B* — 4AC' •^■"B* — 4AC

de plus , I*» Féquation

* , /iijc* Bdx C\

rf^«==a(Ad:r>+Bd:r4r+C^r') = ^Arfr'f ^+ j^;p+^j = o

n admettra que des racines imaginaires, si B* — 4A.C<o, et d^u sera alors toujours positif ou toujours négatif , suivant que A sera plus grand ou plus petit que o ; ainsi la fonction

Ax» + Bxy 4- Çr» 4- Dx + Ej + F, admettra un maximimi si

B» — 4AC < o, A < o, ^ un minimum si

*B* — 4AC < o, A > o.

2®. Si B* — 4AC>^» l'équation d*u=o admettra* des

racines réelles , et d^u changera de signe pour certaine^

dx valeurs de dx et djr ^ ou du raun^rt — ; il n^y aura donc

alors ni maximum ni minimum. <

3**. Si B* — 4A.C = o, et si Ton n'a pas en même temps

î^AE — BD = o et 2CD — BE = o,

■I ■ ■■ m I im v^

l34 CALCUL DIFFÉRBRTIBL.

Tune des valeurs de x ou de j^ sera infinie^ la fonctiDii donnée n^aura ni maximum ni minimum. Supposons que ces conditions soient satisfaites \ alors les deux ë<{uatioiis

du du

se réduisent à une seule, par exemple à

-r- = 2Ax+Bx + D = o,

ax

et les valeurs de x et de / sont indéterminées. On a dans ce cas

d»u=^{Adx^+7.V/ÂJC . dxdy+Cdx^)=:iiJLdx^f i + —^ ^Y ;

cette valeur de d*u se réduit , il est vrai , à o , toutes les fois que

dx • ^/c '

dy

mais pour, toute autre valeur de -^ , cette . différentielle seconde est de même signe que A ; et d'ailleurs

rf^tf = o, d^uzzzo^ etc.

La différence Aii , lorsqu'elle ne sera pas nulle, sera donc toujours positive ou toujours négative en même temps que ' A, et par conséquent la fonction u admettra une valeur minimum si A >>o, et une valeur maximum si A <C o. Si B s'évanouissait, on aurait nécessairement, en vertu des équations

B* — 4ÂC = o,'24E#-BD = o, aCD — BE = o, ou

A = o, B = o, C±=o, a=rIXr-l-Er + F; ou

A = o, B = o, D = o, a zz= Cy* + Er + Ï',

QUINZIÈME LEÇON. l35

OU enfin

B=:o, C = o, E = o, a = Ax» + IXr 4-F;

dans le premier cas la fonction u n^aurait ni maximum ni minimimi, dans les deux derniers cas elle aurait une infinité de maxima ou de minima égaux à