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on détermine facilement , à l'aide de cette dernière éqti* tion , les rayons de courbure de plusieurs courbes. 1^' Exempte:

Ceit^ courbe sera une ellipse , une parabole ou une

VINGT-TROISIÈME LEÇOJV. 233

oie, suivant que k*quantité q sera négative, nulle, ou tîve.

ndifférentiant cette équation, on trouve

lationp = ±1 -=—- donnera donc û =: — . Si l'on re-

pour N sa valeur

N = v/r»+rV = [/>* + (!+ y)r*]~'

ira ^

ins cette formule on fait x = o , il vient p = ^. nsi , dans Tellipse , la parabole et Thyperbole , le rayon >urbure correspondant â Textrémité du grand axe, Textrémité de Taxe réel , est équivalent â la quantité ^ 'on nomme le paramètre.

la courbe proposée se réduit à la parabole^* =a^jr, ^ = o,et

"• Exemple : L'ellipse ou ITiyperbole — ±'^=±i . trouve

\ Il „__

/ï>' '- — /A.\.' la)

puis, en remettant pour Nsa valeuB^

ab ab

Si Ton considère en particulier l'ellipse — + t7 = * » ^ trouve , pour le i ayon de courbure à rextrémité de Taxe a. |0 = —, et pour le rayon de courbure à rextrémité '

l'axe b^ p =-r.

3™^ Exemple : La cycloïde. Nous avons trouvé

d'où

et par suite ,

Ainsi , dans la cycloïde , le rayon de courbui'e est doul de la normale ; par conséquent ce rayon de courbure s vanouit avec la normale, et la courbure est infinie dans U les points où la cycloïde rencontre la base, c'est-è-d dans tous les points de rebroussement, tandis c[u'à chac des sonmiets le rayon de courbure devient égal au dou du diamètre du cercle générateur.

150. Si l'on cesse de prendre l'abscisse x pour varia indépendante, on trouvera

//r = d£ . , . / , . ds=±:\/dx*+dx\

Téquation - = ± -r- donnera

I ^^^.dxd^y^^dyd^x . dxd^y-^dyd^x

^ {dx-^dy-y

ins le cas particulier où Ton prendra Tare s pour varia- ? indépendante, Téquation dx^ + dy* = ds* donnera

dx d*x -I- dyd*y = 6 ,

*on en conclura

- d^x^dxd^y^dyd^x __ \/(d*xy+{d^yy

"" dy^ dx* + dy* "" \/dx* + dy\

aura donc dans ce cas

p"" ds^ "~L\^v v^vJ*

tSl. Lorsqu'on veut appliquer ces formules à la déter- Cïation du rayon de courbure d'une cdurbe, il faut Kimencer par exprimer les différentielles dx, d*x, dy, ^j en fonction des coordonnées et de la différentielle ^ variable indépendante. On se trouvera dispensé, dans àque cas particulier, de faire un calcul de cette espèce , 'on emploie la formule générale que nous allons établir.

Soit M = y* (a:,^)=o, l'équation de la courbe donnée : aura , en différentiant deux fois ,

du . du

lu .- . du ,^ fd^u , . id^u , , . d'^u , N

te dy ^ \dx^ dxdy dy* ^ /'

CALCUL DlfFÉRISiMTIEL.

et par conséquent

dy dx dyd^x — dxd ■/ ^. [dx * + efy *)

— — — rf»JC-f

dx dy dx dy

{dx^'\'dy^y /du ^ . di^ '^

LUJ +U; J

fê)-Kl)-]

otV^'

iir4r

<««lr4

En substituant dans la valeur dé p et remplaçant les dl férentielles dx^ dy^ par les quantités proportionnelle^

-r » "— -7-9 on trouvera définitivement dy dx

fdu\' ^*^,^ ^«*^« ^*««- ^,fdu\*d*u I j^\f^/ ^* dxdydxdy \dxj dy*

Si les variables x, j" étaient séparées dans Téquation u = o, c'est-à-rdire si la fonction u se composait de deux parties, dont Tune renfermât la seule variable x, et Tautre la seule variable j^, on aurait

d*u dxdy

fdu\*dUi ,(du yd*u

I ^\^)dx*'^\dx)dy* -=3; j—

m -mi

Si Ton applique cette formule aux courbes citées plus haut ,

VINGT-TROISIEME LEÇON. a35

et l'équation - =± -7- donnera

I ^ ^. dxd^y ^^dyd^x ^, dxd^y^^dyd^x

Dans le cas particulier où Ton prendra Tare 5 pour variable indépendante, Téquation dx^ + dy* = ds* donnera

dx d*x '+' dyd^y = 6 , et Ton en conclura

d^X ^ d^x^jixd^y — dyd^x i/'(</'x) '+(</'/)'

dx ~ ~dj^ dx^ + dy^ "" \/dx^^dy^ '

on aura donc dans ce cas

i51. Lorsqu'on veut appliquer ces formules à la détermination du rayon de courbure d'une c()urbe, il faut commencer par exprimer les différentielles dx^ d^x, djr, d*y, en fonction des coordonnées et de la différentielle delà variable indépendante. On se trouvera dispensé, dans chaque cas particulier, de faire un calcul de cette espèce , 51 Ton emploie la formule générale que nous allons établir.

Soit u = f (x^y)=Oj Téquation de la courbe donnée : on aura , en différentiant deux fois ,

du . du

^u . du ^. /'d*u , 2rf»tt , , d^u . \

€i*x +—d*y = — l ^-^dx* + '-—-dxdy'^-r^dy* ^ dy ' \dx^ dxdy -^^dy* ^ i

aSS CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Cela posé , i" la droite M.M' qui joindra les eTtrémiiését ces longueurs, sera sensiblement perpendiculaire â II tangente, ou sensiblement normale à la courbe. En effet, en appelant a, , ë| les angles que cette droite fait arec les axes des x et àesjr\ a, ê les angles de la tangente avec ces mêmes axes , on a

COStf, cos^,

OU , à très peu près ,

cos «I cos Cx

ds^ ds*

on a d'ailleurs rigoureusement

cos« cosC dx "^ dy '

De plus, en dîfférentiant Téquatibn dx* + dy*^=:ds^^ cl ' regardant Tare s comme variable indépendante , on aiU^

dxd^x -{' dyd^y "znOy

et en substituant pçur dx^ dy^ cf'x, d^y^ les quantité proportionnelles ^

cos«, cos ^, cos«, , cosC,, cosct cos «1 + cosC cosCj = o :

or ceinte dernière équation exprime que la droite M, est perpendiculaire à la tangente ; donc, etc. 2°. Si nous appelons à la longueur , M,M' , nous

et par suite

7 = lim.

VIHGT-TBOISlfeME LEÇON. T.'ig

n prenant, comme nous Favons supposé, Tare 5

iriable indépendante , et désignant par p le rayon

rbure, on a

[m<mf

a donc

P = Km.

iséquence, pour obtenir le rayon de courbure d'une' ï en un point donné, il suffit de porter sur cette i et sur sa tangente prolongée dans le même sens , igueurs égales et infiniment petites , et de diviser •é de Tune d'elles par le double de la distance comentre leui^ extrémités; la limite du quotient est la ' exacte du rayon de courbure.

vllaire. En appelant X, |x les angles que fait avec »s la normale à la courbe, au point x^y, et remarque ces angles sont, comme on vient de le prouver, lement égaux à «i , 61 , ou sont les limites des deux «1 , 61, on trouvera rigoureusement, en prenant ' pour variable indépendante ,