OAo:) est la tangente de l'angle que fait avec Je
eaxe la touchante à la courbe , menée par le point in-
édiairequi aurait pour abscisse x + dAo: \ la sécante
21 8 CALCUL DIFFÉREHjTIEL.
•En résumé, on obtiendra les coordonnées des po singuliers des courbes^ en cherchant dans quels cas coefficients différentiels deviennent nuls , ou infinis , o On assignera Tespèce du point, i^ en examinant coml il y passe de branches de la courbe , et si elles s^étenc ou non , en-deçà et au-delà -, a^ en déterminant la p tion de la tangente ou des tangentes correspondante ce point.
VIHGT-DEUXIEME LEÇOA . 219
TINGT-DEUXIEME LEÇON.
Mdyen de déterminer quand une courbe tourne sa concavité ou sa oon- ▼exUé vers les axes des coordonnées. — Analyse d^une courbe ou discussion de son équation. — Différentielle de Tare d^une courbe.
120. n est c[uelquefois nécessaire de reconnaître si unecourbe tourne sa convexité ou sa concavité vers les axes ûes coordonnées, or Ton peut donner à ce sujet des règles générales et d'une application facile. • •
Il est certain d'abord que si la fonction j^ = F(a:), et sa dérivée j^' = F'(x) restent l'une et l'autre continues pour toutes les valeurs de x comprises e^^tre les abscisses de deux points donnés, la corde qui joindra ces deux points sfera parallèle à l'une des tangentes menées par les points intermédiaires de la courbe.
En eflFet , si l'on représente para: et x-+-Aj: les absc^es des deux points dont il s'agit , on aura
^^F(x + Ax)-F(x)^^^ ■
^^ -^ est la tangente de l'angle que fait avec l'axe des x
^•«orde qui unit les deux points {oc^j)^{x+ Aj:, y + ù^y) ; ^'(^ + ÔAj:) est la tangente de l'angre que fait a¥€c-le ^ênaeaxe la touchante à la courbe, menée par le poiutin- ^^^•xnédiaire qui aurait pour abscisse x + ôAj: \ la sécante
2a2 CALCUL DlFFÉRENTIfiL.
jusqu'à j: = 00, une seule des valeurs de j* est réelk,ki deux autres sont imaginaires ] enfin, à chaque valeur né gative de x répond une seidë valeur positive de j, ({o croît indéfiniment avec a: : 3^ la courbe a deux branch infinies, situées Tune au-dessous, Tautre au-dessus d Taxe des x : 4^ Isl tangente en un point quelconque fait avec Taxe des x , un angle t déterminé par Téquation
Ungr =-^ — ;
y^ ^^ ax
la tangente est horizontale à Torigine et au point qui
pour coordonnées x = a I/4 ^X = ^ V^â : cette demie ordonnée est un maximum^ la tangente est verticale il
rîgine et au point x = a V^^j = a \^i : 5** la courbe comme nous l'avons déjà prouvé, une asymptote dontl quation estj^= — x — a : o** l'origine est un pointdo ble ; les deux tangentes en ce point sont l'une vertical l'autre horizontale : 9^ si l'on prenait pour axes des co< données une parallèle et une pei'pcndiculaire à rasyn tote menée par l'origine, l'équation de la courbe de\T€ drait
X*{3a -h 3x l/T ) = 3ax* — x'i/'i ;
à chaque \ aleur de x répondraient deux valeurs de égales et de signe contraire; l'axe des x serait un a principal.
2™*^ Exemple : Discuter la courbe
y^ — g6fl *^* + I ooa *J7 * — x^ = o.
Cette courbe (Jig* 12), 1° rencontre l'axe" des x à Toi gine et aux points x = ±ia kio, l'axe des 7 à rorigii et aux points j^ =zh4û k6j .2^ En résolvant, par ra
VIWGT-DEUXIEME LEÇON. 223
màj", on trouve
3®. Depuis j: = o jusqu'à x = 6a, à chaque valeur de répondent quatre valeurs de y égales deux à deux , et 5 signes contraires ; depuis x = 6a juscpi'à x = 8a . ordonnée est imaginaire^ la courbe n'a qu'un point ans cet intervalle; depuis x = 8a jusqu'à x = loa, ordonnée reprend quatre valeurs réelles ; enfin , depuis ' = loa jusqu'à a: = oo, deux seulement des valeurs de sont réelles; la courbe s'étend à Tinfini au-dessus et iUrdessous de Taxe des x ; elle est symétrique par rapport lUX axes qui sont des axes principaux; la portion à gauche est entièrement semblable à la portion située à droite : 4®. La touchante, en un point quelconque, fait avec Taxe des x un angle dont la tangente tri gonomé trique est
dy j:^ — 5o«*x
Au point X = o, j^ = ± ^a\/^ , la tangente est horizontale; elle est verticale aux huit points qui ont pour coordonnées
*=H-6fl, 7=z=±:4aV/3; x=—&ay XT=z±^a\/^, «=-h8a, 7 = ±4aï/3; x=— 8a, x=àl^a\/Z:
^°- La courbe a deux asymptotes passant par l'origine, T^i est son centre, et dont les équations sont y z= x ^ y = — X. De sorte que leui' position est indépendante de *â constante ou du paramètre a : 6^ l'origine est un point double ; à ce point la courbe est touchée par deux droites faisant avec l'axe des x des angles dont les tangentes 'J^gonomé triques sont respectivement égales à + l/{^
^' — ^i\ h la courbe a, de plus, quatre points d'inflexion P' sont clairement indiqués par la marche de ses bran-
2^4 CALCUL DIFFÉRENTIBL.
ches ^ mais il serait difficile de déterminer leurs coordoD' nées, à cause du degré élevé de Téquation dont elloioD& racines.
3"*« Exemple : Discuter TéquatioD
déterminer sa nature et ses points singuliers suivant cp m sera un nombre pair a/i, ou un nombre impair a/i-f*^ ou une fraction de dénominateur pair et de numératO
impair , ou une fraction de numérateur pair
de dénominateur impair — — - , ou enfim une fractl*
- dont le numérateur et le dénominateur soient h.
fois impairs.
4"»« Exemple : Discuter la courbe
^^ — x^ -4- ^bx^y = o.
Cette courbe {fig» i3) est formée de deux parties sita^ Tune au-dessus , l'autre au--dessous de Taxe des x^ et 9 métriques par rapport à Taxe des j^ ; la première brand touclie à Toriginc Taxe des x , la seconde a pour ta: gentc Taxe des^; Torigine est pour la courbe un poi triple, et pour la branche inférieure un point de r broussement; Tune et l'autre partie ont pour asjmptot les deux droites
qui rencontrent Taxe des j^ au même point et font, ^v* Taxe des x, im angle de 45*^.
5"« Exemple : Discuter la courbe
^* + j?^ — O-ay^ — ^bx*y = o.
L'origine est {fig» 14)9 pour cette courbe, un point tripk
Vl^GT-DEUMkME LEÇOA. 11l5
6"** Exemple. Discuter la courbe
i-'origîne eilepoint j^=o, x=a sont deux points doubles. i24. L'arc 5 d'une courbe y (a:,j^) = o, ouj^=F( a:), oompté à partir d'un point fixe quelconque A jusqu'au point M , est évidenunent une ipnction de l'abscisse x de ce point. Cette fonction , comme nous le verrons par la suite, est très dilScile à déterminer : on n'y parvient que dans un très petit nombre de cas; mais il n'en est pas ainsi de sa différentielle, que Ton obtient très facilement et dans tous les cas possibles. En eilet , considérons sur la coixrbe (Jig^ 16) un deuxième point M' dont l'abscisse soit -3^-4— Ax, MM!=ùs sera l'accroissement de l'arc AM=j; ^^ pourra d'ailleurs prendre Aj: assez petit pour que dans cet intervaUe la fonction dérivée j^' = F' (or) ne changeant pas de signe, l'arc MM' soit convexe.
delà posé, menons la tangente au point M, elle fera ^vec l'axe des x un angle NMQ = r dont la tangente ^■^igonométrique, le ^inus et le cosinus sont
*^rx>longeons enfin cette tangente jusqu'à ce qu'elle rencontre en N l'ordonnée M'P', prolongée s'il est néces- *^î^e. L'arc convexe MmM' est plus grand que la corde ^tlVl' et plus petit que la ligne enveloppante MNM'; on a
^ox^c
M/wM'>MM', M/wM'<MN+NM^
^ ^^^' = NQ — M'Q =MQ tangNMQ — M'Q = y'^x — ^r;
aura donc, en substituant,
et par suite
A la limite, les seconds membres de ces deux inégalités deviennent égaux entre eux et égaux à
on aura donc aussi
Telle est donc la différentielle de Tare d'une courbe quel'* conque, considéré comme fonction de x. Mais ce que notM^ venons de trouver n'est que la valeur absolue de ds ou A*
-1-; en effet, V^i+y* est une quantité essenûellctoet» ^
positive, tandis que -7- sera positif ou négatif suivant qi»«
l'arc croîtra ou décroîtra quand l'abscisse augmenter». 9 e'est-à-dire suivant que les arcs seront comptés dans 1^ sens des x positifs ou dans le sens des x négatifs ; on deyi"^ donc écrire généralement ds
^=±V^i+r'% *=± V/"dx^ + dx\
et l'on prendra le signe -+- , si l'arc croît avec l'abscisse 9 le signe — dans le cas contraire.
Corollaire i*"". D'après ce que nous yenoiis de voir,
im.
. = I ; il est donc vrai de dire crue lors^
qu'un arc de courbe devient infiniment petit, le rapp^^^
de cet ait Aj à sa corde {/'Ax* + Aj* devient égal à V^*" ni té.
125. Corollaire a°*. Désignons par a, 6. tes angles f^^ mes avec les demi -axes des coordonnées positives paf
j tangente prolongée dans le sens de la corde MM', on aura co8« = lim. — — , cosÇ=lim.
ou
C08 flt = — , ces b =:
si dans ces équations on substitue au radical K ctr" +^^* sa Taleur ±i //y , on trouvera
i- ^ >p t dy
OUI devra prendre le signe + ou le signe — suivant que la tangente aura été prolongée dans le même sens que Tarc^, ou en sens contraire. En effet, si la tangente est prolongée dans le sens de l'arc, cosa sera positif si Tare croit et décroît avec Tabscisse, négatif dans le cas con-
dx ^re. Mais — , conmie nous l'avons dit, est au^i positif
d^Qs le prc!tnier cas , négatif dans le second ; on a donc toujours dans cette hypothèse
dx '^ 0 dy
cos« = -j-, et par smte cosC = -^.
Au contraire, si la tangente est prolongée en sens contraire de l'arc, cos a sera négatif si l'arc croit et décroit
avec l'abscisse , positif dans le cas contraire \ mais -— est
positif dans le premier cas, négatif dans le second; on devra donc prendre
dx . A dy
cos tf = — — ;- , et par smte cos Q = — — f-, ds ^ ds
laS CALCUL DIFFÉRENTIEL.
TINGT-TROISIEME LEÇON
De la courbure , du rayon et du centre de courbure d*ane courbe pUt^^
