V- j = o, ou j:"*F f - j = o, de sorte que quand l'é

on de la courbe est décomposable en plusieurs fonchomogènes, et que le degré m de l'une d'entre elles isse de plus d'une unité les degrés de toutes les autres, utilement toutes les asymptotes passent par l'origine, elles sont toutes représentées par l'équation que l'on nt en égalant à o la fonction homogène du degré m. temple : Si Ton suppose B ' — 4AC > o, on recona que l'hyperbole

Ax» + Bxr 4- Cj» = K

iir asymptotes les deux droites représentées par Téion

Ax» + Rrj + C^* = o.

ans la deuxième hypothèse , les asymptotes sont donpar les équations

F(*)=:0, j = rtx — =;^

Iroites passant par l'origine et représentées par les

206 CALCUL DIFFÉKENTIEL.

équations F (a) = o^jr = ax, ou par la fomuile

sont seulement parallèles aux asymptotes.

Exemple :

Dans le folium de Descartes, x^ +y^ — ^axjr =o, l'asymptote sera parallèle à la droite x^ -f-j^^ = o, ou X -^ y = o. Dans ce cas , a 1= — i ^ en partant de celte valeur on trouvera

et Tasymptote aura définitivement pour équation

Corollaire. Ce que nous venons de dire s'applique évidemment aux courbes dont Téquation a pour premier membre un polynôme entier. De plus, si dans ce cas la courbe a un centre, en le prenant pour origine des coordonnées , son équation ne devra contenir que des termes de degré pair ou des termes de degré impair. Dès-lors le degré m de la première fonction homogène surpassera de plus d'une unité le degré n de la deuxième fonction, cl les asymptotes non parallèles aux axes passeront par 1^ nouvelle origine. On arrive ainsi à ce théorème remarquable , que dans les courbes dont l'équation est alg^ biique, les asymptotes non parallèles aux axes passent généralement par le centre.

Ces conclusions supposent que les quantités F'(a), f (^, ne deviennent ni nulles ni infinies : s'il en était autreme^ la quantité ê pourrait obtenir des valeurs différentes ^ celles que nous lui avons assignées ; mais pour les dét^ ^ miner il suffit toujours de chercher la limite ou les lii tes vers lesquelles converge t pendant que x croit i: définiment.

VIlfGT-UNlÈME LEÇON. 207

113. Certains points des courbes présentent des particu- 'ités remarquables dépendantes de la position des axes Drdonnés, ou inhérentes à la nature même de la courbe, qu'il importe de mettre en évidence. Remarquons d'àrd que , Téquation d'une courbe étant f(Xjjr)=zOj si lia résout par rapport àj*, on en tirera une ou plusieurs [uations de la forme j^ = F (x), et chacune de celles-ci présentera une ligne ou portion de ligfne dont les pro- •iétés dépendront de'Ua naturede la fonction F (x). Or, •si cette fonction demeure continue entre les limites =Xo, ar=X, la ligne représentée par l'équation j^ =F(j:) Ta elle-même continue entre ces limites; mais elle îurra devenir discontinue, si la fonction F (a:) offre des Jutions de continuité, par exemple lorsque cette foncon deviendra infinie pour certaines valeurs finies de x, 1 lorsqu'elle passera tout-à-coup du réel à l'imaginaii'e , 1 lorsqu'elle changera brusquement de valeur •, le pre-

ier cas se présente dans l'hyperbole jy = - , le second ns les courbes logarithmiquesj'=-j— , j^ = xlx-^ letroi-

ïme dans la ligne déterminée par l'équation j^ = . ,

ise réduit à j' = i, si j: est positif, et kj = — i, si ar : négatif.

a**. Dans le cas où la fonction F(x) et sa dérivée F'(x) steront continues , les ordonnées maxima et minima ne pondront qu'à des valeurs de x propres à vérifier relation j'' = F(x) = o •, et une valeur de x tirée de cette nation fournira effectivement un maximum ou un minium dans le cas où la première des dérivées F" (x), (a:)... qui cessera de s'évanouir, sera positive ou négae, mais d'ordre pair. Si au contraire certaines valeurs <%: rendent la fonction discontinue , elles pourront pro-

}ÙL

duire des maxima ou des mini ma sans vérifier Téquation F'(x) = o.

3®. La valeur numérique de la fonction ^(x) représente ,comme nous Ta vons vu, la tangente trigonométricpie de Fangle que la tangente à la courbe fait avec Taxe desx : cette tangente sera donc parallèle ou perpendiculaire à l'axe des a:, suivant que Ton auraF'(x)=o ou F'(r)=»- Et si la fonction dérivée change brusquement de valeur^ il en sera de même de l'inclinaison de la tangente.

114. On désigne exclusivement sous le nom commun points singuliers, tous les points qui se trouvent situés

une courbe, de manière à offrir quelques particularités di

gnes de remarque, inhérentes à la nature de cesmêmescoar< — bes , et indépendantes de la position des axes coordonnés*. Ainsi) I® si la fonction f(JOj y) ne devient réelle que poujr unnombre limité de valeure dex, l'équation y (x,j^)=on^ représentera qu'un point ou une suite de points isolés. Par exemple, l'équation x' -f-,y * = o ne représente qu'un seuJ point qui coïncide avec l'origine. Il peut arriver que Téquation fipc^y) = o fournisse en même temps un ou plu* sieurs points isolés et une ou plusieurs branches de courbe -

i^^ Exemple :

2™* Exemple :

a^-^ — x^ -|- bx' = o.

2® Lorsque la fonction f(x^ y) passe tout-à-coup du ré^ ^ l'imaginaire, ou change brusquement de valeur, la lig^*^^ que l'on considère s'arrête tout-à-coup en certains poi"*^*^ que l'on appelle points iT arrêt.

Exemple : Les deux logarithmes y = — , j^ =

ont chacune pour point d'arrêt l'origine des coord< nées.

VINGT-UNIEME LEÇON. SOg

La ligne y = offre deux points d'arrêt situés sur

l'axe des j^ de part et d'autre de l'origine et à Tunité de distance.

3**. Lorsque la fonction f{pc^j) restant continue , la dëri-

^^y cliange brusquement de valeur , les deux branches

de la courbe viennent se réunir en un point donné , de

manière que leurs tangentes forment entre elles un cer-

^n angle.. Ce point s'appelle mu point saillant. Tel est,

par exemple, le point correspondant à x = o dans Jes

coux^Jbes représentées par les équations

/z=V/!r», / =a:arctang-, y -=

4°* Si les deux branches d'une même courbe s'arrêtent en 1X11 point donné, de manière à toucher l'une et l'autre vnie droite ou demi-axe aboutissant au point dont il s'agit, ce point sera ce qu'on appelle un point de rebroussement, Le rcbroussement sera de première espèce si le demi-axe passe entre les deux branches de la courbe, et de sc^nde^ ^^pèce si Ih demi-axe laisse les deux branches d'un même cité. •

exemple : La cycloïde offre une infinité de points de '^roussement de première espèce, tous situés sur l'axe ^®s jc , et correspondant aux abscisses

j? = o , x=z'àz 2îrR , 4? = ± a/hrR.

^^ • On appelle points multiples ceux auxquels viennent se ■"^i^icontrer deux ou plusieurs branches de courbe qui ne ^ ^ï^ètent pas toutes à ces mêmes points, ou auxquels ^tK^iitisscnt, pour s'y arrêter, au moins trois branches

i*'*^ Exemple : La courbe j^' = a:*(i — a:') est formée de deux branches qui se croisent à rorigine en touchant les droites j^ = — x , j^ = x.

2"** Exemple : La courbe j^* = x^(i — x*) est formée de deux branches tangentes toutes deux à Taxe des x. L'origine des coordonnées est pour ces deux courbes un point multiple.

6^. Lorsqu'en un certain point la courbe et la tangeut^ se traversent mutuellement, ce point est ce qu'on nomirm.c un point d'inflexion.

115. Telles ^ont les^ix espèces de points singuliers qm:s-' peuvent présenter les courbes algébriques et transcendam :> te». On peut souvent les mettre en évidence et reconnaît:^^ leur nature à l'aide des conditions analytiques suivante* ^ Nous exclurons d'abord le cas où l'un des coefficients diflfï rentiels serait infini .

^Xhéoreme i^'. Si un point M, dans le voisinage d quel la fonction u = f (x ^ yy^i ses dérivées du premi

ordre -7-, -r- restent finies et continues, est dans la courj dx dy

représentée par l'équation u =/" (x, j^) =: o , un point iso

ou un point d'arrêt , ou un point saillant , oii un poicr^^

de rebroussement de première ou de seconde espèce, 1^:^

coordonnées de ce point devront vérifier les deux ëqu^^

du du

lions -r- =o,-r- = o. • dx dy

Démons tration. Dams ces quaitrc hypothèses, onpourr^ —

par le point M faire passer un nombre indéfini d^

droites PP' telles que dans le voisinage de ce point, o"

ne puisse trouver d'un côté au moins de cette droit::^

{fiS'if 5, 6, 7)1 ou même des deux côtés (Jîg. 3),

cun point qui appartienne à la courbe dont il s'agil

En conséquence , deux points situés sur cette droite, d

part et d'autre du point M, pouvant être joints l'un

Vautre par une nouvelle courbe PQ qui ne rencontre pas la première AB dont l'équation est u=f(x^y) = o, les valeurs de h correspondantes à ces deux points seront nécessairement des quantités de même signe. Eji efl'et, pendant que Ton passe du point P au point Q , sur la courbe PQ,la fonction u =f (,r , /)que l'on suppose continue, ne pourrait pas changer de signe sans s'évanouir; or elle ne peut pas s'évanouir puisque la courbe PQ né * rencontre pas la courbe AMB dont les coordonnées vérifient seules, par hypothèse, l'équation u = J'(xjj') = o^ donc elle ne changera pas de signe. Cela posé, la fonction f '=^J^(^^y)t variable d'un pointa l'autre sur la droite PlVlQ, qui s'évanouit au point M, et conserve le même sîgtieen P et en Q de part et d'autre de ce point, sera nécessairement en ce point un maximum ou un minimum , suivant que les valeurs de u en P et en Q seront négatives <>u positives. Dans les deux cas on devra avoir

//a ;= -7- /£r -|- -=- r/ r =r o , (ir dy

ou *•

du du. dy

dx dy dx '

*^'u.ri autre côté, en appelant a la tangente deTangle que la "^'oîte arbitraire PMQ fait avec les axes, son équation, * laquelle devront satisfaire les coordonnées x^yAxx point ^ï 9 sera ;^ = ax -J- A, d'où l'on tirera

dx

^*ï ^ ura donc en substituant

da du

dx dy

J^arce que cette dernière équation devra subsister pour

CALCUL UIFFÉREKITIEL.

un nombre indéterminé de valeurs de a , il faudra nécessairement que Ton ait

du

du

Les coordonnées des points isolés , des points d^arréts , de* points saillants et des points de rebroussement devroi^^ donc satisfaire à la fois aux trois équations

du

du

De deux de ces équations on tirera les valeurs de x ^^ de j^, pour les substituer dans la troisième. Si un coug:^!^ de valeurs x=-Xq^ y^-y^ vérifie à la fois ces trois éqi»- -Citions , le point correspondant , ou qui aurait x^ et y^ p<^ "■"" coordonnées, pourra être, mais ne sera pas toujours -h-^ui point singulier.

116. Pour reconnaître la nature de ce point, remarquer ^ d^abord que Téquation différentielle première

du dy du

dy dx dx *

devenant identique quand il s'agit d'un des quatre poiv--*^

singuliers dont il est question dans le théorème p^^

cèdent, il faudra, pour obtenir la tangente de Fan^^'^

que la touchante à la courbe fait avec les axes , recou^c^^

à Téquation différentielle du second ordre, laquelle, ^

j j. . du du ,j . ,

cause des conditions -7- = o, -7- = o, se réduit a

dx dy

d^u/dyy dy*\dxj

d*u dy ^^d^u

dxdy dx dx*

Supposons encore que Ton ait ramené à la forme^ =:F(. Téquation de la branche de courbe sur laquelle se trou le point singulier dont on veut connaître la nAture.

VINCT-IIMÈME LEÇOIf. 2l3

ors , I. Le point x = Xq , j^ =J^'o ^^^ ^"^ point isolé , deux ordonnéesF(Xo4-A), V(x^y — h) sont toutes laginaires ; 2^ si à ce point la courbe n'a point de î , ce qui exige que l'on ait

\dxdxJ dx'^'d^^

1 a pas

yT/«*W<k/> W<II* %

dy^ * dxdy dx

*»si

I point X = Xp ,^ = J^o sera un point d'arrêt, 1

ilement des coordonnées F (x^H- A) , F(x„ — /i) est

ire ; 2^ si la courbe en ce point n'a qu'une tangente,

conséquent les coordonnées de ce point vérifient d^u

e point x=Xo,j'=Jo sera un point saîUant, i^si à î des abscisses x=Xo+/*, x=Xo — h répond une donnée très peu différente de j^o » ou si à l'une de lisses répondent seulement deux ordonnées sensi- : égales fi j^^,; 2° si la courbe aupôintXo, jy*o ^ réeldeux tangentes, ce qui exige que l'on ait

<f »a Y d*ud*u dxdy) dx* dy*

Infin , le point x^ , y^ ne pourra être un point de sèment qu'autant que la première condition exigée point saillant étant remplie, les deux tangentes ►int coïncideront en une seule, ce qui ne peut avoir s qu'on ait

;' d^u '^ r/»rt d*u V dxdy / dx* dy*

Théorème 2"^. Si la courbe représentée par l'équa-

'21'2 C4LCIJL DIFFÉRENTIEL.

un nombre indéterminé de valeurs de a, il faudra nécessairement que Ton ait

du du

Les coordonnées des points isolés , des points d^arrèts , des points saillants et des points de rebroussement devront donc satisfaire à la fois aux trois équations

du du

"=**' ^ = *'' -dj=''-

De deux de ces équations on tirera les valeurs de x et de j", pour les substituer dans la troisième. Si un couple de valeurs x=XQ,y=yQ vérifie à la fois ces trois équations, le point correspondant , ou qui aurait x^, et j-^ pour coordonnées, pourra être, mais ne sera pas toujours un point singulier.

116. Pour reconnaître la nature de ce point, remarquons d'abord que Féquation différentielle première

du dy du

dy dx dx *

devenant identique quand il s'agit d'un des quatre points singuliers Sont il est question dans le théorème précédent, il faudra, pour obtenir la tangente de l'angle que la touchante à la courbe fait avec les axes , recourir à l'équation différentielle du second ordre, laquelle, à

, j. . cfa du Aj . ,

cause des conditions -— = o, -;- = o, se réduit a

dx dy

d^u fdy^ d^u dy d^u

dy^\dx) dxdy dx dx^

Supposons encore que l'on ait ramené à la forme^ =F(jr) l'équation de la branche de courbe sur laquelle se trouve le point singulier dont on veut connaître la nature.

VlNGT-liM£ME LEÇON. 210

cela quel (pie soit a , ce qui entraîne les deux équations

du du

' dx ^ dy

ne , etc.

ScoUe. Si trois branches de la courbe venaient à se réunir point M , la droite PQ couperait la courbe en trois points Ht: les coordonnées pourraient être représentées par

à devrait donc avoir, cpiel que fût a, non-seulement = o, Ai< = o, mais A'm == o, d'où du =r o, d^u = o ,

du du

T — h^fl-; — r-+^* 1 — =o.

dx* dxdy ^ dy*

' ces équations ne peuvent subsister qu'autant qu'on à la fois

twL du d^u d*u d*u

Cx ' dy , ^ dx* dxdy ' dy*

1. général , on démontrera de la môme manière que la union de n branches de courbe au point multiple M , traîne les conditions

du du

dx ' dy

dx* * dxdy ' dy*

rf«-'a fl?"~«a rf"**»a

/ilT"-' dx''''*dy dy

^^pielles devront satisfaire les coordi)nnées x^j du|>oini *Xtiple m.

2l6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.