Pour obtenir avec facilité la différentielle d'une

^onction implicite de plusieurs variables indépendantes,

^1 suffit d'observer, i® que si deux fonctions d'un nom-

*^i*e quelconque de variables sont égales identiquement,

c'est-à-dire quelles que soient les valeurs attribuées aux

Variables, leurs différentielles partielles, et par suite

leurs différentielles totales seront aussi identiquement

égales •, 2® qute si une fonction de plusieurs variables est

^ulle identiquement, sa différentielle totale sera nulle aussi .

L'équation 11 = F (x , j^, x ... etc.) = o , entraine donc les

Il4 CALCUL DIFFÉKBJITIEL«

suivantes

du du du

^u = o, rfa = -r-<£r+-5-£(y + -7-€fc+.,, etc. = Oj

dx dy dz

A Taide de cette dernière équation on pourra déterminer la différentielle de l'une des variables considérée comme fonction implicite de toutes les autres. Si, par exemple , il n'y a que trois variables , on trouvera

du du

dx + — dx ^^da: dy

du

Exemple :

x* + ^* + «*— û* =o, xdx-\-jrdy+zdzz=zOf

dzzzi'-^-dx-^- dr,

Si les variables x, j^, z, . . . au lieu d'être assujéties à une seule équation de la forme u = o, étaient liées par deux équations de cette espèce u =: o, u=Oy on aurait en même temps les deux équations du = o^ du = o y k l'aide desquelles on pourrait déterminer les différentielles de deux des variable» considérées comme fonctions implicites de toutes les autres.

En général, si n variables j:,j^, z. . . sont liées entre elles par les m équations u = o, i^ = o, ii^ = o, . . . on aura en même temps les m équations différentielles

dwzizOy dvzzzoy d(vz=zOy,..

k l'aide desquelles on pourra déterminer les différentielles de m variables considérées comme fonctions implicites de toutes les autres.