v/^ X(-) ( f ), et en posant p = o,

F(tf) = <l>(o) + »/:^iX(o), (cosr 4-V^^^ sin t)F' (a)= <^'(o)+ l/^ X'(g),

( c||r + 1/^ sin T )-F(-) (a) = <!>("•) (o) 4- 1/^ XC-) (o).

78 GàLCUL DIFFÉRENTIEL.

On aura dWfplus, d'après ime^ormule c

connoe ,

X<,.)=X(o) V-X'(o) + -il X''(o)+...+ — ^ XW(^,),

et l'on en conclura

fx — a)» r<l>(»)(.Q. p) + \/—\ XC')(fltp)l ^ i.a^3.../iL (cosT -fj V/ — I sinr)" j'

•■'■ F(x)-F(«)-H^F'{«)+-(î=fI'f'(«)+...

Si dans ces dernières équations, après avoir posé x — a=^h on change a en x, il viendra

Lorsque dans ces diverses formules , on suppose que lo^ restes

I.2.3.../I (ces r + K^^ sin 0'* ' /i" <!.(") (Q,p) + tX^ XC») (g,p) 1.2.3. . /i (cosr+l/117 sbr)"

ou seulement les quantités 5 , , diminuent

indéfiniment à mesure que n augmente, ce qui arrivera,

1". Si j: et A sont des quantités infiniment petites^

onCifeliB ;i.E(;ON.

mtité^lL oibservcnt toujo^|rs,dcs valeurs finies,

r) *lt F(o) + - F'(o) + — F^ (o) + . . . etc.,

mières fbnhules 6bnâKvi4^

iiFin efk de Tayloi^^ étendues au cas où la varia-

K)n accroissement h reçoivei||^des v^leiil^ kHa-

»ndèWes conditions ci-dessus énoncées , sera ^ilis- 3n prend pour F(x) une des trois fonctions e*, a X , et par . consé^ue«l les séries qui donnent ions seront iftiîvergen^tçs pl>ur»une valeur finie ue, réelle ou imaginaire, de la variable x.

^'■~' iSM t '

Sulle des applications analytiques.

Dti^elâppemeni d^une ^jftction de x '^ai devaient infinie pour x = a, st^i^0nlÊÊBsy?uissiiHces ascendantes Jh X — a. Décomposition des ^fractions ^atShuielk^n • . \^aitioàs sinmles. ^ ' r • '

• *" 49. Tous les dëveloppemÂits obtenfEs jtisqaici n'admettaient que des puissances entières de j: ou x — a, parce que nous supposioi||p toujours que la fonctioi%^F(x/^ ne devenait infii^ie lÉ. pour jf = o pbi pour x =^a. Supposons mainteiant qu'il en est autrement ; que F (a)t^ oo , «

^-Lr- 3c o,* ou que F(x) soit de la forme F(jr) = - — ^-^-, ¥[a) '■ (^ — ajT

(f(x) conservant'une valeur finie pour a: = a; on dit, dans ce cas , que l'équation =rrT = ^ — 7\" * ''^ racines

égales à «.Puisque, par hypothèse, la fonction a>(x) conserve une valeur finie pour x = a^ a ayant d'ailleurs une valeur réelle ou imaginaire, nous aurons, d'après une formule connue ,

f I • JS

I s'évanouîssant quand on fait x = a. En divisant les deux membres de cette dernière équation par (x — a)**,

ONZIÈME LEÇON. 8l

on trouvera

i.2...(iii— i) X-— a i«2*..#/i i.2»..iii.(in+i)

A Taide de cette dernière formule on pourra donc encore développer F (x) suivant les puissances entières et ascendantes de a: •— a ^ seulement les m premiers termes du développement renfermeront des puissances négatives de cette différence. Si Ton fait n:r=my il viendra