CV

et si a > o ,

tf'(cosy +V^ — isiny) == r(8inr -f- V^— i sinr), ^''mr, /?=:lr, cos^=c6sry sin^zrsinr, g = T±2^ir;

si a < o,

€f{co&q + V/ — I sin^) = — r(coST + y/ — i sinr), eP^zzr^ p=iry ces y =— cos r, sin q =— sin r, 7=Tifc:(a A+ 1 )t.

On aura donc , si fl^> o, «i « < o,

■■ '"*" '"^^'''^ii^ypqffffiSitjpgi

loa

Si Ton fait

X = I , OU »r = — I , d'où r = I et r = o , on aura 1((i))=±2^tV/:^, 1((— i))=±:(!i^+i)«-i/: — ■'

I et — I ont donc une infinité de logarithmes, et Fon aura , si a > o ,

si a <C 0 ,

l ((a:)) zirlr+rV/'IIÎ + l ((!));

l((x))=lr + r»/=:ï-hl((— I)).

Dans le cas où a est positif, il existe un logarithme pl**^ simple que les autres, celui que Ton obtient en faîs^-^*^^ A = o, où, en prenant + i pour 1 ((i)), on désigne ^^^ logarithme particulier par la notation Lr, et Ton a

Ix = Ir + T K— -I .

On déduit la valeur de L((a:)) de celle de l((a:)), en visant cette dernière par la.

On détermine de la même manière le sens des no tions arc sin ((j^)) , arc cos ((^)) , dans le cas où a: a

valeur imaginaire a + S V^ — i. S'agit-il, par exempi de arc sin ((x)), on posera

d'où

arc sin ((jr)) = ^ -f- y \/'—\ ;

x=ct-f-ff V/ — I =sin(/?0y K— î)

^ = • siD p H cos/?

De cette dernière équatîom^, on tirera les valeursde/7 eii^

DOUZIÈME LEÇON. lo3

q , <jue l'on substituera dans Téquation

arc sin ((a:)) =:/? +y V^— i.

(^ Voyez, pour plus de détails, \ Analyse algébrique de M. Cauchy, chapitre IX, ou le Traité de Calcul différentiel du même auteur, onzième leçon.)

60. Nous mettrons fin à cette digression en étendant à des valeurs imaginaires quelconques des variables x ouj^, les formules connues

.(W)'X({x)/=(W)-+*, tf*tf/ = <?*+/,

cos (x + j^) = C08X cosj — sino: sin/, sin(x+j^) = sin a: cos^ + sin^ cosx,

L((xr)) = L((x))+L((r));

i». ((x))«= r'(co8ar+V/^MnaT)((±i))% ((*))*= r* (co8èr+ V/^sinir) ((±1))»,

donc • • ((a^))' ((Jf))*

= i-+*co»[(«+*)T+l/^8in(a+*)r]({±i))'+»= {{x))-^;

«%7=:c*«*'[oos(ff + C')+ï/^«>n(C 4- C')] 3». ««a/ ==«*'« + (?/'• = eC'+/)'* = «■+/ ;

4'. co««=co$(« + Cl/^)=-

COS«i

sin«

Io4 CALCUL DIFFÉRBUTIEL.

C08 r = co»(«' + C V/^) = î-±i—

COSmf

— sin«r V^— it

= ^î^^^ cos(«+«')— î- 1 sin («+*') V/CTi

fcos M cos«' —sin et un « 0 (sin«coSff'-|~sin a' cos«)V/— 'i

sin

= cosxcos^ — sinx sin^.

On trouverait de la même manière,

sin(-c+j^) = sinx cosj^+sin/ cosx, et par suite,

in( - — X j = cosx, cosf x j =:sinx, etc.

5*. On a identiquement

d'où

^-.^l((a:r))-^U(x)) + l((r)), ^UW) + l(W)-i((:Rr))-,j,

ce qui ne peut avoir lieu qu'autant que l'exposant du

premier membre sera de la forme ± a/rTiK-— i , on aura donc définitivement

1 ((xy)) = 1 ((x)) + 1 iix)} ± ^knV/^i , OU plus simplement

car on ne ck^ge rien au logaritlmie d'une quantité ima-

DOUZIÈME LEÇON. Io5

^naire , quand on y ajoute ± 2kn v — i , qui y est déjà compris, puisque 1 ((x)) est égaj à la somme 1 ((x))-hTK — i augmentée de di a^Tt k — i , ou de ±i (2^+1)71^—1.

Nota, Les équations

(('))• ((*))* = ((*))***» ' (W) H- ' ((r)) = 1((*»), sont vraies dans ce sens seulement, qu'à chaque valeur du premier membre, on pourra faire correspondre une valeur égale du deuxième.

61. On peut enfin appliquer lel principes établis cidessus à la résolution des deux problèmes suivants :

Problème i^^. Transformer sinmo: et cosmo: en un polynôme ordonné suivant les puissances ascendantes de »nxetcosx.

Solution. Les deux équations

(cosx4-V/ — I sina:)'"=cos/na: -|- V/— I sinmx, (cosx — V/— I sina:)*=cos/?ix — V^ — 1 sinmx,

donnent

(cos4?-l-K— ïsinxV-f-lcosx — V^ — i sinx)"

co8mx=^^ — ^-^ ^*

(cosx 4- V^— I sin xV — (cosx— ^ 1/^— 1 sinxV

Si après avoir effectué les développements , on égale de part et d'autre les parties réelles et les coefficients de

V'^-^, on trouve

wswdr =r co$*x — — ^ ' cos ■•'"*x sin *x

. iwfiw— i).(wi — 2) (/w-^ 3) 4.4.-

H ^ ^-^ — ^ ^^ 008 "^*x sm*x-h. . .etc. ,

«niîijcs:— cos*~'xsinx— ^-i ~ icos*"^x 8m^x-|-...etc.

■■■ I ■■■■ m p. 1 I ,1 Mf

Io6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Exemples :

cos2ur = cos ^x — sin 'x, sin aj: = 2 sin j: cosx , cos3ar =: cos^jr— 3 cos:c sin *x, sin 3x = 3 co8*j: sin x — sin ^.

Si dans le développement de cos mx, ou de sin mx^ c met à la place de cos' a: sa valeur i — sin* j:, on trouvcM^ en développant, 1^ si m est pair,

m/ m — cos mx = I ^ —

— I — ) sin *x

m in-a r(in-i) (»i-3) (m-t)3 . 3 i

+ ---i^-TT^ +

) I 1.3 1 a aJ

2*^. Si m est impair.

C08mxz=C08X

(m— i)/m . iN .

^ (m>-i) (m-3) \-m (m-^) . m 3 3 iT . . 1.3 L ^'4 * 2 a 4j

sm mx =: — - sin a: ^ — :r — - [ 1 — j sin^ x

5 5 an

sin^i^-

Si dans ces équations on change x en a:, et si T^

observe que Ton a , pour des valeurs paires de m,

smmj?

et pour des valeurs impaires de m ,

m — I cosfm wfa:J=(^i) ^ sin/ii;r,

On [ /» - — mx j = ( — I )

sin ( /» - — /îf X 1 =z ( ^ I ) ^ CCS /nx ;

on trouvera les développements de sin mx et cos iriX, suivant les puissances ascendantes de cos x.

2""* Problème. Exprimer les puissances entières de sinx et de cosx en fonctions linéaires des sinus et des cosinus des arcs multiples 20:, 3x, etc.

Posons

ces x + l/^— I sin a: = a , cosx— k—i sinx= p, d^où

:7!COSx = tf+P9 2 V/ — isinar=:tt — p , wp = i ,

^ — î = cos /ix , • = sm nx,

Cda posé, on aura a*cos"x=(tf+p)" = a'" + iwa'"-*p + ^^^— ^) «*''*«'• + ....

2"iin"x(v/ — i)" = (w — 9Y=:i^ — /wii*-' P

/w fin— l) , , ^