Dans cette discussion nous avons toujours supposé

que j-' = ^ ne devenait pas infini ou que la tangente

n'était pas perpendiculaire à Taxe des x. Si le cas se présentait , il serait facile de déterminer la nature du point dont tes coordonnées x = Xq, y =yo satisferaient à l'équiN-

dy tion-^ =00. En effet, dans cette hypothèse, les deux

quantités F {x^ + h) et F (x^ — h) peuvent être toutes deux réelles, ou Tune réelle et l'autre imaginaire.

I. ${ tout^ deux sont réelles et toutes deux plus grandes ou plus petites que F(j:o), le point en question sera im point de rebroussement de première espèce *, si l'une est-plus grande et l'autre plus petite que F (x^ , le point &era un point d'inflexion ;

H. Si l'une de ces quantités, par exemple F(Xo — A),* est réelle et l'autre imaginaire , alors, i° siF (Xq — h) a tu&e seule valeur, le point sera un point d'arrêt^ 7? si F (Xq — A) a deux valeurs, to-Ues deux plus grandes ou toutes deux plus petites que F {x^ , le point sera un point de rebroussement de seconde espèce \ 3^ si l'une des valeur^ de F(Xo — h) est plus grande et l'autre plus petite qtieF(jro)9 le point dont il s'agit sera une simple limite de la courbe;

in. Enfin , si l'une des quantités F(a:o-|-/i) , F(Xo — h) OQ toutes deux avaient trois ou un plus grand nombre de valeiira% le point en question serait en général A la fois et un point multiple et un point d*inflc\ion.

121 8 CALCUL D1FFÉRE1I7IEL.

•En résumé, on obtiendra les coordonnées des singuliers des courbes, en cherchant dans queb coefficients difTérentiels deviennent nuls , ou infinis On assignera l'espèce du point, i" en examinant ce il y passe de branches de la courbe , et si elle» s'ét ou non , en-deçà et au-delà ; 2^ en déterminant 1 tion de la tangente ou des tangentes corresponda ce point.

VINGT-DEUXIEME LËÇOA . 219

TINGT-DEUXIEME LEÇON.

D de déterminer quand une courbe tourne »a concavité ou sa oonité vers les axes des coordonnées. — Analyse d''une courbe on discuside son équation. — Différentielle de Tare d'une courbe.

!)• Il est quelquefois nécessaire de reconnaître si une- Kî tourne sa convexité ou sa concavité vers les axes oordonnées, or l'on peut donner à ce sujet des rèénérales et d'une application facile. ' • îst certain d'abord que si la fonction j^ = F(^)? et rivéej-' = F'(j:) restent l'une et* l'autre continues toutes les valeurs de x comprises ei^tre les abscisses îux points donnés, la corde qui joindra ces deux 5 sera parallèle à l'une des tangentes menées par les s intermédiaires de la courbe, effet , si l'on représente par j: et x+Ao: les abscisses ÎUX points dont il s'agit^ on aura

^^F(x + Ax)-F(x)^ •

- est la tangente de l'angle que fait avec l'axe des x

•de qui unit les deux points (x,j), (x-|-Aa:,j^-|-4y)î