La fraction rationnelle ^T-r peut donc être déco
posée en deux parties dont l'une est la somme de pl«-asieurs fractions qui offriront des numérateurs constante <> et qui auront pour dénominateurs les puissances d<? X — a, tandis que l'autre partie ;((x) conserve une valeL»r finie pour x = a.
En représentant par Bn B
ji-i
par
etc.
etc..
ce que devient la suite
on y change tour à tour a en & , c , <:/..., m en, /i, ^ ^ , etc. . . . , les différences
ne deviendront plus infinies, la première pour x = a. la deuxième pour x = b, etc. . . . ; de sorte qu'en posant
f (,) -Cii^ ' • • "^
OU
/(x) A, A, B„ Bj^
J(^)''{x—ay- ' * • ~x—a {x — b)- • • • x — h "~^'
Q ne deviendra infini pour aucune des valeurs a: = d , r = 6. . . D'ailleurs aucune autre valeur de x ne peut rendre la différence du premier membre infinie , Q ne devient donc infini pour aucune valeur de x^ ce qui exige que Q soit une fonction entière de x.
Enfin si l'on pose
"in
A» An t A, . -P»
(r — fl)" (x — ô)"-* • • ■ "^ X — fl (x — A)
H- , — ^— r- . . . • etc. =
a:—b^{x — cy'" f(x)'
R sera aussi une fonction entière de x, car
f(x) = (x — a)'"X(j: — by. ,.,
etr
on aura
On voit sous cette foime que les deux fonctions entières Q etR, dont la seconde est d'im degré inférieur à celui ^e f(x), représenteront évidemment le quotient et. le reste
^e la division de f{x) par ({x).
5t. L'équation
SJ, r\ i AjB A ni. Al
X — tf B » ^^ Bn«.i ' Bi
renfemie le théorème suivant : soif^^-x une fraction ra-
I l.f BMI^
tionnelle dans laqueUe le degré du numérateur est sup rieur au degré du dénominateur, et a, i, c,... les racio de Téquation f(a:) = o; pour décomposer la fractii
^7-4 en fractions simples , il suffira de la développe
i^ suivant les puissances ascendantes de a: — a^ 2^ si vant les puissances ascendantes de a: •— & , 3^ suivant ] puissances ascendantes de x — c,- etc.; puis d'ajouter quotient de la division de f (x) par ((x) la sonune c termes qui dans les divers développements deviendro infinis pour x z= a^ x = b, x=c, etc.
Dans le Cias où le degré de J'(x) est inférieur à ccl de f(x)^ le quotient Q est nul , le reste R est égal à y(j et Ton a
/(^) Ag A^,, , A, B,
f(ar)~(ar û)« "^ (x — a)*"' ' "'^ x—a'^ {x — bf^
jf — ^ (x — cji' jr — c
Dans ce cas, pour décomposer la fraction ttt-t en fra
tions simples, il suffira de la développer, i^ suiva ^ les puissances ascendantes de x — a, 2^ suivant 1 puissances ascendantes de x — i, etc. . . , puis de faire somme des termes qui renferment des puissances nég tives des différences x — a, x — i, x — c. ...
52. Quand Téquation f(a:) =0 a toutes ses racines in gales, on a
{(x)''x — a'^x — b'^x — c"''^^"' de plus, les valeurs des coefficients A, , B, , Ci , etc. , • .
OBfZiÈME LEÇON. 85
coïDcident avec ceUes des produits
('" "^ f(J)' (' - *^ fW' (' - *^ fW'
correspondantes àx = a, x = b^ x = c. ... Toutes ces fractions deviennent -, mais on obtiendra leurs véritables
valeurs en difierentiant d'abord haut et bas, ce qui donne
(x^a)/'(x)+/ix) {x—b)/'{x)+f{x) i'{x) ' f'(x)
i^-c)fix)+f{x) .
Vjx)'- etc. ... .
<:t faisant ensuite x = a aa. x=b, etc. , . . . dn aura ainsi
D'ailleurs Féquation
donne
f'(*) = N(ar — b) {x — c).. . +N(x — a) (x — c)...+ etc. , f'(a) = N(a — ^)(fl — c)...r(^)=N(*— fl)(6— c)...,
donc
A. -, , /I«) B /W ctc
^'■i aurait pu déduire immédiatement la première de ces v%I«ars et par suite toutes les autres de Téquation
• ^^'- fW -N(x*)(x c)'
d Où
•^ -=»(«)= "ff) , B,=^i)=--T-^^|^L, etc.
*^da posé, on aura, si le degré de f{x) est inférieur à
86 CALCUL DIFFÉRBMTIEL.
celui de {(x) ,
(b — a) (b ^c) . .. ^^ X — b (x — a) (or — c) . . .
~f— ^ r— ^^ rr y ( C) . , . 610. . . •
Cette formule, connue sous le nom de formule d'interpo^ lation de Lagrange , sert à la détermination d'une fouc tion entière de x du degré n — i , quand on connaît ^ valeurs particulières de cette fonction /{à)-, f(p)* • • •
Lorsque les fonctions f{x)^ f(x) se présentent sou-. forme réelle, et que les deux racines a, i, sont ima —
ginaires et conjuguées, de la forme et, + è \/ — i a — S l/— I , on a
si Ton remaiHjue que pour passer de y (a + 6 \^ — i) eu
il suffît de changer \^ — i en — V" — i, et si l'on pose f '(.+5 v/CT) ^ a'+b' v/r7 "" A'« -h B'>
AA' — BB' „ AB' -f- BA'
vZTb^' ^ —
on aura
-(AA' - BB' ) - (AB- -h BA' ) \/~, ^—
A, . B, G+H»/^ G — HV^— I
2G (x — «) — 2HC
Les deux fractions correspondantes à deux racines imagiiMifres se rouiront donc pour en former une seule dont *e numérateur est une fonction réelle et linéaire de x, et le dénominateur un facteur réel du second degré.
o3. On pourrait imaginer diverses méthodes pour arri-
ver à décomposer la fraction rationnelle 77— en fractions
Simples, mais ces diverses méthodes fourniraient nécessairement les mêmes valeurs des coefficients Ai , A„ . . . A,„, , "t -> B,,. . . B„, , etc.. . . Pour le démontrer, reprenons * ecjuation
et
posons
QY(,) + i=M + i^M +...H. C^. . . etc.
(or — 6)" (x — 6)" * (x — tf/' i
^ («x) sera une fonction t;nti ère dç x, et nous aurons
^ï*» «i dans cette dernière équation, après avoir posé •"^ =a-f- A, on développe les deux membres suivant les puissances ascendantes de A, on aura, en remarquant " T^« la fonction f(jr) s'évanouit pour x =■ a^ ainsi que ^ dérivées jusqu'à celle de Tordre m exclusivement ,
88 CALCUL DIFFÉREITTIBL.
r f(-)(fl) f('"+0(fl)A f(^)(a)A/^-'»-i
Li.a...i7t I .a. . .(/71-4-1)*" i.a.../t J
+ A"+(fl + A),
fx étant le degré de f(x)y et par suite
d'où
i.!i.3.../iiy"(fl)
Or il est facile de voir que ces valeurs de A„, A„t> etc. sont identiques avec celles que nous avons obtenues pa^ la première méthode.
En effet, A^ était ce que devient ç (a:) = • ^A ^^
quand on y fait x= a, or les deux termes de la fracr' tion du second membre s'évanouissant pour a: = o , ainsi que leurs dérivées jusqu'à celle de tordre m exclurfvement, la valeur de cette fraction pour x = a ou ^ (à) sera égale au rapport des valeurs des dérivées m''"*'% rapport qui est
i.a.3...//i/(fl) /(a)
f (»)(«) (a—by{a—c)P(a—d.)i...'
On prouverait de la même manière que les valeurs de A^i,. . . Al, B„, etc., coïncident avec celles fournies par le premier développement qui a l'avantage de donner les coefficients indépendamment les uns des autres et sous la forme la plus simple.
ijj Exemples: '.?
/'(x)=(x — i)*(x-h i),ûr= i,m=:3, ô=— I, /i=i,
f''(j:)=a(x— i) + 2(xH-i)+a(;ç— 1) * ,"'
A. = ^'(«) = i, B, = <p.(i) = 4; d'où
(*— i)'(xH-i) (x— 1)» * — i"'"x+i
X'.'dél — ' • A, . B,
f(x) X'— I (x+i)(x— 1) (x^i)^(xH-i)' f(x)=x» — 1, f'(x):=2J:,
d'qà
^^- jrÀ = -;; , n? étant plus petit que n. On a
/(or) = j:*, f (x) = jt» — I, f'(x) = /lor""*. Toutes les racines a, A , c , etc. , de Téquation
>■ l'.'pp
90 CALCUL DIFFÉRBIfTIEL.
^ — 1 = 0, OU x^jzri, sont inégales et*coinpnses dans la formule
2A"ir ^^ , y— . l'hit X = cos ± y/ —I sin
fa
A représentant un nombre entier égal ou inférieur à de plus , pour chacune de ces racines on aura
= ~ I cos — ^ ■ — '—±\/ — I sm — ^ '—
On obtiendra la valeur des coefficients A|, B|, C],... etc. en donnant tour à tour à A , dans cette équation , tout(
les valeurs depuis /i = o jusqu'à A = - , puis on l substituera dans Téquation
ï\x) X — a jT — ^
en réduisant au même dénominateur les fractions imagi naircs conjuguées , etc.
DOUZIEME LEÇON. gi
Suite des applications analytiques.
Sixième application. Conséquences de quelques-unes des formules précédemment obtenues,
