Théorème 3"^*^. Les coordonnées d'un point d'in

flexion devront toujours vérifier Téquationy = -r-^ = o.

Démonstration. Supposons que Fëqu&tion de la comte ait été mise sous la formej^= F(ar), la différence Centre les ordonnées

j = F(4; + A) = F(x) + AF'(x) + -*1- F'^f^X..

de la courbe et de la tangente qui répondent à Tabscisse x + ^9 est donnée par Téquation

Quand h est très petit , le premier terme l'emporte sur b somme de tous les autres, et par conséquent, çntrç les abscisses or çt x + ^9 Fordonnée de la courbe sera constamment supérieure ou constamment inférieure à cçUe de b tangente, suivant que la dérivée seconde ¥''{pc) sera, dans ce même intçrvaUe, constamment positive ou. constamment néga,tivei, De plus , la tangente et la courbe se traverseront au point (x^ y) qui , dans ce cas, deviendra ub point d'inflexion, lorsque dans le passage de x — hkx-^hy F" (x) changera de signe. Or si la fonction j^ = F (x) reste continue , ainsi que ses dérivées successives , dans le voi-* sinage du point (x, y) , F "(x) ne pourra changer de signe sans s'évanouir 5 les coordonnées d'un point d'inflexion vérifieront donc 5 dans cette hypothèse, l'équation F ^(x)=o-. Pour que la différence â change réellement de signe , il faudra en outre évidemment que des dérivées successive» f^(x)y F"(x), etc., celle qui la première cessera de s^éya^' nouir soit une dérivée d'ordre impair. Ainsi pour trouver

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les pointe d'inflexion , on cherchera les racines communes aux deux ëqaationsy=F(x), F''(x)±=o; ouy*(jc,j)=o, y' = o.TJn système de valeurs x=a:o, j"=yQ^ tiré de ces équations, répondra réellement à un semblable point, si la première des dérivées qui ne devient pas nulle pour "^=^o>T=J^o est une dérivée d'ordre impair.