Scolie i'*. En général, on a
d*u , . d*a , d^tt , ,
d*u = -r-, or» H -— rfr» + 2 -7—7- dxdr^
dx* dy* dxdx "
ou
d^u . / dy* . dxdy dy dx* rf/» \ dx*^ d*u dx^ d*u' "
dy^ Ip
et par conséquent, 1^ d^u aura constamment le signe
de -7—, si l'équation
^, dxdy dy ifa»
. dx»"'"^ d*u dx'^ d^u"" ^ dp dP
n'a que des racines imaginaires, c'est-à-dire si l'on a
ce qui exige que j-j- et -^ soient des quanutés de
même signe ; la fonction u admettra donc un maximum 31 Ton a à la fois
dy^^^' \dxdyj '^dpl^^'''
l36 CALCUL DIFFÉRBUTIEL.
et un minimuni, si
d*u ( d^u Y d^ud*u
dy- ^^» \dxdy) ~dP^d^<'''
a^. La fonction n^admettra de maximum ou de n mum, dans le cas où
/ d*u Y d*jid*u
qu^autant que la première des différentielles iPuj d^
dy qui cessera de s'évanouir pour les valeurs de -j- pn
à vérifier Téquation
dy* dxdy dy- ^^ dx*
dJ^'^ d*u S rfnî "" ^'
dp' dp'
sera d'ordre pair, et constamment de même signe qu< quand il ne s'évanouit pas. 3^. Si
/ d*u\* d*ud*u
[dMyJ ~dp"d^^^'
la fonction u n'admettra ni maximum ni minimun ScoUe 2*. S'il s'agît d'une fonction de trois varia on aura
dx* ^^ dy* ^ ^ dz* dxdy ''
axaz dydz
et en posant
dy dz
, fà^u d*u . d*u d*u , d*u d*m
QUINZIEME LEÇON. * iZj
Pour que d^u ne change jamais de signe, il faut, i^ que i^jUation d*u= o, résolue par rapport à ç^ n'ait pas de ^cîncs réelles, ce qui exige que l'on ait, quel que soit ^i
lS5 + ^^; —dF\d^'^dj^^''^''d^f')<''^
ou
r/" d'uy d*ud*u'\ ^- / d'u d'u d^u d*U \
L\ tiydzj ^fl^J^ \ dydz dxdz 'dF dxdy /
/ d^u Y d^ud^u
\ dxdz ) IdF'dx^'^^'
C«ttc dernière condition sera elle-même satisfaite quand ^ïi ^ura
\dydii) IF^^^'
\dxdz dxdz dz* dxdyj
[/ d*u\^ d*ud*u 1 r / d*u \ « d*u à^Wy \lfydz) ~'é^'^ \V\dxdz) ~'dF dF \^^'
^^Ues sont donc les conditions nécessaires et suffisantes Poixr que la fonction u admette un maximum ou un mi-
^iXQum; ce sera un maximum si -^ < o, et un mini-
dz'
. d^u ^ SI -J-- > o.
• dz*
77. 1*' Exemple. De tous les triangles isopérimètres, ^{ixel est le plus grand en surface ?
'Solution. Soient x^y^ z les côtés, p = — ? le
dexni-périmètre donné, on aura z=z!ip — x— ^, et la sur^ face du triangle sera donnée par l'équation
vt 1 m^
l38 CALCUL DlFFÉRfilITIBL.
les équations
du du
se réduiront à
p{p—x){'xp^iX — ^) = o»
on ne peut poser ni p-^jf = o, lii^ — x = o, p que sans cela on aurait
ou
ce qui est absurde \ il faudra donc que Ton ait 2/? — ax— ^ = o, a/^^aT* — x=o.
De plus, pour ces valeurs de x et de jr, on aura
rf»if l/3
dxdf a *
^-^ est négatif, et de plus
les valeurs de x et dey donnent donc un maximum fonction u, et le plus grand des triangles isopérim est le triangle équilatéral.
2°^* Exemple, De tous les parallélépipèdes im dan» une sphère, quel est le plus grand?
QUINZIÈME LEÇOlf. l3p
Solution. Tous les parallélépipèdes inscrits sont des 'allélépipèdes rectangles,- leur centre coïncide avec le oentre de la sphère, leur diagonale est le diamètre D de la sphère, et en désignant par Xjjr deux des côtés,
le troisième z = V^D* — x* — j^. Cela posé, le volume* du parallélépipède sera
u = xxz=zxy i/d» — X» — /» ,
da y J?*r
dx J/D»— jr* y^
= -^ (D* — ax» — r») ,
— = (D» — gy»— j?»);
D I>^ — 2x* — ^r»=o, D» — ar»— x»=o% a?=^î=« = --^.
I^^ plus, lies valeurs correspondantes de j-^ , -r—r- , -^-^ s o3)tiendront facilement en ayant égard aux équations
D* — 2x» — /* =0, D* — îy» — «»= o, c^ 1 on trouvera
donc
A^Mr/ €(r» ite» "" 5 3 ■" 3 "^^^
^ parallélépipède maximum sera donc le cube qui a pour côté-?-
l4o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
3'°' Application. Soit F(^) une fonction entière réelle de z^ si Ton pose z = x+y\/ — i, on aura
f(j:+ xV^—^) =R(cosT+ j/^^sinT), y{x— X l/^^) = R(casT— V/'^sîiiT),
R» = y{x + yV^^) f(x— r»/^.
Cela posé, il sera facile de prouver que si le module R
met pour z =x + j^\/^— ï une valeur minimum , ci valeur minimum sera nécessairement nulle. En effet, i
F^'*j(ar ± jr V/ — I ) la première des dérivées qui ne s'é
nouisse pas pour z=x + J" V---ï> de sorte que l'on i
r(a:±:/V^C:7) = o, F''(x±:rV/'^=o...,
F(— o(a:±jrV<i:T) = o, ♦.
1 équation connue
donnera , en y faisant
rf«.R*= rf«[F(j:+jrV/:Z7)F(x— rl/^)]
== F(«)(x+jV/^)F(:r — jV<^^^+ ^jV^ +F(;r+ji/^)F(")(a:— r V<^) {dx—dfi/^
d'où Ton tire , en posant
X + x\/^ = r(co8 r+ V/^ sinO»
lir -f-£/^l/d7 = p (cos r+ y/^ — ^^1 sin t),
F ^)(x±:x V<II7)=R,(cosT, + \/^ sin T,), d\K* = aRRnf» cos( T, —T +/tr);
or, si la v^euf minimum de R ou de R* n'éuitpas nu rf".R* changerait évidemment de signe dans le cas où 1
QUINZIÈME LEÇON. l4l
donnerait à T, et par suite à dx et dj, certaines valeurs,
par exemple si Ton changeait r en r H tt , et par
conséquent la valeur de R dont il est question ne pour- ^^it, pas être une valeur minimum.
On démontre facilement , à Taide de ce qui précède , ^e toute équation entière
^ coefficients réels ou imaginaires, admet une ou plusieurs racines réelles ou imaginaires. En effet, le module R <|ui, en désignant par p,, j&i,. . . jOm les modules des coefficients A, , Â|, Â,,. . . A„, est toujours plus grand
plus petit que
it par croître indéfiniment avec rou avec jTyj'. Cela posé, parmi toutes les valeurs que prend le module R pour des valeurs finies de a: et dey, il en est nécessairetxient une plus petite que toutes les autres : or cette valeur minimum est nécessairement o , comme on vient de le prouver; il existe donc une ou plusieurs valeurs de z de la
torme z = a + 6 V/— x , propres à .vérifier Téquation R = o et par conséquent F (a:) = o.
On trouvera plus de détails sur les conditions néces* maires pour qu'une fonction u, d'un nombre quelconque ^e variables indépendantes; admette un maximum ott 1^11 minimum, dans le Calcul différentiel de M. Cauchy, il** leçon. •
l4'^ CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Siiiie des applications analytiques.
DEUXIÈME APPLICATION. Moxùna et mùiùna desfonctU de plusieurs variables, liées entre elles par plusie équations.
78. Si les n variables x, y, jb, . . . au lieu d'être in< pendantes , comme on Ta supposé jusqu'ici , étaient li entre elles par m équations j^=o, tv=o... , pour déda de la méthode indiquée les maxima et les minima de fonction m = F (x , j^ , z, . . .), il faudrait commencer par i miner de cette fonction m variables différentes à l'ai des m équations données ^ après cette élimination les ^ riables qui resteraient , au nombre de n — m , devraii être considérées comme indépendantes , et l'on égalera comme ci-dessus ^ du koy ou k l'infini , etc. Mais la i cherche des maxima et des minima peut , dans ce es être beaucoup simplifiée.
ïji effet , différentions la fonction u en y conserva toutes les variables données x, jy, z^,..,YéqasLÛoïï du^ deviendra
du du du
et renfermera les n différentielles dx , dy^ dz. . . do n — m seulement sont réellement indépendantes, i
SEIZIÈME LEÇON. l43
m autres pouvant être exprimées à Taide des m équations
\ da ., -.,
I 3-io^+:j-«r + T7: "*• • • ^= o,... etc.
dv dv
-r- dx-\ — r- d!r^ — - dz, . , =o, dœ dy -^ ^ dz '
dw dw dw
Cela posé, Téquation du = o devant être vérifiée dans le cas du maximum ou du minimum , quelles que soient les différentielles des variables indépendantes , il est clair que si Ton élimine de cette équation uii nombre m de différentielles à Taide des formules (a), les coefiicients des 'n — /i différentielles restantes devront être séparément égalés à o. Or, pour effectuer l'élimination , il suffit d'ajouter à Téquation du-=o chacune des équations du = o, rfw= 0,... multipliée par un facteur indéterminé — X, •"/»,.., et de choisir ces facteurs de manière à faire dispafiitre dans Féquation résultante les coefficients de m différentielles successives ^ comme d'ailleurs l'équation ré- '^tante sera de la forme
'^ dv dw \ ,
(du dç dw \
et comme, après avoir fait disparaître les coefficients de m différentielles, il faudra égaler encore à o ceux des différentielles restantes, il est permis de conclure que les valeurs de X, fA, V . . . tirées de quelques-imes des formules
du dç dw
dx dx dx " ' '
du dnf dw
^^nt JMitisfaire à toutes les autres \ par cons^Quent les
TTl»
ï44 CALCLL DIFFÉRENTIEL.
valeurs de j: , j' , Zy,.. propres à vérifier les équation /iu = o , ^(^ = o , . . . ou propres à douner des maxima. des miuima, devront satisfaire aux équations de conditic que fournit Télimination des indéterminées^, f^» v* -
entre les formules -; X -7- ... =^0 , etc. Le nombre <
ax dx
ces équations de condition sera n — m; en les réunissai aux m équations (^ = o, w = o , . • • on obtiendra en XxyàX, équations dont on déduira, pour les variables x^y^z^ pi < sieurs systèmes de valeurs, parmi lesquelles se trouveroi ceux qui pourront rendre maxima ou minima la fonctics donnée i/ = F {x^y^ ^...).
Nota. Les équations de condition produites par Tel mination de X , |!x , v . . . resteront les mêmes quand C3 échangera entre elles, d'une manière quelconque, les fo; tions u, P*, IV..., ou jypand on remplacera ces fonctions les suivantes u — a , v — J, w — c. . . , de sorte que la thode précédente donnera toutes les valeurs propres rendre maximum ou minimum non-^seulement la fo; tiqpL u'y mais les fonctions (^, iv, ...^ u — a, u — ^ tv — c. . . Si les variables sont liées entre eUes par \»jm seule équation (^ = o , les équations à Taide desqueLS on pourra éliminer X deviendront
du dç da dv du dv
dx dx ^ df dy ^ dz dz
On en conclut , par Télimination de A,
du du du
dx dy dz
33 :L ^^^ ss etc.
dv. dv dç dx dy dz
Cette dernière formule équivaut k n — i équations tinctes qui, réunies à Téquation f^ = o, détermineront valeurs cherchées de a:, j^, z.
SEIZIÈME LEÇON. l45
79. 1 ^^ Exemple, a, i , Cj,..r^ étant des constantes , on demande le maximum de la fonction u=^ax+by+cz + . . . en supposant les variables assujéties à vérifier Téquation
tf = X* + X* + z* +... — r»= o.
On aura
du du , du dv du dp
dx dy ^ dz ^ dx ^ dy -^ ^ âz
et par suite
a b c ûJ>-f-é'/+c2H-... u , \/a^+b^+c^+.,.
donc
tt l/fl*+^» + 0»+... . . y j ;
On montrerait que de ces valeurs de m, Tune est un ixiaximum et Tautre un minimum , en remarquant que l'on a
a*<(a»+^»+c»...)r», <îcî qui exige que des deux valeurs
1 ^ une soit maximum et Tautrè minimum.
2™^ Exemple, On demande le minimum de la fonction
^ïi supposant que les variables x, y^ z, soient liées entre ^lles par Téquation
flx + A»/ + cz H- . . . — A = o.
T. I. lo
l46 CA.LCIJL DIFFÉRENTIEL.
On aura encore
abc k . V/^fl*+6»+c»...
et Ton montrerait que cette valeur est un minimum Si les variables x, j", «. . . se réduisent à trois, et
signent des coordonnées rectangulaires , la valeur de représentera la plus courte distance de Torigine à plan fixe.
3"*^ Exemple, On cherche le maximum de la fonc
les variables Xjj^ z , étant assujéties à vérifier Féqual
u =ax^ bjr^cz^, , . — iJ = o.
On aura
du «-. - . P du a du r
— = pxP 'y9z'=^u, = !« — = -«.. dx X dy y dz z
dç dv , dv
et par suite
ax hy cz '" k a' p-{~q ^r. q k r k
On a encore
du pdx qdy rdz
T7 ^^"rr'^ : — r
et puisque les valeurs précédentes de j:, j', z , . . . i dent du constamment nul, et //'u constamment négi elles fourniront un maximum de la fonction u.
SEIZI^E LEÇON. l47
^"^ Exemple, On demande les demi-axes d'une ellipse
ou d'une hyperbole rapportée à son centre et représentée
par r équation
P = Ajt* + Bxy + Or » — K = o .
Chacun de ces demi-axes sera un maximum ou un minimum de la fonctionr= u = yoT+y*^ ou du rayon vecteur mené de Torigine à la courbe. Cela posé , comme on a
du X du y du . . « ^^ «
^ = F' Ty=r^ ^ = ^^-»-»-''' ;5; = -Cr + B*.
et par suite
!iAx-|-Br~2Cr+ftr~x(3tAx-f-B7)-|-r{2Çr+B^)"'2K •
aK „r 2K ^ x f7.lL ,\ f^lL \
__.A=Bj.--.C=B-,(--.AJ(-.c)=B.;'
les deux racines de cette équation seront les carrés des deux demi-axes qui seront tous deu^ réels si AK > o , -B" — 4AC<;o, mais dont l'un sera imaginaire, si B* — 4AC > o. '
Troisième application. Dév^eloppement des fonctions de plusieurs variables. Extension du théorème de Tajlor à ces mêmes fonctions,
