M II

moyenne du produit tji^tt \^Wr considéré comin^

fonction de z , pour un module r de z supérieur aU ma* dule donné de x. Donc si l'on nomme Jt le plus grand des modules de F (z) correspondants au module ràeZt et p le module attribué à la variable Xy le reste delà série de Maclaurin aura pour module un nombre inférieur ati

produit ^ . ^ -r R , et par conséquent inférieur ^^

reste de la progression géométrique que l'on obtient en développant suivant les puissances ascendantes de x^ 1^

rR rapport .

En résumant ce qu'on vient de dire , on obtient la proposition suivante :

87. Théorème 4*'« La fonction F(j:) sera développais*^ par la formule de Maclaurin en une série convergert*^ ordonnée suivant les puissances ascendantes de x si le ja%^^ dule de^la variable réelle ou imaginaire x conserve iiH^

DIX-SEPTIÈME LEÇON. l6l

valeur inférieure à celle pour laquelle la fonction cesse (l'être finie et continue. Soit r cette dernière valeur , ou une valeur plus petite, p le module de x^ ^et R le module maximum de F (x) , les modules du terme général et du reste de la série de Maclaurin ^ seront respectivement inférieurs aux modules du terme général et du reste de la

progression géométrique qui a pour somme , et dont

le reste est

(r — p) \rj r — p

Les principes ci-dessus exposés, et les divers théorèmes que nous venons d'établir, peuvent être immédiatement étendus et appliqués à des fonctions de plusieurs variables; on arriverait ainsi , par exemple , au théorème suivant.

Théorème 5^. Soient x, y, ^,... plusieurs variables, réeDes ou imaginaires, la fonction F(jc^yy z...) sera dé- Teloppable par la formule de Maclaurin, étendue au cas de plusieurs variables , en une série convergente or* donnée suivant- les puissances ascendantes de or, ^ z... , si les modules de ces variables conservent des valeurs inférieures à celles pour lesquelles la fonction reste finie et continue. Soient r, r', r"..., ces dernières valeurs ou des valeurs plus petites , R le plus grand des modules de F(x,^, z.,.) correspondants au module r de x, au module r^ de j", au module / de z, p, p\ p", ... les modules de X, j, z... ; les modules du terme général et du reste de la série en question, seront respectivement inférieurs aux inodules du terme général et du reste de la série qui a pour somme le produit

:. ^TIT^V— p'-r"— p"

T. î. II

DIX-HCITIEIIIE LEÇON.

Développement des fonctions implieites. — Série de Lagrange.

88. Les principes établis dans la leçon précédente penvent être appliqués au développement des fonctions implicites, par exemple de celles qui représentent les racines des équations algébriques ou transcendantes. Alors la loi de convergence se réduit encore à la loi de continuité. Concevons pour fixer les idées , qu'il s'agisse de développer la plus petite racine de l'équation

dans laquelle f^y) est une fonction explicite et doiùiée de y qui ne renferme point x , et qui ne devient ni nuUe, ni infinie pour y =o . Parmi les racines de cette équation il en .existe évidemment une cpii s'évanouit en même temps que X, et qui , si l'on fait croître x par degrés insensibles, variera elle-même insensiblement, ainsi que sa dérivée relative à Jf, en restant toujours fonction continue de x, judcpi'à ce que cette variable acquière une valeur pour laquelle deux racines de l'équation y = xf{y) deviennent égales (*), pourvu toutefois que dans l'intervalle, la

(*) On dit qu^une équation F ( r) = o, a m racines égales à b, loraqa^on

a F (r) = (J^ — *)" f (^) » ^(^) étant une fonction de y qui ne devient ni nulle, ni infinie pour^ = h ; comme on a d^ailleurs

réquation F(r) = one pourra avoir m racines égales à &, ouF(r) ne

DIX-HIJITIÈME I.EÇOV. l63

îur de f (j) correspondante à la racine dont il s'a- , ne cesse pas d'être continue. Donc, si la fonction y) reste continué pour des valeurs quelconques de x, c des racines de l'équation, jr = j:y (y), qui s'évanouit c Xj sera développable en série convergente, suit les puissances ascendantes de x, pour tout module cette variable inférieur au plus petit de ceux qui roduisent des racines égales dans l'équation (i), en .dant ces racines communes à cette équation et à sa déée prise par rapport à^, i = ^ f(j/)'t ^* P^^r consémt poiur tout module de x inférieur au plus petit de

IX qui répondent aux équations simultanées x = jq—^y

— = y(j'). Ainsi, par exemple, la plus petite racine

l'équation^ = a: cos jasera développable en série conrgente ordonnée suivant les puissances ascendantes de a: UT tout module de x inférieur au plus petit de ceux

i répondent aux équations simultanées x =— ^ et * cosjr

lira être de la forme (r — *>" f(^) qu'autant que Ton aura F(&) = o, F;(&) = o, F;(&) = o...F;— «(4)=:o.

sorte que la racine multiple b est nécessaûrtaeiÉt conmraoe k Féqna- B F{r) = o , et à ses dérivées jusqu'à celles de Tordre m — i inclusive- Bt. Si m = a, c^eet-à-dire si la racine h est double , elle devra vérifier

fois les deux équations F(r) = o, F^(^) =o. )e plus, si F (r) est une fonction implicttede x , sî, par exemple , y est arec x par Téquation j" = xf[y)y on aura

Pon en conclura que si à une certaine valeur de x correspond une racine iiblederéquationF(r)=o, la valeur çoriPespondantede/^seray en gérai, infinie et discontinue , puisque F^ (*) = o , et par conséquent r ne ra plus développable en série convergente ordonnée suivant les puis-

nces ascendantes et entières de x.