II
i64 CALCUL DIFFÉRENTtEL.
cosr
— =- =1 — smjr ou cot jr = — y ; or on prouve que ce
plus petit module qui correspond à la racine imaginaire
y = 1 9 199678... K — I de Téquation cot^ =— j-, sent 0,66274^9 et par conséquent la plus petite racine deTé^ quation jr =x cosj^ sera développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de r pour tout module de x inférieui* au nombre 0,662742; on se trouve ainsi ramené immédiatement à un résultat auquel Laplace est parvenu, par des calculs assez longs, dans son Mémoire sur la convergence de la série que foiir-^ nit le développement du rayon vecteur d'une planète, suivant les puissances ascendantes de Texcentricité.
89. Pour développer cette plus petite raciney, ou la ra-* cine qui s'évanouit avec x , et que nous supposerons être une racine simple, appelons-la j^o, et posons
X —^f{y) = (r — Xo) ç (r),
(f(y) sera une fonction de^ qui, ainsi que J'(y)y ne de-^ viendra ni nulle, ni infinie pour j^ :^ o. En différentian^ cette équation par rapport à j", on trouve
• -*/'(/) = (r - roW{x)+Pir\,
et en divisant membre à membre ,
Hx) x—^Ax) x—Xo
D'ailleurs, pour des valeurs suffisamment petites de j", 1^
fonction ) i^ qt^î ^^ devient pas infinie pour jr = o«
sera généralement développable en une série convergente ordonnée suivant les ptdssances ascendantes entières et. positives dey. On aura, par exemple,
DIX-HUITIÈME LEÇON. l65
• ?lr)=Bo+B.7+B.r* + etc.
Ainsi, en particulier, si (p(j^) est une fonction entière de j, et si Ton nomme b\ b'\ V , . . les racines, supposées inégales, deTéquation f (y) = o, on aui*a identiquement
B désignant un coefficient indépendant de y, et par suite
Poiir tout module de j^ inférieur aux racines ft'; i", etc., cli^i.cun des termes du second membre sera développable ecà série ordonnée suivant les puissances ascendantes de y, et l'*on aura
U faudra donc que le second membre de Féquation (2) soit lui-même développable , pour des modules de^ qui ne dépassent pas certaines limites, en une série convei^ente ordonnée suivant les puissances ascendantes entières et positives dey. Or il semble au premier abord que pour de très petits modules de x, ou , ce qui revient au même , pour de très petits modules dey^, ce développement ne puisse s'eflfectuer , car ^i le module de y^ devient inférieur à celui de j^, et le module de x inférieur à celui de
77— r, les deux fonctions
y-^Ar)
pourront être développées suivant les puissances asccn-
I I > HnmVf
CALCUL DlFFÉRCNTieL*
dantes de^o ^^ ^^ ^ et renfermeront des puissances négatives de j^, on aura en effet, dans cette hypothèse,
De plus, en désignant par les notations p^,D^., Dj,... le» dérivées successives prises par rapport à y, on aura
'-^/^(■r)Dr[j— V(r)3-Pir^ ^f,^..
y-^ny)~ r-*/(r) '^^ ^^^^^'
et parce que
on aura
Enfin , si Ton représente généralement par les notatic^^^ Y(o), DjY(o), D*Yfoj, ce que deviennent une fonction qui^^' conque Y de j^ et ses dérivées quand, après la différentL^' tion, on y fait^ = o, etsi Ton pose y(j^) = Y, on tro»^' vera encore , en vertu de la formule de Maclaurin ,
Y=Tc„) + ■^ D,T(„) + -^ D|T(o> + etc. , . . . Y'=T('„) +-^ D,Y(i,-|-^ d; T(J) + etc...,
et par suite
T>/^ = D. - = — %+— D',Y(o) + etc...
DIX-HUITIÈME LEÇON. l6y
i Ton a égard à ces diverses valeurs , on verra que le Kîond membre de l'équation
^(r) r—^/ir) x—Xo'
enferiiie, en apparence du moins, un nombre infini e puissances négatives de^, tandis que le développe* lent du premier membre est une série ordonnée suivant îs puissances entières et positives de y. L'égalité entre es deux membres doit cependant subsister, et en le$ omparantondoit obtenir un certain nombre d'équations lus ou moins importantes. Pour établir cette comparaison vec plus de succès , faisons les deux remarques suivantes : ^ Puisque les modules de y^ et de x s'évanouissent ensmble , on pourra , en supposant le module de^o très pe-
it, concevoir que x, x*...,jr~, et par suite ^^ '
oient développés suivant les puissances ascendantes de o ; dès lors le second membre de l'équation
v[x) r — ^f[r) x—Xo'
léveloppé suivant les puissances ascendantes de jr et de o, offrira, il est vrai, des puissances positives et négaives àej^ mais seulement des puissances positives de^o, t l'on voit immédiatement que dans ce second memre le coefficient d'une puissance positive quelconque jde 0, par exemple dej^J , sera la sonmie S„ d'une série qui enfermera un nombre infini de puissances positives de j^,
vec les seules puissances négatives ^^^, — ■ . . - qui
reviennent et du développement àe(j — -j'o)""', etdes coeficîentsdex, x% x^,.,x"'. 2° En vertu des principes établis
ians la leçon précédente , la fonction — A-y sera dévclop-
l68 CALCUL DIFFÉRENTIEL*
pable en une série convergente ordonnée suivant les pui^ sances ascendantes de^ etde j'^, tant que les modules de y et de j-Q ne dépasseront pas les limites au-delà desquelles cette fonction cesse d'être continue , et le coefficient dej^ dans ce développement, déduit de la formule de Maclaurin, sera la sonmie SI d'une série qui rentermen seulement des puissances entières et positives de y. Cda posé , deux développements ordonnés suivant les puissances entières et positives d'une même variable j^o, ne pouvant être égaux qu'autant qu'il y a égalité entre les coefficients des mêmes puissances, les deux coefficients de j"; que nous avons désignés par S,„, S,l„ et qui représentent les sommes de deux séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de j^, seront égaux. D'où il résulte que dans la première de ces deux séries chacun des m-f- 1 premiers termes proportionnels à des puissances négatives de j^ devra s'évanouir. Donc, en particulier, le terme proportionnel
à — ^ s'évanouira dans la série dont la somme S^ sert de
coefficient à j*?, quel que soit d'ailleurs le nombre /i/, d'où il résulte que la somme des termes proportionnels à
— s'évanouira elle-même dans le second membre de l'équation
^(r) r — ^f{x) y — Xo'
développé suivant les puissances ascendantes Aay et de jo» Or, en vertu des équations qui donnent les diverses parties de ce développement, cette somme est
on aura donc
^o= ^Y(o)+ -— D^Y^i) + --— - DjY^ij -h etc.
«lie dernière formule, qui subsiste tant que j^o ^^ ^a dél?ée relative à x restent fonctions continues de x, est récisëment la formule donnée par Lagrange pour le déeloppement àj^y^ suivant les puissances ascendantes de '; formule qui est d'une extrême utilité dans la solution 'un grand nombre de problèmes importants. Si ion
galait à zéro, non plus le coefficient de —, mais ceux de
-7, de — ^, etc. , on obtiendrait immédiatement les for-
noies données par Lagrange pour le développemeti( de ', j"*. . ., çuivant les puissances ascendantes de x. Enfin, i Fon égalait les coefficients des puissances posi tivesj^, y " . - . i ceux qui affectent les mêmes puissances dans le second nembre de Téquation
[ui donne le développement de ^^ quand Féquation
)(j) = o est une équation entière dont les racines sont U V^ etc., on obtiendrait les valeurs des sommes
iéveloppées encore suivant les puissances ascendantes enières et positives de x.
Soit maintenant F(jr) unefonctionqui ne devienne pas Qfinie pour y = o, après avcrir multiplié par le rapport
— ^ les deux membres de Féquation
<r>ix) x—^/ix) r— ro'
on pourra , tant que la fonction F (j) ne deviendra pas ^scontinue , développer le second membre suivant les
T' T^ ■ njt ^n
170 CALCUL DIPFÉREKTIEL.
puissances ascendantes de j*; et comme dans ce dévelop" pement le coefficient de — devra disparaître , on en con-
dura facilement
F(r.) = F(.)-f-xT(o)F'(r)(.)+^D^[Y*F'(r)]w
On retrouve encore ici la formule donnée par Lagrange pour le développement de F(^o).
90. Quand, en suivant la marche que nous avons indiquée, marche tracée récemment par M. Cauchy, et seule réellement rigoureuse, on a démontré, i** la possibilité et l'existence du développement d'une fonction implicite; 2** les valeurs entre lesquelles les variables doivent se renfermer pour que le développement subsiste y on peut, par des méthodes plus ou moins élégantes, déterminer la valeur des coefficients. Supposons, par exemple, qu'étant donnée une fonction implicite j^ de x déterminée par réqualion
X = ^f{x) + » = ^T + z, on demande de développer j* ou une fonction quelconque F( j-) de y suivant les puissances ascendantes de x et de** ou de l'une de ces variables, de x par exemple. Si l'on représente par a une valeur particulière de 2:, par F(«)9 DxF(«j, DiF(fl,, etc., ce que deviennent lafonctionF(/)î et ses dérivées successives prises par rapport à x quand, après la difDérentiationi on y donne à y la valeur oorres^ pondante à or = a, on aura nécessairement, en vertu de ta formule de Maclaurin ,
F(^)=F(.^+(x— a)D,F(«)+ ^-^f^*DiF(.).4-etc.,
et cette série sera toujoiu^ convergente quand la différence X — fl sera une quantité très petite. Si x avait un^
