Considércms comme cas particulier une fonction
TREIZIÈME LEÇON. Il5
homogène de plusieurs variables x , jr, z,.. On dit qn^une fonction est homogène , lorsqu'en faisant croître ou dé* croître toutes les variables dans un rapport donné , on obtient pour résultat la valeur primitive de la fonction mul* tipliée par une puissance de ce rapport; Texposant de cette puissance est le degré de la fonction homogène. En conséquence, F (a:, j^, ^, . . .) sera une fonction de x,^, ^, . . . homogène et du degré a , si ^ désignant une nouvelle variable , on a
Cela posé, difTérentions par rapport à t les deux membres de cette dernière équation. La dérivée du second membre est a^'"'F(a:, j^, z) : en posant
Cr = «, tjr^zip^ te == «>, . . .
le premier membre devient F (a, i^, tv, . . . ), sa dérivée est
d¥ du . dF dç dF dw du dt dv dî dw dt
Nous aurons donc , en remarquant que
du dv dfP
dV dF d¥
et en faisant f=i, ce qui donne ii = jf:, u =y^ w = Zy... d¥ ^ d¥ ^ dF , .
Cette équation renferme un théorème que Ton peut énoncer comme il suit ; Si Ton multiplie les dérivées partielles d^ime fonction homogène du degré a par les variables auxquelles elles se rapportent, la somme des produits ainsi
Il6 CALCUL DIFFÉREUTIEL.
formes sera équivalente au produit qu'on obtiendrait en multipliant la fonction elle-même par a. Pour une fonction homogène de degré nul, on aura a = o.
Exemples :
dY „ rfF
— =Aj:+E»+F7, =Br+Dz+Fa:,
— = Cï + Dr + E*,
a = 2 , et Ton a bien
( Ax + Es 4- Fj) x + (Br + D« + Fo?) 7 + (Cz -h Dj + F-x) z = 2 XT(AJ?* + Br* +Cï*+2Dra + 2Ezr + 2Fxr);
</F . rfF j: xr x x a=0, ar-r- + 7-^ = :^=z =o.
65. Considérons encore comme cas particulier une fonction de la somme de plusieurs variables x^ j^ -s, . . . Cette fonction doit être telle, qu'en posant x+j^-f-z-f- etc. = f, elle devienne F (£) ou fonction de t seul 5 or une propriété remarquable de ces fonctions, c'est que leurs dérivées partielles sont égales : en effet , en vertu «de l'équation M = F (f), nous avons
du du dt du du dt du du dt
dx'^dtdx^ dx~^dî^* ^"^didz^
d'ailleurs l'équation x -+- j + z + etc. = t donne
dt dt dt
dx dy dz' ' *
i eflet,
du du du
dx df dz
T?/ \ - ^^ du y
avait u = r (x — y)^ on aurait -j- = — -r,\ ^^^ !S seraient égales, mais de signes contraires. mplc :
m im ■«!<
Il8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
DilTéreDtieUes Buccessives des fonctions de plusieurs rariables indépendantes. — - Différentielles des fonctions de fonctions de plusieurs Tariables. — Nouvelle manière de définir et de calculer les différentielles premières ou successires.
66. La différentielle d'une fonction u = F (x, j^ -Zv) de plusieurs variables indépendantes , est, en général, une fonction de ces variables que Ton pourra différentîer plusieurs fois encore, soit par rapport à toutes les variables , soit par rapport à quelques-unes d'elles seulement. Dans le i*''cas, on obtiendra les différentielles totales successives de cette fonction , différentielles que nous désignerons toujours par les notations d'u , (Pu^ d^u^... d^u ; dans le second cas , on obtiendra des dérivées ou des différentielles partielles successives 5 ainsi , par exemple , les quan-
tités -T-jj, -7-^, —^ exprimeront les dérivées partielles
^iimes ppjses par rapport à x, à j^, à z. Si Ton différentie n fois, mais par rapport à plusieurs variables, ces variables mises en indices, ou leurs différentielles mises aux diviseurs, indiqueront dans quel ordre on aura effectué les
différentiations: ainsi les notations rfJrf-^.M, ditji^ -z — 7— r
-^ dx^dydz
indiqueront qu'on a différentie ou pris les dérivées quatre
fois ; une fois par rapport à z , une fois par rapport à j^, et
deux fois par rapport à x, etc.
67. n est facile de prouver que les différentielles partielles successives conservent la même valeur quand on
QUATOEZIÈMB LEÇON. II9
intervertit seulement Tordre suivant lequel les diffëren-
tiations relatives aux diverses variables doivent être effeo-
tuées. On aura par exemple
du du
. . . , d^u .djr d^u ,dx
d^d^w^d^d-u^ ou = a-^^ = =z d — •
'^ ^ ,«, ou ^^^ ^ dydx df
i''' Démonstration. En désignant par la notation A, laccroissement d^une fonction de x, j", z , . . . lorsqu^on fait croître x seul de la quantité Ax, on trouve
àsd^u =r dy [u -i' àgu) — djU = d^àgUj
et par suite, en divisant par Axj et remarquant que Ax est constant quand on différentie par rapport ky ,
^gdjU dy^gU «tf
et en passant à la limite ,
d,dyU dgU
dx ^ dx
OU enfin
dgdjU z=i dydgU.
a™* Démonstration. On a, comme nous Tavons vu,
Cl étant une fonction f (x, j", z, Ax) qui s'évanouit avec Ax. Si dans cette équation nou$ changeons y en jr-f- Aj^, El deviendra ej -+- ^t^Jt ^^ comme on a d'ailleurs, en indiquant par Fy^(j:, j^, z) la dérivée seconde de F(j:) prise d'abord par rapport à x, puis par rapport
F(x, 7 + Ar, 2) = F(x,r, z) + F^ (^, r,«)Ar + «3Ar,
K(^j y + AT, 2) =F^ (^>/, 2;) + F;^(ar, y, z)t,y + 14 Aj,
on trouvera
F{x+^x, x + ^x, «) = F(j:, y, 3) + F;(x, /, «) Ax
e' étant une quantité qui s'évanouit avec Ax ou avec Ùy, Si nous étions partis de Téquation
¥(xy x + AT, «) = F(x, ^, ^) + F (x, 7-, z) ùy + f 3 AT,
63 étant le même que précédemment, nous aurions trouvé, en désignant par F^^ la dérivée seconde de F (x, ^, z) , prise d'abord par rapport à jr^ puis par rapport à Xy
F(x+Ax,r+Ar, 2)=f(x,/,z)+f;(x, j, z)iàx+F;(x,jr,5)Ar
+ F^^.(x, Xy «)axA7 + i, Ax+ ijA^ + i''àx^x^
En égalant ces deux valeurs, supprimant les termes qui se détruisent, et divisant par AxAy^ on trouve
e" étant encore une quantité qui s'évanouit avec Ax ou avec Ay; or cette équation ne peut subsister qu^autant que Ton aura
Ce théorème étant démontré pour les dérivées du second ordre, il en résulte que dans une expression de la forme rf^rf^rf,. ... a, il est toujours permis d'échanger entre elles les variables auxquelles se rapportent deux difTérentiations consécutives. Or, il est clair qu'à Taide d'un ou de plusieurs échanges de cette espèce, on pourra intervertir de toutes les manières possibles l'ordre des difTérentiations. Ainsi, par exemple, pour démontrer que d^d^djgU = dgdjd^Uy il suffira d'amener d'abord par deux échanges consécutifs la lettre x à la place de z ,
puis d'échanger les lettres jr et z :on peut donc affirmer qu'une dîfierentielle de l'ordre quelconque n a une valeur indépendante de Tordre suivant lequel les différendations sont effectuées. *
t. G)mme en diffërentiant une fonction des variables indépendantes x^y^ Zj par rapport à Tune déciles , on obtient pour résultat une nouvelle fonction de x, j^, z, multipliée par la constante ^^o: ou ^, ou ^z . . . , et que dans la différentiation d'un produit les facteurs constants passent toujours en dehors de la caractéristique d^ il est dair que si l'on effectue Tune après l'autre sur la fonction M = F(x, jr, z)j l différentiations relatives à x, m difierentiations relatives à j^ , n différentiations relatives à 2, la différentielle qui résultera de ces diverses opérations, savoir d^^d"^ ^l^j sera le produit d'une nouvelle
fonction (fÇx^jTj z) par les facteurs cte*, djr"'j dz"^ la nouvelle fonction dont il s'agit ici est ce qu'on nonune une dérivée partielle de u de l'ordre l + m + n^ et l'on a
il a;d[u = ç {x, y, z) dx'djr'dz', p (x, y, .) = ^^^^^.
Cela posé , en différentiant plusieurs fois de suite l'équation u = F(Xyy^ z)y nous aurons
du=:-r-dx+-j-'djr^-—-dz:=:idgU^drU-\- dgUy ax tiy az
d'uzndiu -f d)u + dîu+ 'idlyU + idl^u + 2<Ç, w ,
ou
| 2— — -. dxdz + a-; — T djrdz, drdz dydz
exemples :
** ^ ^* I //»B = 2 (xdjrdz -|- ydzdx + zdxdjr) , d4u := 6dxdjrdz ,
d^{x^ 4-/^ + »^) = 6 (dlr^ -f- «Ijr 3 4- <fc3).
69. Si au lieu de Téquation m = F (jc , j-, jp), on considérait fa suivante s = F(uy Uy iv), les quantités ii, p,w, étant elles-mêmes des fonctions quelconques des variaUes x^y^ Zy comme en résumé s serait encore fonction de Xy y y Zy on aurait toujours
, ds . ds ^ ^ p
ds =-r- dx A- -=- dr + -=- dz, dx ^ dy -^ dz
Mais comme ii, i^, tv seraient des fonctions de x, on aunil
ds , ds du , ds dp , 9 ds dw
— dx zz: dx -f- — — dx -f- — -7— «x,
<ir du dx dç dx dw dx ,
ds d>
£(r -^ ' dz
fet par suite , en remarquant que
du du du j
du zm-r-dx '^-T-dy + T' ^^y dv =r,,.y dtP z=z..., dx djr . dz
on trouverait
ds =2-^ du + -jrdu^ ^- dw; du dv dw
une seconde diffé^entiation donnerait
d*s =z -rftt» + -. dv* + -7— dw* + -r— r- dudv du* ^^ du* dw* dudv
2 d*s ikd*s ds ds ds
4- , , dudw + --— - dpdw + -r- d*u + -7- d*v + -j- £/*« ^im/fv' dvdw du dv dw
La règle générale est donc encore de différentier comn si M, i', w étaient des variables indépendantes, puis ( tirer la valeur de du , rfi^, d!w, etc. , des équations qui lie les quantités!/, u^ %vaux variables indépendantes x,y. Exemples :
rf» (a + p) = rf»a + £/»p , rf»(a ~p) = rf*a — d'^f
QUATOEZIÈME LEÇON. 1^3
d''(au + bç'^-cw) = ad/u + W"p +c£/''«'.
Si les quantités u^Uy w étaient des fonctions linéaires des Tariables indépendantes x , y, -z, c'est-à-dire si Ton aytit
on aurait
elles différentielles successives de la fonction 5 = F (m, i^, w) conserveraient la même forme que dans le cas où m, 1^, tv seraient variables indépendantes \ on aurait ainsi
a*f= -7— ^w* H — r— ^t'' + -; — dw^ + , , dudv
du^ dp^ ^^ dw* ^^ rfiM/(^
dudw dvdfv
Exemples :
Si 5 =: F (il, i'), on aura
d'^s = -, 1 ; du^'^dv
du'* I dv^^^dv
-f--. du^^^dv^ -4-... i/p";
^1 2 dW^-^dv^ ^ dv^ '
a i = F(ii)F(i^),
-f— F' («)F«""»(p)£/im/p»'"' 4- F (a) F"(p)£/p».
70. M. Cauchy a donné des différentielles des foncw)us une définition immédiate , indépendante de la considération des dérivées, qui semble plus rationnelle et présente de grands avantages, surtout lorsquMl s'agit d'une fonction de plusieurs variables indépendantes. 0 appelle ^érentielles et il désigne par les notations dx^ dy^ ^iy*»* du^ des quantités dont les rapports sont équiva-.
rz.
lents aux dernières raisons des accroissements que peuvent prendre simultanément ces variables. Celle définition conduit immédiatement à celle que nous prenions pour point de départ, quand , dans le cas où il s'agissait d'une fonction d'une seule variable indépendante, nous appelions différentielle le produit de la dérivée par Taccroissement arbitraire attribué à la variable indépendante. En effet, d'après la nouvelle définition, le rapport desdifférentielles -f- coïncide avec la dernière raison des accroisseax
ments A;^, Ax \ on a donc
De plus, en partant de cette même définition, les accroissements simultanés infiniment petits
Ax, A/, ^, ... Aie,
d'un nombre quelconque de variables dépendantes ou indépendantes, deviendront sensiblement proportionnels aux différentielles
dx^ dfy dzy . . . du\ dès lors, si Ton désigne parala valeur infiniment petite de l'un des rapports
Ax A/ Az Aa
di' ^' ;&'• • di'
si l'on pose, par exemple, — = <x, chacun des autres rapports différera très peu de a, on aura, par exemple, — =iiu4-6, 6 devenant s'évanouir avec a, et l'on trou-
vera, en passant à la limite, du = lim. — . On pourra
de cette manière calculer immédiatement la différentielle, iïppliquons ces principes à la détermination de la différentielle d'une fonction, m=F(j:, j^, z), de plusieurs va-
QUATOEZikHE LEÇON. 125
riables indépendantes. Pour cela , posons
àxzzzadx^ ^y=.ttdyy Azz=ûidzy
dXj dy, dz^ étant des quantités arbitraires, de teUe sorte cpe ces équations n^établissent aucune liaison entre les accroissements des variables , et les laissent tout-à-fait indépendïmtes ; en vertu de la définition même de la différentielle, on aura
(fit=lim,^"=lim7^'^'^^*-^"^'^-^^^"^'^^^~^^'^^-^^'^^
En posant
F{x+adxy X + ^X* « + «^«) =/(«)> d'où
F(«,j,z)=/(o), on trouvera
et «
on a d'ailleurs
dF dF dF
d'où
/'io)=^d.+-dr+^d>.
Or, si dans Féquation
/{x+h) —f{x) = hfx -h R.A,
on fait X = o, A = a, on trouve
/(•)-/(o)=*/'(o)-hR.«, Rf s^évanouissant avec a , et par suite
îiota. On aurait pu écrire immédiatement
' "Ji-ii ^-^i^i^i^^mmm^nmim^m^i/^
126 CALCUL DIFPÉRBNTICL.
La définition de M. Cauchy conduit donc aussi à ce théorème , que la différentielle totale d^une fonction de plusieurs variables est la somme de ses différentielles partielles.
On aurait pu calculer directement la limite du rqh
port — , en remarquant que
-hAdXyr-^AdjTy
s -4- xdz) —
- F (x -4- Kifa
Ki^
«Jr4-F;(:
v-^otdxyy.
. Fl('+«^
9) ocdk -f- R)
d'où
du = Um. ^z=f;{«, j-, i) dr-\-Flr {x, r,^) ^7+ F.' (x, /,»)<«»
rfit - , du , du .
^ — olr -| ay -I- — <»•
eb: dy dz
71 . Les dérivées successives / ' (a), / '^ (a), /**' (a), ctCi de la fonction
seront toutes des fonctions des seules quantités variable x-^-adx ^ y -^^ oidy ^ z-^-adz^ et par iùite les diflCSrenées f{a)-f(p), /'(«)-/'(o), /"(«)/>) seront précisément égales aux accroissements que reçoi vent les fonctions de x^y^ z^ représentées ^slf f (o) f(o)y f"(o) , . . . lorsqu'on attribue aux variables ind^ pendantes les accroissements Ax = adx , Ay = ddy Az :^ adz \ on aura donc successivenient
et a. «^ \ /'
d*u=ihm. =r hm. — ^-^ 1— LJ s=:/^(o),
QUATORZIÈME LEÇON. I2y
d^u = lim. = hm. - — ^-^ — ^-^z^f" (o),
• et «^ \ /'
£/■«= lim. = lun. ^-^ ^—^ =/ »(o) ,
et dL
et nous en conclurons que pour former les différentielles , totales du^ d^u, . ., d'^Uy il suffit de calculer les valeurs particulières que reçoivent les dérivées /*'(«), f(a), f {(£).,. /'*(oc)j dans le cas où la variable a s'évanouit. 72. Parmi les méthodes propres à simplifier la recherclie des di£rérentielles totales, on doit distinguer surtout celles ({oi s'appuient sur la considération des valeurs symboliques de ces différentielles.
Si Ton désigne par a, b^ c. . . , des quantités constantes, la différentielle totale de Pexpression
adld'^d'* . u + bdPd'id'' .u + etc, . .
sen
m y % X jr t X y % X y %
C'est-à-dire qu'elle sera précisément ce qu'on aurait obtenu si l'on avait multiplié le produit des deux facteui^ «et ad\ d'^d'l -f- bdld^d^. . . par d^ + d^+d,, en opérant comme si les notations d^^ //^, d, représentaient de véritables quantités différentes les unes de» autres.
Lorsqu'on ne fait qu'indiquer la multiplication, on trouve l'équation symbolique
i\ad[à^d^.u+bdPdidl.u + etc )
L{adld/d-^4'bdrd^dl+ , . .){d^ + d^ + d,)u.
Comme en réalité , //,. , //^ , ^. , ne sont pas des quantité, mais des symboles qui indiquent une opération k faire, la formule qui précède, prise à la lettre , n'a aucun *®ïi8, mais elle redevient exacte dès qu'on a développé ^n second membre à l'aide des règles ordinaires de la Multiplication algébrique.
Si Ton pose
et si Ton difTérentie plusieurs fois de suite, on arrivera à réquation symbolique
qui prouve que dans l'expression de la différentielle n**^ les coefficients sont les coefficients du binôme.
Si 5=F(u, p», w), on aura encore d''s={d^'^dj-\^d^s^ et il sera très facile de développer le second membre de cette dernière équation dans le cas particulier où l*on suppose u fonction de x seul, (^ fonction de y seul, w fonction de z seul. D'ailleurs pour passer de ce cas particulier au cas général, il suffira évidenmient de remplacer J,M, //Jm, //Jupar Ju, //•«, rf*!/,... //^t^, Jyi/... par dv^ d^^j etc. . . , c'est-à-dire d'effacer les lettres a: , j-, z, placées en bas de la caractéristique d.
Exemple : 5 = ui^; en opérant comme on vient de le dire, on trouvera
£/"(w)=: vd^u + l dyPd'^^u -|- ^(^ ~ ') d^pd^-^u . . .
-{-ndgud"^*v^ ud"»,
^ , . ^(^ — 0 . . d" .atf =z vd^u -f- - dvd^'-^u H i ^ d*pd'^*u , . .
Cette dernière formule subsistera , quelles que soient les valeurs de u, t' , et de x, j", et dans le cas même où fi, (^, se réduisent à deux fonctions de x. Exemple :
X I ,ii(;î*—i)... 3.2.1
cbf.
Application à des questions d''analyse qui dépendent de plusieurs
- variables indépendantes.
Première application, — Maxima et minima desfonotions de plusieurs variables ^ liées par une seule équa^ tion,
73. Lorsqu'une fonction de plusieurs variables indécodantes x^ jr^ z^. . . etc. , atteint une valeur particulière, mais réelle, qui surpasse toutes les valeurs voisines, c'est-à-dire toutes celles que Ton obtiendrait en faisant varier x , y, z en plus ou en moins de quantités très petites, cette valeur particulière de la fonction est ce ([uon appelle un maximum. Lorsqu'une valeur particulière d'une fonction de x^jr^z est réelle et inférieure à tomes les valeurs réelles voisines , elle prend le nom de tninùnum.
La recherche des maxima et des minima des fonctions de plusieurs variables , se ramène facilement à la recherche des maxima et des minima des fonctions d'une seule Variable. En effet, pour que la valeur FÇx^y^z) soit un maximum ou un minimum , il faut que la différence
^f{x+ctdx,y + adjr, z+adz)—¥(x,Xyz) =/(«)/(o)
soit toujours négative ou toujours positive : négative pour un maximum, positive pour un minimum; ce qui exige, 1**. Que f (o) soit une valeur maximum ou minimum
■ ".■>■ i^^^wwaippi
l3o CALCUL DIFFÉRENTIEL*
a**. Que /'(o) = o, ou /'(o) =±005
3^. En supposant la fonction y* (a) continue ainsi que ses dérivées, que la première de ces dérivées qui ne s'évanouisse pas pour a = o soit une dérivée d'ordre pair, et qu'elle soit négative s'il s'agit d'un maximum, positive s'il s'agit d'im minimum, et par conséquent, en observant ,
I**. Que les valeurs qui rendent la fonction F(j:, j^, z) discontinue peuvent lui donner ime valeur minimum ou maximum;
2^ Que fXo) = du, f"{o) = d^u,.., /('')(o) = ^u, on arrivera à la règle suivante.
Pour trouver les maxima et les minima d'une fonction de plusieurs variables indépendantes ,
1°. On choisira les valeurs de x\ y^ z qui rendent la fonction discontinue ;
1^, On fera
- , du . du . du ' ,
dx
dz
3®. On fera du = o, équation qui entraine les trois suivantes ,
du
puisque dx, dy, dz sont des accroissements entièrement arbitraires et indépendants *,
4^. De ces dernières équations on tirera les valeurs de
5**. Pour décider si le système, de ces valeurs produit un maximum ou minimum, on calculera les valeurs des différentielles successives d^u, d^u, d^u. . . qui pondent à ce système. Soit
d^u d^u = —. — daf daf
dy
QUINZIEME LEÇON. l3l
la première de ces différentielles qui ne s'évanouit pas. Si pour toutes les valeurs des différentielles dx^ dy^ dz^ n . est un nombre pair, et </"iiunequantité négative, la valeur proposée de u sera un maximum ; elle sera un minimum si ys étant toujours pair, r/"u reste toujours positif. Enfin si ft est quelquefois impair, ou si la différentielle d'^u, est tantôt positive et tantôt négative , la valeur de u ne sera ni maximum, ni minimum.
7-4. Concevons que pour appliquer le théorème on forme d'abord la valeur de
pour y substituer à x, /, z leurs valeurs tirées des équations
du du
Alors, 1^ si les dérivées partielles
s^évanouissent, il faudra recourir aux différentielles suivantes d^u^ d^u^ . . . etc. -, 2^. si ces différentielles partielles ne s'évanouissent pas , et que Ton fasse varier les quantités arbitraires dx^ djr^ dz^ il arrivera de trois choses Vune : ou la différentielle d^u conservera constamment le même signe, sans jamais s'évanouir, ou elle s'évanouira pour certaine^ valeurs de dx, djr^ dz , mais en reprenant le même signe toutes les fois qu'elle cessera d'être nulle ^ «1 elle sera tantôt positive et tantôt négative : la vdeur proposée de i« sera toujours un maximum ou un mini- Huim dans le premier cas, quelquefois dans le second, jaxntjt dans le troisième. On obtiendra dans le second cas ^maximum ou un minimum, si pourchacun des systèmes
l32 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
de dXy dy^ dz.,, propres à vérifier réquation d'u=^o^ la première des différentielles rf'i/, d^u^,., etc. , qui ne s'évanouitpas, est toujours d'ordre pair et affectée du même signe que celïes des valeurs de d^u qui différent de o.
En général, si la i" des différentielles d'ordre pair qui ne s évanouit pas est
dx^ dy^ -^ ^^
2iîl d^u I dx^^dy "^
il pourra arriver trois choses : ou la différentielle dont il s'agit conserve toujours le même signe , quand on fait varier dx^ dy^ dz.,,'^ ou bien elle s'évanouit pour certaines valeurs de cb: , dy^ dz^... mais reprend toujours le même signe dès qu'elle cesse de s'évanouir ^ ou elle est tantôt positive et tantôt négative. La valeur correspondante de u sera toujours un maximum ou un minimum dans le premier cas , jamais dans le troisième , quelquefois dans le second -, c'est-à-dire si, parmi les différentielles d'un ordre supérieur à im , celle qui la première cesse de s'évanouir est d'ordre pair, et si elle est toujours affectée du même signe que les valeurs de d^"'u qui diffèrent de o. Il est essentiel d'observer que d^"*u étant une fonction entière et continue de dx^ dy^ dz^,.. ne saurait passer du positif au négatif, tandis que ces quantités varient, sans devenir nul dans l'intervalle, c'est-à-dire sans que l'équation d*"*u = o admette une ou plusieurs racines réelles. De sorte que pour que d*"'u ne change pas de signe il faut et il suffit que l'équation cî""u =: o n'admette que des racines imaginaires. Dans ce cas il y aura toujours maxi-* mum ou minimum; maximum si d*"*u est une (quantité toujours négative , minimum si rf"**w est une quantité toujours positive.
QUINZIEME LEÇOI9. l33
'&. Exemple : Supposons
i*=:Ajr»-HBarr + Cr»+*+Er + F,
du = (aAx + Bx + J>)dx + (Bx + aC/ + Ê)^^,
^^^^u=z :i(Adx* + Beb:dx + Cdj^)y d^u = Oy d^u=zo,etc.
V^^ valeurs de ;ï:, j^, propres à produire un maximum ou lU^ :Kiiiuimum, seront déterminées par les équations
