dxdjr

Si le terme ou le reste

/''(Oa) décroît indéfini-

ment à mesure que n augmente, ce qui arrivera, par exemple, si / " (Oa)^ qui est ce que devient d'*u quand on

SEIZIÈME LEÇOA. l49

conserve toujours une valeur finiç, la série qui forme le second membre de Téquation précédente sera convergente , et l'on aura

, flt^ ., du du du I d^u

i.a.3 dx dy dz i.aor*

Si dans cette dernière équation on fait a = i , on aura

0/ . , . . \ . du ^ d*u , d^u

tr {^^dx, X + dxy z + £fe,...) = tt+ — + — -+7-— ^+...

Celle équation et celle qu'on en déduit en remplaçant x , X^ -c ,... par zéro, dXy dy^ dz^... par x^jr, z,..*. fourni issent le moyen d'étendre les théorèmes de Taylor et de ^laclaurin aux fonctions de plusieurs variables.

S"*îl arrive que pour certaines valeurs de x, J^, z, les ^iflîéreiltielles du^ d*u.. , . d'*''^u s'évanouissent toutes, ^ix aura

*^ ("«^H-AXjy 4- A/, H-Az)— F(a:, y, z) = àu= (d^u^l).

Cette dernière formule comprend la théorie des maxiet des minima des fonctions de plusieurs variables.

■ PI' *l Ji

iSo

CALCUL DIFPÉRBIITIEL.

Caractère général de la conrergence des séries. — Limite des restes des erreurs qae Ton commet en s^arrètant à un terme quelconque ces séries.

81. M. Cauchy a été assez heureux, dans ces années , pour démontrer un théorème vraiment remaixpu ble qui donne immédiatement les règles de la convergen des séries fournies par le développement des fonctio explicites, et réduit simplement la loi de convergence la loi de continuité des fonctions. Je vais donner une id de ces importantes recherches, après avoir rappelé propriété remarquable des racines de Timité , ou des cines de Téquatiou x" = i , et établi quelques lemm fondamentaux faciles à déduire des premiers principes calcul différentiel.

Comme on Ta vu, toutes les racines de Tunité se renfermées dans la formule

({i))"=: ces — ^± \/ — I sin

ait<

Posons, pour abréger, 6= a" , et nommons m,

deux quantités entières positives ou niégatives , mais te lement cnoisies, que la différence rri — m ne soit pas visible par.n ; les expressions

'xmn

h'^zzzc

am'i

DIX-SEPTIÈMB LEÇON. l5l

seix>iit deux racines w*'"^' de l'unité , distinctes Tune de Taiitre, puisque la différence

'ïe peut s'évanouir qu'autant que • est un nombre

^i^^îer. n en résulte, i** que ces deux expressions seront cer^tainement deux racines /i****" de l'unité, distinctes * ^^-*iede l'autre, si la différence m — ni est inférieure à ^\ 2** que pour obtenir toutes les racines de l'unité du ^^gré n, il suffit de prendre n termes consécutifs de la Progression géométrique ,

fl~S «-% 6-», i,6«, 0% e^etc., •

^Indéfiniment prolongée dans les deux sens, par exemple, les termes i, 0, 6% 6^. . . ô"-'.

Corollaire i*"". La somme S des m'^"^' puissances des ^* racines de l'imité est égale à o , excepté lorsque le nombre m est un multiple de n , et dans ce cas , la sonune S est égale à n.

En effet, la somme de ces m'^'"' puissances sera toujours égale à

^r le Amérateur étant nécessairement égal à o, la somme S s'évanouira toujours, à moins que le dénominateur ne soit nul lui-même, ce qui n'arrivera qu'autant que m sera de la forme mn ; et comme dans ce cas la véritable

valeur de Ja traction -; est — = /i , on aura o =. n.

U importe peu d'ailleurs que m soit positif du négatif*, et en effet, une puissance négative de (/ peut toujours être

l5a CALCUL DIFFÉ&EHTIBL.

remplacée par une puissance positive, car on a 0"^

et en désignant par m'n le multiple de n le plus voisin

82. Lemme. Soit x = re^^^ une variable imag dont r soit le module , et t Targument \ soit encore ^une fonction de ]a variable x qui reste finie et con ainsi que sa dérivée f'ipc)^ pour des valeurs du mo< comprises entre certaines limites r •=:rQ,^ r == R ; nommons n un nombre entier susceptible de croit

définiment, et prenons 6 = e" ,6 représentei

racine primitive de Téquation x" = i *, dès-lors, attribuant à r Tune quelcopque des valeiu*s compris tre les limites /q, B, on pose

M s'évanouira pour de très grandes valeurs de n , conséquent la moyenne arithmétique entre les di valeurs du produit (^f\6^r) correspondantes aux v o, I, 2, . . . (n — i), du nombre m, se réduira ser meut à o.

Démonstration. Si Ton appelle h un accroissemc tribué à une valeur réelle ou imaginaire de x, dai^l sinage de laquelle la fonction f(x) et sa dérivée , restent finies et continues y ou aura

I devant s'évanouir avec h. En faisant tour à tour cette équation,

DIX-SEPTIÈME LEÇON. l53

4r+A = 6»r, xzizOry h=r${9 — i)... etc.,

# i trouvera

J-(er) /(r)=(0 i)r[/'(r) + I.],

Les quantités I. , If , . . . I„ devant s'évanouir avec 6 — i , ou, ce qui revient au même, avec-, puisque, en vertu de

?it/r

l'écpiation 6 =:e" , 6 ne sera égal â l'unité que quand

nsera égal à l'infini , ou - à o.

En ajoutant toutes ces équations et désignant par I^ la nwyenne arithmétique ' * L..i!-i: ?, moyenne qui

devra évidemment s'évanouir elle-même avec - , on trou-

vera

^ Iq s'évanouit quand n est infini , donc, etc. ^*S. Corollaire i*"". La moyenne

l34 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

est la dérivée de cette autre quantité

donc, si pour de très grandes valeurs de n la première moyenne ou la dérivée est sensiblement nulle, la seconde, ou la quantité elle-même, sera sensiblement constante, car il n'y a qu'une quantité constante qui puisse avoir une dérivée nulle. Si donc on pose

on aura sensiblement, pour de très grandes valeurs de w

/^ (r) n'est autre chose que la moyenne arithmétique entre les diverses valeurs de la fonction f(x) qui correspondent à un même module rde la variable x, et à des

valeurs de - représentées par les diverses racines n**"^' àc

l'unité. La limite vers laquelle converge cette moyenne arithmétique tandis que le nombre n croit indéfiniment 9 est ce qu'on pourrait appeler la valeur moyenne de w* fonction f(x) pour le module donné r de la variable X» En admettant cette définition , on déduit immédiatement de ce qui précède la proposition suivante : Si la fonction* fipc) et sa dérivée f \x) restent finies et continues po^r un module r de x renfermé entre les limites r^ , R , la ^^" leur moyenne de f{x) correspondante au module r sup" posé compris entre les limites ro? R- sera indépendaï»*' de ce module.

Corollaire 2"**. Si r^ = o , c'est-à-dire si la fonctî^ f{pc) et sa dérivée y* '(x) restent continues pour toute» *^ valeurs de x dont le module est renfermé entre les "^^ leurs o et R , on aura sensiblement pour un sembla-»^^

DIX-SEPTIÈME LEÇON. l55

nodule et pour de très grandes valeurs de n , F(r)=zF(p) ; ;t si F(o) = o, ce qui aura lieu si la fonction f(x) s'éyanouissait avec a:, F(r) = o.

84. THéoRl:ME I***. Si l'on attribue à la variable x un module inférieur au plus petit de ceux pour lesquels une des deux fonctions F(,r), F'(x), cesse d'être finie et conliaue , ia fonction F (x) pourra être représentée par la

valeur moyenne du produit F(^), correspondante

a un module r de 2 qui surpasse le module donné de j:, et sera par conséquent développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de la variable X.

Démonstration. Posons

F(z) désignant une fonction de z qui reste finie et coutinue avec sa dérivée. F '(z), pour un module r de -ï compris entre les limites o et R, La quantité jF (s) définie par l'équation

» évanouira ainsi que f(z) pour une valeur nulle de z ^ et si , en «posant pour abréger

on nomme 4>(z), x(z), ce que devient F{z) quand on 'ÇUiplace f{z) par ç(z) ou par x W» ^^ ^^^^

'^ plus , pour de très grandes valeurs de n et poui' un

module r de z inférieur à R, on aura, en vertu du de^ nier corollaire, puisque ^ (o) = o,

d'^autre part, si Ton suppose le module de z supérieur aa module de x, la fraction , sera dévcloppable ca

série convei^ente , et l'on aura

= «(2 — j:)"'*=:i-f-«~'*+25~*«*+elc.,

^ çt par suite

;k («) = — ^ — F (x) = F (a:) (i + z""» « + a"* ^'+ «te.),

^ l^; - * l^; L ^ ^-. ^ (,^ ^-. ^ ^-4 + etc.) + etc. J

Les coefficients de r~' x, r" x", etc., sont la somme des racines de Tunité élevées chacune à la puissance — i ^ ou à la puissance — ; 2, — 3, etc., somme que nousavoo^ prouvé être égale à o ^ on aura donc

et à cause de Téquatioii «ï> (r) = X (r) ,

En vertu de cette dernière équation , qui devient rigou-^ reuse quand n devient infini , la fonction F (x) pourra généralement être représentée par la valeur moyenne di^

produit F C-^) correspondante au module r de ï^

variable z -, pourvu toutefois, comme on Ta déjà supposé 9 quô cette fonction F {z) et sa dérivée F' {z) restent finies et continues pour ce q^odulc de z , ou pour un module?

DIX-SEPTIÈME LEÇON. l5y

is petit. D'ailleurs la fraction , et par suite le

xiuit f (z) , seront , pour un module de x înfé-

ur au module r de -2? , développables eh. séries con vérités ordonnées suivant les puissances ascendantes dex\ pourra donc en dire autant du second membre de Féition qui donne F(a:), et par conséquent de F (j:). ne, etc.

Oe ce théorème on déduit immédiatement la proposi- Q suivante. •

iS. Théorème 2,^. Une fonction quelconque réelle ou ïginalre d'une variable réelle ouimaginaire xsera dévetpable en une série convergente ordonnée suivant les issances ascendantes de x , tant que le module de x iservera une valeur inférieure à la plus petite de celles lu* lesquelles la fonction ou sa dérivée cesse d'être finie continue.

Ainsi , en particulier , puisque les fonctions

CMXy sino:, e*, e^*, cos(i — x*), etc.,

leurs dérivées du premier ordre ne cessent jamais ^tre finies et continues, elles seront toujours dévelopbles en séries convergentes ordonnées suivant les puisaces ascendantes de x^.au contraire, comme les fonces

1(1 -4-0?), arctangjTy

leurs dérivées du premier ordre cessent d'être fonctions ntinues de x au moment où le module de cette variable 'Vient égal à l'unité ; elles seront certainement dévelop- ^les en séries convergentes ordonnées suivant les puis-

^^]l IP ■ > ^yl

CALCLL DIFFÉRENTIEL.

sauces aspeinlantes de la variable x j si la valeur redk ou imaginaire de x offre un module inférieur à rimité. Ces séries, au contraire, pourront deveniretdeviendroDt en effet divergqptes , si le module de x surpasse runité. Enfin 9 comme les fonctions

ÏXj

ces -9 etc.,

deviennent discontinues avec leurs dérivées du premier ordre pour une valeur nulle de x, par conséquent, lors^ que le module de x est le plus petit possible , elles iie seront jamais développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de x.

On sera peut-être étonné de voir placer la fonction arc tang x au nombre des fonctions qui deviennent infinies ou discontinues quand le module de x devient égal à I : il est vrai que si l'on attribue à x une valeur réelle, la fonction arc tang x ne cesse pas d'être finie et conti' nue*, mais il n'en sera plus de même si, x devenant ima^ ginaire, on suppose, par exemple,

Alors, en effet, la fonction

( •/ — N l(i— *) — l(i-4-«) arc tang x = arc tang (^« K -— i ) = -^ '- ^ -',

deviendra évidemment infinie et discontinue ainsi que

dérivée

, quand on fera

• = I ou X r= ± V^— I .

Les fonctions ci-dessus jprises pour exemple , et Xsox^ dérivées du premier ordre , deviennent toujours înfinî^ ou discontinues pour les mêmes valeurs du module àet 1^ variable indépendante : si l'on était assuré qu'il en f^^ toujours ainsi , on pourrait, dans le théorème énoncé* ^^

DIX-SEPTIÈME LEÇON. iSp

r de parler de la foiictiou dérivée, mais on n'a

cet égard une certitude suffisante.

i méthode que nous venons d'exposer est d'autant

larquable , qu'on peut même en déduire et la se-

[aclaurin , et le reste de cette série.

avons vu, en effet, que la fonction F(x) pourra

éralement représentée par la valeur moyenne du

« — F (z) ; or on a

i-FW =F{z)+^F(*)H.f|F(z)-Hetc.

ans le développement de F (x) le terme constant

! réduire à la valeur moyenne de F (z) , ou , en

L lemme fondamental, à F(o), puisque, -par hy-

, la fonction F (z) est continue entre les limites

De même , le coefficient de x sera égal à la va-

»yemie du rapport — ^-^, ou, ce qui revient au

au rapport -^-^ ^-^, car la valeur moyenne

F(o)r-'(i +ô-'+e-' + « etc.)

Antité — ^ est nuUe , en vertu des propriétés des

de l'unité. D'ailleurs la valeur moyenne du rap-

^, est égale à la valeur F'(o) qu'il prend

»n y fait z = o. On montrerait de la même maie le coefficient de j:*, valeur moyenne du rapport

ce qui revient au même, n^ 81 , corollaire i'*^,

lort

l6o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

F " (o) est égale à — ^' , et l'on trouvera définitivement

F (z) = F (o) + ^ F (o) + ^ JF''(o)+ete.;

Quant au reste qui devra compléter cette série , réduite à ses n premiers termes, on le déterminera facilement comme il suit : en effet , puisqu'on aura

7*"" "*"?=^ "*■ zf^'{z—xy

et par suite

il est clair que le reste dont il s'agit sera la valeor