Revenons à l'expression x^, 3**. Quand a est un

nombre fractionnaire — , on trouve , si a > o ,

mm m

x'={{x)f = r^ ^C0S^r+V^=ïsin^rV(i))»;

si a <o,

mm w

=((x))" = r" ( COS J r H- \/^ sin ^ r V(— I ))» '

Les diverses valeurs des expressions ((i))", (( — i))" seront données par les équations

((1))" = cos ±V — ' sin ,

(( — i))" mcos^ ■ — ' dCK — I sm-^^ '- .

Comme les seconds membres de ces équations élevés à la puissance n , donnent pour résultats -f-i ou — i , on en con-^

dut quetoutesles valeurs de ((i)) " ou (( — i))" coïncident

avec celles de (( i ))" ou ((— i))" .

4**. Si a = — m, on aura

or"'"' = r*"" (ces mt — V^ — i sin mt) ;

5**. Quand a = , on a, si a > o,

mm fn

((x)) "' = '•""(cos^ r - V^'^ Sin^ rj ((,)) " ;

si a <C o ,

mm m

((x))~" = r"-(cos^r- ï/IIÏ sin Jr) ((.))"»,

ec l'on reconnaîtra que les diverses valeurs des expres-

sions((i))" , (( — i)) " , coïncident encore avec les diverses valeurs des expressions ((i))" et ((— i))".

En résumé, a étant une quantité quelconque positive, négative, entière , fractionnaire, et x une quantité imaginaire a -f- 6 V^ — I , on aura , si a > o,

{{x)Y = r« ( cosflr+ V/^ sin ar) ((l))*; si a < o ,

{(x))* = r- ( cosar + \/^ sinar) ((— i))*;

(( — i)Y = ces (a ^4-i)a«- -{■• \/ — I sin {ih + \)air.

On désigne par la notation particulière a:*, celle des valeurs que Ton obtient quand , a étant positif, on prend

lOO CALCUL DIFFÉRENTIEL.

pour ((i))^ la valeur particulière i; on a ainsi

X' := r*(cos ar +V^ — isinar).

On convient d'étendre cette équation au cas même ov a devient irrationnel , et de s'en servir pour fixer le sens de la notation x"*.

58. Considérons maintenant les notations A' , sîb ^^ cos X, L(x). On a, comme nous Tavons vu,

a'=ie'^" y e' ' = cosj: + V^— i sinx,

e =cosj:'

I smo:.

Si X = a + S V^ — I,

on aura

= r*(cosCH- K — I sinff) 5-

donc

= fl*(cosClfl 4- \^ — I sinClfl).

LfCs équations

'*^ ' =cosx+V^— isinj:, e

=cosx-V/— isic^ '

donnent

xV^ — I , — *v^ — I e -Are

cosj: =

smx =

e — tf

^ on aura dès lors, dans le cas oùx = a + Sv/ — i^

C05 jr = ces « ^ sin «

sin X =

sin«-f-

cos«