applications : i°. à la logarithmique j^ = a

m = lim. ~ = lim. — ;

et en posant

xzz— 00, flt=:o, 5 = lim. ^ = lim. a* = a~* = o,

la courbe proposée aura donc pour asymptote Taxe des x dont elle s'approche indéfiniment du côté des x négatifs. On prouvera de même que la logarithmique x =^a^ a pour asymptote T.axç des^ ;

2®. à l'hyperbole — "" x; = ' »

. = lin,.^ = lim.±* y^E^^±i, X a X a

* ^ lim. {y — ttx) = lim. ( ifc - V/j?"— a» qp - x j = o ; " y a donc deux asymptotes déterminées par l'équation

3**. à toute courbe dont l'équation peut se décompo- ^1* en plusieurs parties dont chacune soit une fonction 'Himogène des variables x, y.

Soient m, n, etc. , les degrés de ces fonctions homogènes, de sorte que l'équation de la courbe soit

f{xy /) = x"F(^^^+x«f/'^^H-etc. =o, 1^ nombres m^ n, etc. , étant rangés par ordre de gran-

ao4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

deur ; la valeur de ^ = - sera déterminée par Téquaùcm,

arF{s) + x^î{s)+etc. = o ou F(J)^ ^— £{s)+etc. = o,

d'où Ton tire , en faisant a: = oo , et se rappelant cp'alors

telle sera donc Téquation qui donnera les valeurs de a. Pour avoir S, faisons dans l'équation de la cojuAt j = ax + i^ ce qui donne

x"Ff et + -J-f-j:"f(<t-+- -J H-etc- = o;.

or Ton a, d'après un théorème connu,

F(- + i) = F(<.) + iF'(. + ?;).

OU , puisque F (a) = o ,

r(.+l) = tB.(.+l'),

on aura donc , en substituant ,

ijc"-'F'f«+ - J-4.x"ff« + - l+etc. =0

et si , dans cette dernière équation , on pose j: = *' et par suite t = 6, on en conclura, si F' (a) et f(tf) ^"^ des valeurs finies différentes de o ,

I". Pour n <^m — i , C ■=: o;

f(«) 2». Pour nz=m — i , • = — YÛkV

3". Pour «>iM— I, » = ±oo.

VINGT-UNIÈME LEÇON. 2o5

onsëquent , à la valeur adoptée de a correspondra , la première hypothèse , une asymptote passant par ine , ou de la forme

is la seconde , une asymptote de la forme

la troisième hypothèse, l'asymptote s'éloignant à istance infinie , disparait entièrement.

QS la première hypothèse les équations jr = ax^ = o , donnent encore pour l'équation des asympio-