CO^J
IW .
(-1) ^ 2""'sin*x==sin/wx-— sin(m-2)jH — ^ ^sin(/w-4)r.
smx
TREIZIÈME LEÇON. ^lOp
ferentielles des fonctions explicites ou implicites de plusieurs Tariables
indépendantes.
68. Soit u = F(x^r) une fonction de deux variables ^dépendantes x^ y] donnons à ces deux variables des ^croissements simultanés Ax, A^, raccroissement Au î la fonction sera donné par l'équation ^
» =F(x + Ax, x+ Ar) — F(:c, x)= F(^ + ^x, x)—T{x, x)
F(a: + Ax, ^4- Aj^)— F(a:+Ax, 7);
^s d'après un théorème souvent rappelé, nous aurons, en isignant par F'^Çx^j) , FjJ (j: , j) , les dérivées partielles î la fonction F (x , jr) , prises par rapport à x ou par ipport à j^, par F^^ (x, j)^ la dérivée par rapport à x e la dérivée prise d'abord par rapport ky, et par ei , et, ( , des quantités qui s'évanouissent avec Ao:, A^,
F(x+Ax, ^)F(j:, r) =F^(-ï^> r)Ax + i,Ax,
f; (x + ax, r) =e^ (x, ^) + f;^(x, r) aj: + 13AX;
•n a donc , en remarquant que
^« = — AX + — A7+l,AX + i,ÛJ + ^-^AxAj+i3Aa?A/.
L'accroissement Au se compose donc encore ici de deux
IIO CALCUL DIFFÉRENTIEL.
parties; l'une proportionnelle aux premières puissant de Ar , A^, ou dans laquelle les coefficients de Ax, i ne s'évanouissent pas avec ces accroissements; l'autre i cessairement proportionneUe à des puissances supérieur et à des produits de ces accroissements, ou dans laquelle coefficients ei , e,, £9 des accroissements, s'évanouissi avec eux. Dès lors il paraît tout-a-fait naturel, par ai logie, d'appeler différentielle de ft, et de représenter j rfa, lorsque u est une fonction de deux variables indép dantes x^y^ la partie de l'accroissement Au qui est pi portionnelle aux premières puissances des accroissemei Ax = dx^ ù^y = dy\ on obtient ainsi
du du
la différentielle d'une semblable fonction est donc égali la somme de ses différentielles partielles prises tour à te par rapport à chacune des variables indépendantes.
Si nous avions eu u=F (XfJ, z) , nous aurions troï de la même manière, en désignant encore par £1 , e„et e', e", etc., des quantités qui s'évanouissent avec ^ Ay, A^, par A,ft', k'\ des coefficients déterminés,
Aa= F (x+Ax, /+A j^, z+Az) — F {xy Xyz)=iY (x-f-^lr, / — F(x, X, z) + ¥{x + Û^Xy jr-f-A/,z) — F(x + Aj:, /, + F(x + Aj?, 7+ Aj, z+Az)— F(jr + Aar, 7+A/, F(x + Ax, 7, z) — F(a:, jr, z)=:F^(:c, ^, z)aj:+i,Aj
F(j?-4- Aj:, ^+ A/,z) — ¥{x + àx, jr, z)
= Fy (x + Ax , 7, z) A^ + u^y
F^' (x+Aa:, 7, z) = F^' (x, 7, z) + F^^ {xy x> «) A x + isi::^^ ,
F (X + AX, 7 + A/, z 4- AZ) F (X + AJT, j + Zi^, z)
= Ki'^ + ^^y r + Ar> «) Az + f4^ F^' (x + Ao:, 7 -Haj^, z) = F^ (x + Aj:, 7, z)
+ F« (jr + Ax, j^, z) Ar + isAT ,
TREIZIÈME I.EÇON. III
F' (4f+AX, ^, z) = F.'(x, Xy «) + Fi^X, ^, ») Ax Hr I6AX,
</tf du du , M,
ÛB = --<£r + — £/r + -r ^ + i'Ajr + i"Ar + i az itr £()^ az
+ kàxàJc + X^ ' AzAx + k "àyC^ ,
</tt £^£f du
étpation que l'on écrirait plus correctement de la manière suivante
dw=i dgU -^^ dyii -^r d^u.
La marche que nous venons de suivre est indépendante, , on le voit, du nombre des variables, et dès lors nous pouvons énoncer le théorème suivant : en appelant différentielle d'une fonction d'un nombre quelconque de variables indépendantes , la partie de l'accroissement Au qui est proportionnelle aux premières puissances des accroissements Aj:, A^, Az; cette différentielle du sera toujours égale à la somme des différentielles partielles de ' 1^ fonction xi , prises tour à tour par rapport à chacune des variables indépendantes comme si les autres étaient constantes.
Remarque. Dans le cas où x, étant seule variable indépendante , u se trouvait déterminé par les équations
nous avons trouvé aussi
, du . ^ du , du ^ du "=2 —- dx -f- -r- dr + -r dz.
dx <(r dz
Cette dernière équation a donc lieu et dans le cas où une seule des trois variables est indépendante , et dans le cas ou elles le sont toutes trois. Mais dans ce dernier cas , ^^7 dy^ dz désignent les accroissements aii>itraires attri-
'mm
lia CALCUL DIFFÉREHTIEL.
bués aux variables indépendantes , tandis que dans '. mier cas dx seul exprime Taccroissement de la ys indépendante a: ^ dy^ dz désignent les différentiellii et de ^ , considérées comme fonctions de x , et d< des équations j^ == (f (x), z == x(^)* Une autre diffë encore plus digne d^attentipn , consiste en ce que , < dernier cas, l'équation
du du du
du=z -r dJT + ■— djr -\- -z- dzy dx dy dz
ne doit être considérée que comme exprimant la tion de la dififérentielle d'une fonction de plusiei: riables indépendantes *, tandis que dans le premier, h équation est le résultat d'un théorème qu'il est née de démontrer ^ car la différentielle dii se trouve aL
finie à priori, comme la limite du produit Jx.lim.
comme la différentielle de la fonction F [x, <f (x), -^{x l'on obtiendrait en substituante j^ et z dans u = F(x,
leurs valeurs jr = fC*^)? ^ = x(^)*
Si les trois variables x^y^ z étaient liées entre el une équation
^K^, y y «,) = O, ou z = ^[x, x),
deux seulement seraient variables indépendantes, éliminant z , on aurait
u = ¥[x,Xy >K^, x)] = ¥,{xyx),
la différentielle du se composerait de deux parties prise par rapport à x en regardant j^ conune coi l'autre prise par rapport à y, en considérant x < constant. Dans le premier cas, l'équation
tt =5 F(jr, Xy 2)
TREIZIÈME LEÇON. Il3
peut se mettre sous la forme h-=. f {x^ z)^ z étant une fonction de x \ dans le second , sous la forme u = f (^, -z), z étant une fonction de j^, et l'on a
drU dmU dz
"• d^ d^u dz
dgU =z —-— dx -\ ; — tte,
dx dz dx
drii d^u dmU f dz dz \
du=zd^uA- drU = ^lfZ.dx-\-^--dr 4- -i-( —dx-h—dr]i ' ^. ^ dx ^ dy ^^ dz \dx ^ dy^)'
mais z est une fonction des deux variables indépendantes ^) J? et par conséquent
, dz . dz .
«ionc enfin
dgU dfU djuL
du^ — dx + ^dy^ — dz,
ou
duzzz-=- dx -A — 7- dy + -r- dz.
du = dgU + ^7« + ^1 «•
l^elle est donc , dans tous les cas , la forme que prend la ^différentielle d'une fonction explicite de plusieurs variâmes dépendantes ou indépendantes.
