Nous avons trouvé que les coordonnées et le rayon

^e courbure vérifiaient toujours les trois équations

+ (i — x)^*r — dx* — df* = G,

suffisent pour déterminer ces trois inconnues en fonc- On de X, y. Il est essentiel de remarquer que Ton re- "^Ouve la deuxième et la troisième équation lorsqu^on ^fiérentie la première et la deuxième , comme si les deux ^connues ^ , y? , étaient des quantités constantes.

Lorsque le point (pc^jr) vient à se déplacer sur la courbe l^onnée, le centre de courbure se déplace en même temps, ^i le premier point se meut d'une manière continue sur la 'Ourbe dont il s'agit, le deuxième décrira une nouveUe tourbe. Or pour obtenir l'équation de cette dernière, il uffira évidemment d'éliminer x^y entre l'équation u = o il deux des équations qui déterminent |, y?, par exemple,

I— <r>ir4-(^f— /)rfr=o, ({ — x)d*x+(9>^jr)d*x — dx* — fl[r*=0,

du du

dx djr

Li^équation résultant de l'élimination ne renfermera plus ]ue les deux variables ^ , y? et représentera précisément la ligne qui sera le lieu géométrique de tous les centres ie courbure de la courbe donnée. En supposant que x ^y ^ dxj dy^ d^Xy d^y^ etc. , tiennent la place de leurs valeurs en ^ , y? dans les équations (a) , ces équations appartiennent évidemment à la ligne lieu de tous les centres

^46 CALCUL DIFFÉEENTIEL.

de courbure; les difTérenti elles de ces équations lui appartieedront donc également. Or, si Ton diiTérentie les deux premières, et si Ton supprime les termes qui s'évanoois^ sent en vertu de la seconde et de la troisième, on trouvera

celte dernière équation exprime que les tangentes menées à la courbe donnée par le point (j^ , J^) , et à la nouvelle courbe par le point (| , yj) , sont perpendiculaires entre elles , ou que la normale à la courbe donnée est parallèle à la tangente à la seconde courbe. Par conséquent, le rayon de courbure qui coïncide avec la normale , et vient aboutir au point (J, y?), sera en ce dernier point tangent à la seconde courbe.

De plus , si l'on nomme a l'arc de cette i^uvelle courbe compris entre un point fixe et le point mobile | , tj , on aura

f et Ton tirera des équations

({ — x)di'\-{n — x) ^1 = pdP^

On trouvera par suite

dp=:dzd<r^ d(:^:^(r) =o,

OU en faisant, pour plus de commodité, p-Zf<j=z(f(x)^ La dérivée de la fonction (f(x) étant toujours nulle ^^

VIMGT-QUATRIÈME LEÇOA. ^47

cette fonction sera constante et son accroissement toujours égal à zéro, puisque l^on a

on a donc enfin Ap qp Aa = o, Ap == ±: Aa. ^

Cette équation prouve que l'arc Aa renfermé entre deux points de la nouvelle courbe est égal , au signe près , à la difierence d^ rayons de courbure qui aboutissent à ces deux points. Ajoutons que le signe du deuxième membre « de Téquation Ap = ± Aa sera le signe du deuxième mem^ bre des équations

di L.i— ^ ^f ui — J"

fia- p (la- p

Les premiers membres —, —sont les cosinus des angles

que fait avec les axes la tangente à la nouvelle courbe prolongée dans le sens de Tare a^ les seponds membres

, — sont les cosinus des anfi^les que fait avec les

mêmes axes le rayon de courbure mené du point (x , ^) au "* point ^ , y? ; on en conclura facilement que Tare a et Iç rayon p croîtront simultanément ou que Ton aura Ap==AGy si la tangente à la nouvelle courbe prolongée dans le sens de Tare a , coïncide non pas avec le rayon p^ mais avec le prolongement de ce rayon au-delà du point | , >3 , tandis que dans Thypothèse contraire le rayon p venant à croître, Tare a diminuera, et Ton aura Ap = — Aa.

137. Cela posé, concevons (fig» ai) qu'un fil inextensible, fixé par une de ses extrépiités fz, et d'une longueur égale à celle du rayon de courbure p, soit d'abord appliqué sur ce rayon -, puis que ce même fil restant toujours tendu vienne à se mouvoir de telle sorte qu'une partie s'enroulcî sur l'arc ± Aa compris entre le point [x on (|, m) et le

point jx' OU ($ + AÇ , yj + A»?). L'autre gartie qui restera droite élitouchera la nouvelle courbe CC au pointai', aura é^demment la loijgueur du rayon de courbure k ce point <, piukque dans le cas dont il s'agit

et par conséquent celle des extrémités du fil qui coïnci— ' ^it d'abord avec le point Mou(a: , y) coïncidera actuelle— ment avec le point M' ou (x-^^Axyj + A^ situé sur la. courbe AA'^ comme notre raisonnement subsiste, quelli? que soit la longueur de l'arc Aa, nous devons en conclura que le^'fil inextensible, en même temps qu'il s'enroula sur La nouvelle courbe, décrit, par son extrémité mobile ^ la courbe donnée.

• ^ La même courbe se trouvera encore décrite , mais en iens contraire, si , après s'être enroulé sur l'arc ± Aa, le

^ fil se oleut d^manière à revenir à sa position primitive. Dans ce mouvegient, la portion du fil qui s^était appHqùée 8i# l'are zb Aa se développera de nouveau en ligne droite. On appelle déi^eloppée d'une courbe donnée AA',

' la courbe CC dont les arcs se développent en ligne droite

, . sur le rayon de courbure de la première, et qui, comme

nous venons de l'expliquer, peut servir au tracé de la

courbe donnée AA'. Au contraire , la première courbe dé-

.. cri te par l'extrémité mobile du fil enroulé sur la seconde est la* dév^eloppante de celle-ci .

-^ 138. i'* Application. Supposons qu'il s'agisse de trou- * ver le lieu des centres de courbure de la cycloïde , repré- ^ sentée ^ar le système deç équations

X = R(4^ — sini»)^ y =.R(i — co^ip),

*" nous prendrons, pour éliminer x , j^, les deux équation»

djr dx

VINGT-QUATRIÈME LEÇOA. ^4^

cette fonction sera constante et son accroissement toujours égal à zéro , puisque l'on a i

on a donc enfin Ap qp Aa = o, Ap = ±i Aa. ^

Cette équation prouve que Tare Aa renfermé entre deux points de la nouvelle courbe est égal f au signe près , à la différence d^ rayons de courbure qui aboutissent à ceâ deux points. Ajoutons que le signe du deuxième membre % de Téquation Ap = ±: Acr sera le signe du deuxième mem^ bre des équations

do- fi (Ît p

Les premiers membres -p- , -j- sont les cosinus des angles

dr do'

que fait avec les axes la tangente à la nouvelle courSe prolongée dans le sens de Tare (j\ les s^onds membres

, — sont les cosinus des angles que fait avec les

mêmes axes le rayon de courbure mené du point (x , y) au * point ^, y?; on en conclura facilement que Tare a et Iç* rayon p croîtront simultanément ou que Ton aura Ap=Ac7, si la tangente à la nouvelle courbe prolongée dans le sens de Tare a , coïncide non pas avec le rayon p, mais avec le prolongement de ce rayon au-delà du point 4 , yj , tandis que dans Thypothèse contraire le rayon p venant à croître, ^ Tare a diminuera, et Ton aura Ap=: — Aa. «

137. Cela posé, eoncevons {fig- ai) qu'un fil inexten- • . sible, fixé par une de ses exirépiités ft , et d'une longueur égale à celle du rayon de courbure p, soit d'abord appliqué sur ce rayon -, puis que ce même fil restant toujours tendu . «, vienne à se mouvoir de telle sorte qu'une partie s'enroule sur l'arc ± Acy compris entre le point [>. ou (|, yj) et le

fi

a5o CALCUL DIFFÉRElfTlBL.

cycloïde donnée , nous en conclurons qu'une cycloïde a pour développée une autre cycloïde de même forme el de mêmes dimensions dont les points de rebroussement coïncident avec les centres de courbure correspondant aux points milieux des diverses branches de la première. Ajoutons que les points de rebroussement de la première sont en même temps les points milieux des diverses branches de la deuxième , et que la base de la deuxième cycloïde se confond avec la droite qui a pour équation y=. — aR. U serait facile d'établir les équations

{ = x+!iRsiD«, ^=— >^,

en partant du principe démontré que le rayon de courbure de la cycloïde est double de la normale, quand la base est prise pour axe des x. En effet, en vertu de ce principe, le milieu du rayon de courbure M^ CAéT* 22), c'est-à-dire

le point qui a pour coordonnées ,"^- , coïncide

avec le point dans lequel la base est touchée par le cercle générateur dont l'ordonnée (ist nulle et dont l'abscisse est Rft) = x-f- R sînci). On a donc

^ = d:-f- Rsin«, =^— î — = 0,

d'où l'on déduit inmiédiatement les équations cherchées- On peut même, sans recourir à ces formules , et à Taidc du seul principe que nous venons de rappeler, déterminer la nature de la courbe qui sert de développée à la cycloïde* Pour y parvenir, décrivons {^fig^ 22) avec le rayon Rdeux cercles égaux qui aient leurs centres placés sur l'axe?' des y, l'un au-dessus, l'autre au-dessous de l'axe des jr, et qui touchent ce dernier axe à l'origine des coordonnées. Concevons ensuite que l'on fasse rouler ces deux cercles, le premier sur l'axe des x , le deuxième sur la droite pa —

allèle^ = — aR , de manière qu'ils ne cessent pas d'a- 'oîr Taxe des x pour tangente commune. Les rayons qui lans le premier instant aboutissaient à Torigine des coor- Lonnées , tourneront autour des centres des deux cercles ît décriront en même temps des angles égaux , d'où il réiulte, 1** que ces rayons CM et yfx seront toujours paralèles; a** que la droite Mjjl qui joindra leurs extrémités, passera par le point de contact et sera divisée en ce point 511 deux parties égales. Or la partie MN comprise dans le premier cercle sera évidemment la normale delà cycloïde proposée que décrira le premier rayon \ donc le rayon de courbure de cette courbe égal au double de la normale, coïncidera nécessairement avec la droite entière M|ui, et le centre de courbure avec l'extrémité du second rayon y/i, donc le lieu des centres de courbure ou la développée de la même courbe sera précisément la seconde cycloïde décrite par cette extrémité.

Corollaire, L'arc Afz de la cycloïde est égal au rayon de courbure M/x , et par conséquent la demi-cycloïde entière

AA' = AD = 4R. En général, Afx = a = aV/aRj-, la cycloïde est une courbe rectifiable.

2™* ^application. Considérons l'ellipse représentée par l'équation

iT + F = ''

OU

ou

dti X du y d*u i

ly) dP'^ydx) 5jr»"~â»ï^\^ ^/ fl^

a5o CALCUL DIFFÉRElfTlBL.

cycloïde donnée, nous en conclurons qu'une cycloïde a pour développée une autre cycloïde de même forme et de mêmes dimensions dont les points de rebroussement coïncident avec les centres de courbure correspondant aux points milieux des diverses branches de la première. Ajoutons qiie les points de rebroussement de la première sont en même temps les points milieux des diverses branches de la deuxième, et que la base delà deuxième cycloïde se confond avec la droite qui a pour équation y=- — aR. U serait facile d'établir les équations

en partant du principe démontré que le rayon de courbure de la cycloïde est double de la normale, quand la base est prise pour axe des x. En effet, en vertu de ce principe, le milieu du rayon de courbure M^ {J^S- 2^)» c'est-à-dire

le point qui a pour coordonnées ,'^ , coïncide

avec le point dans lequel la base est touchée par le cercle générateur dont l'ordonnée «et nulle et dont l'abscisse est Rft) = jr-f- R sînci). On a donc

^ = x -f- R siniw , ^—^ — = 0,

d'où l'on déduit immédiatement les équations cherchées. On peut même, sans recourir à ces formules , et à Taide du seul principe que nous venons de rappeler, déterminer la nature de la courbe qui sert de développée à la cycloïde. Pour y parvenir, décrivons (^fig* 22) avec le rayon R deux cercles égaux qui aient leurs centres placés sur l'axe des y, l'un au-dessus, l'autre au-dessous de l'axe des x ^ et qui touchent ce dernier axe à l'origine des coordonnées. Concevons ensuite que l'on fasse rouler ces deux cercles, le premier sur l'axe des x , le deuxième sur la droite pa-

iroir élevé chacun des deux membres à la troisième puis-

mce, on en tirera

-'i.-'i-<ÈmHi)><^t

par suite

i conclura aisément de ces équations, que la développée

Tellipse {/ig' 23) est une courbe fermée , divisible en

L2itre parties superposablcs par deux axes qui coïncident,

Dune ceux de l'ellipse , avec les axes coordonnés et qui

ocontrent cette développée en quatre points dont les dis-

oces, à Torigine, sont A et B. Ajoutons que chacune de

» parties de la développée touche les axes en les rencon-

^nt, et qu'en conséquence chacun des points de rencontre

> a\ 6 , 6^, est pour cette courbe un point de rebrous-

:xnent. Les rayons de courbure, aux sommets, sont re-

résentés respectivement par — et -j-,

3"* Application : à l'hyperbole — — tt ^^ ^ • On reconnaîtra que l'équation de la développée se rémt, en posant A = , d = — r — j a

t l'on conclut de ces équations que la développée de l'hyerbole (fig» 24) est une courbe qui s'étend à l'infini , qui B trouve divisée par les axes des coordonnées en quatre paries égales, et qui se compose de deux branches séparées, lont chacune a un point de rebroussement situé sur le proongement de l'axe réel de l'hyperbole, à la distance A de

!i54 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Torigine. Le rayon de courbure au sommet de Taxe réel est égal a — .

\^^ Application : à la parabole j^' =: 2.px^

d'où

du

X ~^' dy^^^' dx-^""' dy--~^' dxdy

donc

En substituant ces valeurs dans Téquation j^ = ipx^ on trouvera

On reconnaîtra facilement que cette développée {fig* ^5) s'étend à Tinfini du côté des x positives, qu'elle a pour axe l'axe de la parabole et qu'elle rencontre cet axe en k touchant au point dont l'abscisse est p. Ce point est oP point de rebroussement \ si l'on y transporte l'origine des coordonnées en changeant Ç en Ç + A^ » l'équation de 1^ développée deviendra

et il en résulte que toute parabole du second degré a poi*-^ développée une autre parabole du degré f ou | .

VINGT^GINQUIÈME LEÇON.

liu contact des courbes. — De l^ordre de ce contact.

{ 39. Ou dit que deux courbes se touchent lorsqu'elles ont point de commun et une tangente commune. De plus , sque deux courbes A"B", A'B' touchent la coiu'be AB au ^me point M , la courbe A' B' , qui passe entre les deux ires, est regardée comme ayant avec la courbe AB un itact plus intime que la courbe AIB". Les géomètres tinguent ainsi des contacts de divers ordres , que Ton rvient facilement à définir au moyen de la considération I coefficients différentiels ou fonctions dérivées. Soient j' = F(jc), y = f(jc)j les équations de deux orbes rapportées à des coordonnées rectangulaires. Supsons que x soitTabscisse d'un point commun à ces deux urbes *, les ordonnées correspondantes à une abscisse voi-* i.e X -h A seront respectivement

T) +^F'(x) + -^ F» + — ^ FC.)(x)

a56 CALCUL DIFFÉRENTIEL*

Si elles ontuue tangente commune au point x^y^ onam en ce point, non-seulement F(x) = f{x)t mais encore F'(a:) = f\3c) j^^et il sera certain qa^aucune autre ligne y = ç(jc) ne pourra passer entre les courbes proposées, à moins que Ton n'ait également (f\x)=F^(x) =zf(x). En effet, la différence entre les ordonnées des deux. courbes proposées correspondantes kx-^-h peut être exprimée par

[F"(x+eA)-/"(x+e.À)]il,

tandis que si la condition dont il s'agit n'avait pas lieu, la différence entre l'ordonnée de la troisième. courbe et celle de la première serait exprimée par

[F'(x + eh) — <p'{x+ 6'h)]h.

Or il est visible que quand h est très petit, la seconde différence est plus grande que la précédente; donc-lk €Oiul)e y = (f(x) ne passe pas entre les deux premières.

On dit de deux lignes qui ont un point commun et pour lesquelles le coefficient différentiel du premier ordre a la même valeur en ce point , qu'eHes ont entre elles un contact du premier ordre.

140. Admettons maintenant que pour les deux conriies proposées les coefficients différentiels des deux premiers ordres aient des valeurs communes, la différence des ordonnées de ces courbes qui répondait à l'abscisse x + h^ sera exprimée par

-^ [ F-(* + SA) -/"(x + fl'A)] ,

tandis ^que pour une troisième courbe y = ^{x)y qui "^ satisferait pas à la même condition, mais qui toucher*^ cependant la première , la différence des coordonnées

VINGT-CIKQUIÈME LEÇON. ^Sy

rait exprimée par

[ r'ix+Oh) —f" {x 4-C^A)].

Or lorsque h est très petit , cette seconde différence est plus grande que la première; la troisième courbe ne pourra donc jamais passer entre les deux premières , que Ton dit avoir entre elles un contact du second ordre. On dit aussi, dans ce cas, que les deux courbes sont osculatrices, parce qu'en sus de la tangente commime elles ont évidemment le même cercle oscillateur. En effet, la direction de la tangente , le centre et le rayon du cercle osculateur ne dépendent, comme. nous Tavons vu, que des deux premières dérivées y\ y" ^ qui ici, par hypothèse « sont égales; donc, etc.

Réciproquement , si deux courbes ont en ttn point commun même tangente et même cercle osculateur , leur contact sera du second ordre , parce que les deux premières dérivées auront nécessairement la même valeur.

141 . Considérons {fig* 26) deu?%courbes qui se touchent eu un point donné M -, si du poiht de contact comme centre et avec un rayon infiniment petit, on décrit un cercle, ce cercle coupera les deux courbes en deux points très voisins Fun de Pautre P et Q , et le rapprochement plus ou moins considérable des deux courbes k la distance i du point de contact, aura évidemment pour mesure la longueur infiniment petite PQ , comprise entre les deux points dont il s'agit, ou, ce qui revient au même, la corde PQ de l'arc de grand cercle renfermé entre les deux courbes ; si nous appelons &> l'angle très petit compris entre les rayons menés à ses extrémités , cet arc et sa corde seront

respectivement mesurés par les produits i(ù^ 21 sin -. Si les

deux courbes changent de forme, de telle manière que, se touchant; toujours au point donné, elles se rappi^Dchent T. I. 17

uC^S CU.CUL DIFFÉRENTIEL.

davantage Tune de lautre dans le voisinage <ie ce points les valeurs de l'expression !usin- diminueront nécessairement , ce qui suppose que la fonction de < , représentée par &), diminuera elle-même. Si au contraire le rapprochement des deux coui^bes devient moindre, les valeurs de w croîtront nécessairement, de sorte que le rapprocbemcnt des deux courbes sera plus ou moins considérabk suivant que les valeurs de co, correspondantes à de très petites valeurs de i , seront plus ou moins petites. Dès-lors on pourra énoncer le théorème suivant :

Théorème i°'. Si deux courbes se touchent en lin point donné, et que Ton marque sur ces deux courbes deux points situés k la distance infiniment petite / du point de contact , le rapprochement entre les deux courbes , dans le voisinage de ce point, sera d^autant plus considérable que Tordre de la quantité infiniment petite (ù sera plus élevé : en efiet , cette quantité co sera d'autant plus petite que son ordre sera plus élevé.

Cela posé , il est naturel de prendre Tordre de la quanti té infiniment petite (ù considérée comme fonction de la base /, pour indiquer ce qu'on peut appeler Tordre de contact des deux courbes. Soit a cet ordre; puisque le

rapport , ' a Timité pour limite, le produit

et Wk-Têt . et

— : — î— = 2 ain-

^ra encore une quantité infiiniment petite de Tordre a ^

tandis que les expressions m , 21 sin - seront des quanti-

tés infiniment petites de Tordre a + i, donc :

Théorème 2"*. Lorsque deux courbes se touchent un point donné, Tordre du contact est infériear d'an' unité à Tordre de la -quantité infiniment petite qui

VINGT-CIMQLIEME LEÇON. sSq

présente la distance entre deux points situés sur les deux courbes, également éloignés du^point de contact v^t dont la distance à ce point est un infiniment petit du premier ordre. Il est bon d'observer que la droite qui unit ces deux points étant la base d'un triangle isoscèleMPQ, et opposée dans ce triangle au très petit angle &>, sera sensiblement perpendiculaire aux deux côtés de ce triangle , et par suite à la tangente commune aux deux courbes, tangente dont les deux eûtes diffèrent très peu. La surface du triangle est d^ailleurs égale au produit \ i* sin ci> et par conséquent à une quantité infiniment petite dont Tordre a -f-^ surpasse de deux unités Tordre du contact des courbes. 142. Concevons maintenant qu'après avoir décrit du point M, avec le rayon infiniment petit MP = MQ = <, un 4rc de cercle , on mène par le point P une droite PS qui fasse avec la tangente commune un angle y. Dans le triangle PQS, le côté QS ,. sensiblement parallèle à la tangente commune , parce qu'il coïncide avec une corde dont lef extrémités situées sur Tune des courbes sont très vpîsines du point de contact , formera évidemment avec lef deux autres côtés PQ , PS deux angles finis dont le premier différera très peu d'un angle droit, et le second de l'angle y; on aura donc, en désignant par s et e' deux quantités infiniment petites,

PS= . / . ; PQ=-- . ; ' . /,2/sin-. sin(y±i') 5in(ydi:i ) a

13e plus, si l'on abaisse du point M sur PS la perpendiculaire MR, l'angle MPS étant sensiblement égal à y, on

«ara

MR = MP sin(y ±1'') = i sin(y ± 1");

«r les valeurs de PS et de MR prouvent, i^que si co et sinco SQiÉt def in&Qiment petits d$ l'ordjre a, c'^t-ji-dire que si

u56 CAJ.CUL DIFFÉRENTIEL.

davantage Tuue de Tautre dans le voisinage <ie ce poînC^ les valeurs de Texpression !usin- diminueront nécessairement , ce qui suppose que la fonction de < , représentée par &), diminuera elle-même. Si au contraire le rapprochement des deux courbes devient moindre, les valeurs de (ù croîtront nécessairement, de sorte que le rapprochement des deux courbes sera plus ou moins considérable suivant que les valeurs de co, correspondantes à de très petites valeurs de i , seront plus ou moins petites. Dès-lors on pourra énoncer le théorème suivant :

Théorème i®*^. Si deux courbes se touchent en lin point donné, et que Ton marque sur ces deux courbes deux points situés k la distance infiniment petite i du point de contact y le rapprochement entre les deux courbes , dans le voisinage de ce point, sera d^autant plus considérable que Tordre de la quantité infiniment petite ci> sera plus élevé : en eiTet , cette quantité co sera d'autant plus petite que son ordre sera plus élevé.

Cela posé , il est naturel de prendre Tordre de la quantité infiniment petite &> considérée comme fonction de la base /, pour indiquer ce qu'on peut appeler Tordre de contact des deux courbes. Soit a cet ordre; puisque le

rapport —-î-^— a Tiinité pour limite, le produit

0t sinT«» . et

— = 2 ain-

sera encore une quantité infiniment petite de Tordre a,

tandis que les expressions i(ù , 21 sin - seront des quanti-

tés infiniment petites de Tordre a H- i, donc :

Théorème 2"". Lorsque deux courbes se touchent en un point donné, Tordre du contact est inférieur d'une unité à Tordre de la -quantité infiniment petite qui re-

VfNGT-CiNQUlkME LEÇON. a6l

Ht commun correspondant à une valeur donnée dex, et ce point une tangente conunune non parallèle à Taxe y^ si pour la valeur donnée de x les équations des deux irbes fournissent des valeurs égales et finies, non-seulent de l'ordonnée y, mais encore de sa dérivée y' . D8 cette hypothèse, la différence ¥{pc)—f{x) qui s'élouira pour la valeur de x relative au point commun , tiendra infiniment petite quand x recevra un accroislent infiniment petit ; et si Ton considère cet accroislent comme étant du premier ordre, l'ordre de la intité infiniment petite qui représentera la nouvelle eur de F(.r) •— f{x) surpassera d'une unité l'ordre de itact des deux courbes.

[)ès-lors, si les deux courbes se touchent en un point

Taxe des y^ mais sans avoir cet axe pour tangente

omune , il suffira , pour déterminer l'ordre du contact ,

chercher le nombre qui indiquera l'ordre de la diffé-

ice F(x) — f{^)'i en considérant l'abscisse x comme

B quantité infiniment petite du premier ordre. On re-

maîtra, par exemple, que les parabolesj^=x', j^=x'

t, i l'origine, un contact du premier ordre, les para-

es y = x'^'^^y = x""**' un conta^ de l'ordre », les

IX courbes j^ = x»jy=:x'* un contact de 1 ordre

Corollaire 2"*'. Si deux courbes ont un point commun respondant à l'abscisse x, et en ce point une tangente omune non parallèle à l'axe des y^ avec un contact de 'dre a, la différence F(x) — J('^) sera nulle; et si 1 désigne par i un accroissement infiniment petit du imier ordre attribué à l'abscisse a:, l'expression

F(x+0— /(* + ') a (corollaire i*") un infiniment petit de Toitlre a + i,

262 CAI.CIJL DIPFÉREMTiet.

et par conséquent, en désignant par n le noidbre entier égal ou immédiatement supérieur à a,

sera(n*'26) la première des expressîonsF(x-t-i) — /(x+i), F'(j:+i) — f'{x+i)^. . . etc. , qui cessera de s'éraBom^ aveci, ou, ce qui revient au même, F<"'*"*^(x) — /^""^^^i^) sera la première des différences

FW— /(x), F'(x)— /'(ar),etc

qui obtiendra une valeur différente de o. Par oonséqœiit les dérivées successives j^',^''. . . jusqu'à celle dont Tordre coïncide avec le nomhre entier égal ou immédiate^ ment supérieur à Tordre du contact, conserveront le^ mêmes valeurs dans le passage d'une des courbes à Tautre« Donc aussi lorsque Tordre de contact sera un nombre en—tier, il suffira , pour le déterminer, de chercher quelle est. la dernière des équations

qui se trouve vérifiée par Tabscisse du point de contact :^ Tordre des dérivées comprises dans cette dernière équatioim' sera précisément le nombre demandé.

Si la tangente commune était parallèle à Taxe des j^, i% faudrait, dans les théorèmes et corollaires qui précèdent^ changer x enjr^ et réciproquement.

144. Dans l'application du troisième théorème, on pourra prendre pour sécante la Kgne qui joindrait les extrémités de deux longueurs égales et infiniment petitesportées sur les deux courbes à partir du point de contact, puisque Tangle formé par cette ligne avec la tangente commune, a pour limite Tangle droit; on arrivera ainsi à un nouveau théorème :

Théorème 5"'. Pour obtenir Tordre de contact de deux

VINOT-CfMQUlkME LBÇO». ^63

oarbes qui se touchent en un point donné, i\ suffit de bercher le nombre qui représente Tordre de la distance ifiniment petite comprise entre les extrémités de deux )ngueurs égales portées sur les deux courbes à partir du oint de contact, dans le cas où ces mêmes longueurs eyienntent infiniment petites du premier ordre ; le nomre dont il s'agit, diminué d'une unité, indique toujours ordi« du contact.

Corollaire» En désignant par jc, j', et J, m les cooronnées des extrémités des deux longueurs égales entre lies et à < , par â la distance de ces extrémités , par a le ontact des courbes , on aura

t puisque â doit être infiniment petit'de Tordre a + i , l faudra que les deux différences x — $? ^ — ^ soient Iles-raèmes de Tordre a + i , ou que du moins Tune soit !e cet ordre, Tautrc étant d'im ordre plus élevé, ce qui xige , en appelant n le nombre entier égal ou immédiasment supérieur à a , que des expressions

~^' di ' £//> '•*• di'^ ' £//-+' '

~''' di ' di* ' • dF^' di"-*-^ '

es deux dernières , ou au moins Tune d'entre elles, soient es seules qui cessent de s'évanouir pour / ==: o. Soient ['ailleurs s et (7 les arcs des deux courbes renfermés entre leux points fixes et les points mobiles (x, j"), (|, iq), on tara di ==: ds = fia, puisque les trois variables <, 5 et a tifiïrent entre elles de quantités constantes, et Ton pourra lès-lors, aux expressions qui précèdent, sub8tituer(n^91)

les suivantes

dx eS

ds d^'

dy dn

rf*f

ds^

dr-'

dH

^i.+tf

ds''

dr'^ '

rf^+.i*

dy ds*

dy

ds''

d'^ti

dles, àr

exceptic

>n de l'un

moins des deux dernières; et Ton pourra énoncer le théorème suivant :

145. Théorème 6°^*. Etant données deux courbes qui se touchent en un point (x, j^), si Ton considère les coordonnées X ,y de chacune d'elles comme des fonctions de Tare ^ pris pour variable indépendante, et prolongé dans le même sens pour les' deux courbes au-delà du poitit de contact, les dérivées successives

dx d*x d^x dy d*y d^y

H' 1^' ^' • 57' 1^; dp'' '

jusqu'à celles dont Tordre sera indiqué par le nombre entier n égal ou immédiatement supérieur à Tordre du contact, ne changeront pas de valeur dans le passage de la première courbe à la seconde, tandis que des deux déri-

vées ^^^ • , ^^^ , Tune au moins prendra une valeur

nouvelle.

146. Du théorème qui précède, joint aux princij)es établis dans la dix-neuvième leçon , on conclura immédiatement que si deux courbes ayant entre elles un contact de Tordre a , on désigne par n le nombre entier égal ou immédiatement supérieur à a, i** les /? premières diflërentielles des variables x, jr^ prises relativement à une

VIlfGT-ClJMQUiÈME LEÇON. !l65

inction quelconque r de ces variables , et même les n remières différentielles d'une fonction quelconque t de » Tariables , prises par rapport à une autre fonction ar^ itraire K de ces variables, ne changeront pas de valeurs land on passera de la première courbe à la seconde ; ' les différentielles de l'ordre n + i de x , j^, prises par pport à r, ou de. t prises par rapport à u , changeront dinairement de valeur quand on passera de la première orbe à la seconde, quoique le contraire puisse avoir u dans certains cas particuliers.

Réciproquement, si les dérivées successives

dx d^x d^x dy d*y d^y

^' ~éb}' " ~d^' di' 'd^'"' d^

changent pas de valeurs quand on passe de la preière courbe à la seconde, ces deux courbes auront entre es un contact d'un ordre au moins égal à n.

Dans cette hypothèse , en effet , les différences x — Ç , — ïî, considérées conmie fonctions de i, s'évanouiront avec lînsi que leurs dérivées jusqu'à celles de l'ordre n inusivement, et l'on aura, en faisant x — J = ç(i),

UX ^"^^ Y ^^ 9 posé , les rapports , s'évanouissant avec

^Ut que a sera plus petit que n -|- i, les deux diffé- *ces X — |, r — w, ainsi que la distance

seront des quantités infiniment petites d'Irak ordre m moins égala n+i^ et par conséquent les deux conribo auront entre elles un contact d'un ordre au moins ^al in.

147. Si deux courbes sont telles que la forme et la p»* sition de la première étant complètement déterminées, la forme et la position de la deuxième puissent varier avec ta valeurs de plusieurs constantes arbitraires a„ at,...a«com« prises dans son équation , on pourra disposer de ces constantes arbitraires a^, ai ,... a^, ou de quelques-unes d'entre elles , de manière que les valeurs de plusieurs terma consécutifs de la suite j^, ï'^Jf"'» • • • J^^"^ restent les mêmes pour Fabscisse x dans le passage de la première courbe t la seconde. Alors la seconde courbe aura, au point (ir,/), avec la première , un contact plus ou moins intime, inférieur d'une unité au nombre des termes qui n^auront pas changé de valeur, ou représenté par Tindice des deox dernières dérivées égales. Si n est le nombre des constantes de la deuxième équation , on pourra disposer de ces t constantes de manière à ce que l'ordonnée y et les (n — i) premières dérivées conservent la même valeur pour les deux courbes ; de sorte que parmi les valeurs qu^on peut attribuer aux n constantes arbitraires a, , a^ , . . . a^^ renfermées dans l'équation f{pc^ , j-, , a, , a, , ... a„) = o, il existe généralement un système pour lequel la courbe représentée par cette équation acquiert avec une courbe donnée ¥{x^jf^ z) = o, au point dont l'abscisse est x, un contact d'un ordre au moins égal au nombre n — in est évident d'ailleurs qu'il existe une infinité de systèmes de valeurs des constantes pour lesquels le contact entre les deux courbes est d'un ordre inférieur h n — i .

On détermine le système des valeurs des constantes « pour lequel le contact est de l'ordre n — i, à l'aide des n équations que l'on obtient en exprimant que l'éqtW' tion /(ar,, j^,, a„ «f , . ... a„) = o et ses « — i équation*

VIKGl'-CINQUlÈME LEÇON. ^€j

tielles successives

df d'^-'f

isfaîtcs lorsqu'à la place des variables x^^ y^^ et difTërentiellei, on met x^ y et les différentielles ..., relatives i la courbe F(jr, jy) = o, quelle que Ueurs la variable indépendante.

obtenir des systèmes de valeurs de a^ , a^ , . . . a„, klissent entre la courbe donnée F(x, j^) = o etla f{Xx î J", î «M ^« • • • û„) = o un contact d'un orrieur kn — I , il suffit de conserver quelques-unes ations de condition.

'xemple. Supposons que l'équation d'une courbe 3 trois constantes arbitraires , on pourra disposer onstantes de manière i oe que cette courbe ait un du deuxième ordre avec une autre courbe donur cela , eu effet , soit

on de la courbe dont il s'agit; en la différentiaut is, on aura

id^f d^f df df

étâfblir qu'entre cet|e courbe et une autre courbe F(x, j^) = o il y aura un contact du deuxième

ordre, il suffit d'exprimer que ces équations différeniiellei sont satisfaites quand , avec les coordonnées du point de contact, on y met pour ^^r., efy^j ^*^n ^^Xi» les yaleun des quantités dx^ dy, d*x, rf'/, tirées de Féquation F (Xj y) = o. On obtient ainsi trois équations,

d^f dH d^f df df

dont on pourra tirer les valeurs des constantes a, , Ot, Osf en fonctioii des coordonnées x, j^ du point de contact. La substitution de ces valeurs dans Féquation

conduira à Féquation de la courbe osculatrice.

i*"" Exemple. S'il s'agit d'un cercle dont le point ({, i) soit le centre et p le rayon , et dont Féquation soit

pour le rendre osculateur de la courbe au point x^y^^ faudra déterminer les trois arbitraires | , y} , p , au moyen des trois équations

(x — £)»H.(j.i,)»=p*; {x—^)dx + {y — n)dy-o\ {x — i)d^x^{x — n)d^y^dx^+dy^ = o,

ce que nous savions déjà.

2™* Exemple. Concevons que la courbe

soit une courbe parabolique dont l'ordonnée est cxpnmée par une fonction entière de x , de sorte que Ton ^^

VINGT-CINQUIÈME LEÇON. 26g

\ prenant Xi pour variable indépendante , on trouvera

*= 3a, + a . 3 . fl3 -a^x + • • • etc. ,

<^*^=i i .2.3. . . (/i — 2)fl„.,H- r .2.3... (/t— i)tf«-ta?, , r\*-")=i 1 .2.3. . . (/i — i)ûj.-.i.

En substituant dans ces équations ky\ , j-" . . . j^/""'^ les dérivées y ^y" 1 • • • j^^"~'^ tirées de Téquation d'une courbe donnée F(a:,j^) = o, on déterminera les constantes, de manière que la courbe parabolique ait avec cette courbe un contact de l'ordre n — i . On obtiendra très simplement l'équation de cette parabole , en éliminant les constantes entre les n équations de condition

-'=«,H-2û,X-|-3«3^*+. .. + (/! — ?)û«-.x»-'-|-(/f — i)fl,«,x"-"*

r^ = y y" =. etc '.

*t l'équation

Pour éliminer, développons le deuxième membre de cette dernière équation suivant les puissances ascendantes de (Xj — x) , en remarquant que l'on a , quel que soit m ,