La courbure — et le rayon de courbure p peuvent

être présentés sous diverses formes qu'il est bon de connaître.

1°. En prenant x pour variable indépendante, on aura

tangr = ± jr', r = ± arc tang /',

dr =

* . ir- ■^^

fis

ztdx\/~\

et par suite

, l'équation

dr

dr ds

donnera

d'où

A l'inspection de cette dernière formule on reconnaît immédiatement, i*' que la courbure devient nulle et le rayon de courbure infini toutes les fois quej-" se réduit à o : alors le cercle osculateur se transforme en une droite et se confond avec la tangente. C'est ce quia ^ieu, par exemple, pour loiLs les points d'inflexion dans le voisinage desquels

les fonctions Jf' ely" Testent continues par rapport à x. 2*^ Si pour un certain point la valeur de j^" devenait infinie, sans que la tangente' fût perpendiculaire à Taxe desx, la courbure serait cUe-méme infinie et le rayon de courbure s'évanouirait; 3^ si les quantités y', j^'' devenaient

toutes deux infinies, la fraction ~-^ se présenterait

sous une forme indéterminée ; mais on pourrait fixer sa véritable valeur à l'aide des principes que nous avons établis; 4** si l'une des fonctions y', y" devient discontinae et change brusquement de valeur , il en sera de même i rayon de courbure ; cette circonstance peut se présenter* par exemple, aux points saillants d'une courbe. Exemples :

y z=zxl\ + arc tang jr = x' ( I -+- arc tang- ), pour ± = o.

Si l'on se rappelle que la normale N est égale a

COSr

on trouvera

L 3 jy3

î y" NJ