C08* l/H, «nx

OOSâT-

d'où « 3

(cos a: + |/Çir sin x) (cos^ + l/C^ sinj) == tf^' "*"-''^ ^"^^

= cos (x 4- /) + l/— I sin(« + /) »

co|j [x + j^) = cosorcosj — sin xsin j, sin (x + ^) = sin x cos j + sin^ cosx ;

on aura encore

(co8x-4-V^ — I smj:)(cos^+V^ — i siny)(cosz+l/ — isio*);' = tf . = cos(jp+j+«. . .) + K — I sm(x+j+'*- - - à

d'oft l'on tirera en faisant y:=zz,., = a:,

(cos X + \/—\ sin x/" = cos /wx + V/^— 1 sinmx.

Cette dernière formule fut donnée d'abord par Moiv"^*^ dont elle a retenu le nom.

La multiplication d'expressions de la forme

cosx + \/-— I sin X,

se réduit donc à une addition , et l'élévation aux p sances à une multiplication. Ce résultat est très im] tant, puisque, comme on le verra, toute expression im

naire a^è \^ — i peut se mettre sous la forme

r (cos r 4- \/ — I siii t) ,

DOUZIÈME LEÇOH. 93

On aura encore

cMx+V/-! sinjc ^^^'

= COAX - |/^ -I suix,

=: cos mx — ^ V^ — i sin 'mx.

(oos x+ V^— I sin xf tmxi/^

Ainsi pour diviser par(cosx -+- V^ — i sin x)"*, il suffit de multiplier par cos mx — k— i sin mx,

^i^En partant des mêmes principes, il sera facile de fixer le sens des notations

X*, A', ItXf ùaxy cosxy.

d^ns le cas où la variable x devient imaginaire.

^ous avons dit que toute expression imaginaire

« -4- 6 K — 1 pouvait se mettre sous la forme

r(cosr+ y/^ — isinr) ; il suffit pour cela de prendre

= V^«* + C», cosrzz:

8mr=: — ) r=arctan|r-.

Si Ton désigne par r la plus petite valeur absolue de Tare

V^ a- pour tangente, cet arc sera compris entre -et

"^ -', cosr sera essentiellement positif, et si Ton suppose a positif, on aura

0O8r=coftr, sin/=:8inr.

La valeui* générale de t sera

r = r±2A-ir, et x = r(coST+ V/'— i sinr);

si au contraire a est négatif, on trouvera

cost =— 1 , sinT =

cos^ = — cosT, sin^ = — -sinr, r = T±(2^+i)x, x=:— r(coST + V^ — 1 sinr^

Cela posé, i^ si a est un nombre entier m, on aura

jr« = jr*" = r" (cosr + j/ — i sinr)",

équation qui entraîne, comme nous Tavons vu^ la s vante ,

or* = r* (cos/iir + \^ — i ùamt) ;

a**. Si a est une fraction -, x^ = jc" aura un cert-*

nombre de valeurs , en désignant par ((a^))" Fensemble

ces valeurs, par((i))'*, (( — i))" les racines /i*'*"" de -+ ou — I , on aura, si a>o, j: = r(cosT-f-V^^^^sin'

(W)" = /^ (ces ^ + l/ir; sin ^)((r))^ si a<o, a:= — r(cosT-+-V/ — isinr),

((x))" = r" (^cos ^ + »/ir^ sin ^ ) ((- 1 ))".

56. Quant aux valeurs générales de ((i))", (( — i))", les obtiendra en cherchant les valeurs de

x-= r (cosr + V^ — I sin/)

DOUZIÈME LEÇOIf. pS

propres à vérifier les équations

x" = r" [cosnt + V^ — * sin/ir) = i , x^ = r''[cosnt + j/— i sin/i^)= — r;

or on Satisfera à la première en posant

/■= » > coswf = I, sm/ir= o, /f^ =± 2^5r, /=it:

îl à la seconde , en posant

r=r I, cos/ff=i, sin/ï/ = o, «^=^^±(2 A'-h i)îr,

on aiira donc

iïi))" =1 cos ± K — I sm ,

// %xn 2A" + I i . y— ^ .2X^+1

((— .i))" = cos — -î— «-dzK— I sin ^ cr.

Ces équations fournissent pour chacune des expressions

((i))", (( — i))", n valeurs distinctes que l'on obtiendrai en 4)nnanl tour à tour pour valeur à ai tous les nombre» P*irs, à 2/1 -+- 1 tous les nombres impairs compris entre 0 et 71 inclusivement. C est facile de démontrer qu'il suffit de donner à 7k o\xk 2^ -+- 1 ces deux séries de valeurs. En effet, 1° soit v le nombre entier le plus rapproché du rapport —, la différence entre les deux nom-

bre

s V et — sera tout au plus égale à ^ , en sorte qu'on n

aura — = v ±: — , — désimant une fraction ésale ou

inférieure à j , et par suite k: un nombre entier înfé-

gj6 CALCUL DIFFÉABMTIEL.

rieur ou tout au plus ëgal à - ; on en conclura

= 2»^ rt 9

CCS rfc K — I sm — — = C08 — -— ± K — I sm — — ,

et par conséquent toutes les valeurs de ((i))* seront comprises dan% la formule

CCS ± K — I sm

si I Ton suppose aA' renfermée entre les limites o et n-^ ou , ce qui revient au même , dans la formule

si Ton y suppose aA renfermé entre les mêmes limites.

Soit de même v le nombre entier le plus rapproché du

fa/ + i)«- I j.^, 2/1» — (a^4-i) I

rapport — : la diilerence ^ entre les

îiAr I - I nombres v et , est évidemment une fraction de

numérateur impair inférieure ou tout au plus égale a ^ ^ en sorte qu'on aura

= wi ,

aA^ 4- I désignant un nombre impair égal ou inférieur à 7», on en conclura

= a»jr lE ,

cl par conséquent toutes les valeurs de (( — i))" seront comprises dans la formule

cos ^ ' ^— ± K— I sm ^ ' — i— ,

si Ton suppose 2 A' + i renfermé entre les limites o et /2 , ou, ce qui revient au même, dans la formule

(— i))'' = cos^ — ^— ±V — I sin^ — ^,

si Ton y suppose 2A + i renfermé entre les mêmes limites.

Si n est pair, ik pourra être tour à tour égalé à

0, 2, 4v*» (j^ — ^)'>^'> l^s valeurs o et n donneront pour

((i))" deux racines réelles + 1 et — i , chacune des autres valeurs en nombre donnera deux valeurs imaginaires conjuguées. Dans le même cas, 2A 4- i pourra feeevoir les valeurs i , 3 , 5, . . . {n — 1)5 à chacune de

ces valeurs en nombre - correspondront deux valeurs

imaginaires de l'expression (( — i))**.

Si au contraire n est impair, 2 A pourra recevoir louies les valeurs o, 2, 49*'- {^ — ï)î à la première ^correspondra une racine réelle et unique -|- i , et chacune des autres , en nombre , fouiTiira deux valeurs

imaginaires conjuguées de l'expression ((i))**. Alors aussi

aft+i pourra recevoir les valeurs i, 3, 5, . . .n — 2, n-y à

la dernière correspondra une racine unique et réelle — i

de l'expression (( — i))** ^ chacune des autres, en nombre , donnera deux valeurs imaginaires conjuguées. '

De ce que les expressions ((i))", (( — i))" ont n valeurs, on conclut qu'il en est de même de l'expression