COS

d^y ds*

K Le centre de courbure correspondant à un point ) , sera placé par rapport à ce point du côté des y fs, ou du côté desy négatife, suivant que la valeur

pport — , T étant l'angle de la tangente avec le demi-

aSS CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Cela posé , i" la droite M,M' qui joindra les extrëmitësde ces longueurs, sera sensiblement perpendiculaire k la tangente, ou sensiblement normale à la courbe. En effet, en appelant a, , 6. les angles que cette droite fait avec les axes des x et àesjr\ a, ê les angles de la tangente avec ces mêmes axes, on a

cos «I cos^i

OU, k trè? peu près,

cos«i cos Ci

ds* ds^

on a d'ailleurs rigoureusement

. cos« cosC dx djr

De plus, en difierentiant réquatfon dx* + ffy* = fls*j et regardant Tare s comme variable indépendante , on aura

dxd*x -{' djrd^jr :=:o,

et en substituant pçur dx^ djr, cf'x, dy^ les quantités proportionnelles ^

cos«, cos C, cos«,, cosC,, cosct cos »i + cosC cosCj = o :

or cette dernière équation exprime que la droite M, M' est perpendiculaire à la tangente ; donc, etc.

2°. Si nous appelons â la longueur M,M', nous aurons

et par suite

7 = lira.

VINGTS^UATRIÈME LEÇOiT. . a4l

détermination analytique du centre de courbure. — Théorie des déreloppées

et des développantes.

154. Soit p le rayon de courbure d'une courbe plane correspondant au point (x^y)^ et |, yj les coordonnées du centre de courbure : ce centre n'étant autre chose que 'extrémité du rayon p porté sur la normale à partir du point (x, y), et du côté vers lequel la courbe tourne sa concavité, ses cooïdonnées |, m vérifieront l'équation de A normale ; on aura donc *

{i — x)dx'\-{n—y)dy = o, ^ de plus

^ tire de ces équations

*Cy dx V^dx» + dy^ ^'

'^* ayant égard à l'équation - = ± — , et se rappelant

^e le centre de courbure sera situé par rapport au point *^ >j), du côté des y positifs ou négatifs, ou que la dif-

^ï*€nce j' — m sera négative ou positive, suivant ^e —

^^a une quantité positive ou négative , et que par consé-

t^cnt y — >î et — sont des quantités de signes contraires,

j^LCUL DIFFÉREHTIEL.

on trouvera

Ces deux équations serviront dans tous les cas à déterminer les coordonnées ^ , y? du centre de courbure. Si Ton prend x pour variable indépendante , on aura

dr dr dx

i+^y^*' dy dxdy

Si Ton cesse de prendre x pour variable indépendant Téquation tang t = j'' donnera

rfr *j^y dxd^jT'^^dfd^x

dr =

I +tang*r

dxd^y — dyd*x dxd^y-^dyd^x dx* dx* H"^*

et par conséquent

. . £ir* + rfr* . dx^-^dy^ l^x:zz^^dy^, — , , , 9 — y=dx

dxd*y ^ dyd*x

dxd*y — dyd\

Multipliant la première de ces équations par d^tt et Bseconde par d}y^ et ajoutant, on trouverait

^ ({ — x)d*x H- (9 —7) d*y = dlr» + rf/» = ds\

ou •

.^ . rf*jr , , .d*y ^

lif'

rff^

Il serait facile d'établir directement cette équation, qu*

eut mettre sous la forme

ds* P ^ ds*

P-rr= '•*

t eflet, -^ et — ^ - , amsi que p —, p —, expn-

^Yit également , lorsqu'on prend Tare s pour variable dépendante, les cosinus des angles X, fz que la normale olongée vers le centre de courbure fait avec les axes ; sorte que Féquation précédente se réduit à Téquation ^Kitique

cos *A -f- cos '^ =: I .

LXis le cas particulier où Ton prend Tare s pour variable 1 ^pendante, les équations

^ d*x dW

S— x=p co»A=p» — , n — x = p cos^ =p» ^,

^-inent , en mettant pour p * sa vajeur (n® 130) ,

KdFj-^Ki^)

"~~*-(rf'x)*+{rf«^)« *' ' ■^-(rf-*)'H-(d»j.).''*-^-

'ISS. On peut enfin parvenir à des équfttjons qui ex- *îment immédiatement les coordonnées du centre dé ►'^rbure au moyen des coordonnées x, y et des dérivées i^rtielles de Féquation de la courbe, ii = o. En effet, les fiiations

du du,

\^—x)dX'\-{n—y)dy=o, -^x+— <r=o,

*^nnent

du """ du du . n du

€lx dy dx dy

!l44 iCALCUL DIFFÉRENTIEL;

mais nous avons trouvé

du , ^ du .^ ( d^u , ,

— d-x^—d-y=—[-—dx-

a -^-^-dxdy-^r-j-^ày^],

dx dy \dx* dxdy dy

({— :c)rf>.tr 4- (i,.— y)d^y^dx^ + rfj>;

on aura donc aussi

t— ^ n -—y du dw

dx dy

dx^ + dy^

- ûte * + 2 , , dxdy A- -r — tfr*

dlr

puis, eçL substituant aux différentielles dx, dy les quantités ^ , — ^ qui leur sont respectivement proportionnelles, on trouvera

fdu\*d^ dudu d^u f du\^ d*»

dxdydxdy \dxj dy

[<mm

lorsque dans Téquation u=o les variables i:, y sont sép^'

d*u réesj on a ^y = o , et la formule précédente se réduit: »

dxdy

du\* dx

'dx

du d?

/dnX^d^u^ /du\^d*u [d^J d^'^\di) IP

duy

dxj \

Au moyen de Tune ou de Tautre de ces deux foniiule^=^)

VINGT-QUATRIÈME LEÇQM. H/j^i

^n déterminera immédiatement les cooitlonnées ^ , y} du centre de courbure correspondant au point (x, jr) çt le

ï^^yon de courbure p.