du
284 CALCUL DIFFÉREKTIEL.
d'où l'on tire , en substituant pour u sa valeur u = «^ ,
U) M, ) 1tf( U, H-"?—)
ou en posant lae ^ = e^,
équation d'une nouvelle logarithmique que l'on décrirait en faisant tourner la première autour de l'origine , de manière que chacun de ses points décrive, avec un mouvement de rotation direct ou de droite à gauche, un angle
égal à f -î^ (a' étant égal à la). On serait parvenu au
même résultat en partant des équations faciles à établir
/• r, 8in(«, — «)^r' = -, r, cos(tfx — tt) = o,
d'où l'on conclurait
II, z= tt H — , r, = rl« j etc.
154. Terminons ce que nous avions à dire sur l'emploi des coordonnées polaires , en cherchant la diflerentielle du secteur compris entre la courbe et deux rayons vecteurs quelconques. Pour cela considérons le sectem* OAM = S {^fig^ 3o) décrit par un rayon vecteur que nous supposons se mouvoir de telle sorte que le secteur S croisse en même temps que l'angle u \ S sera une fonction de u que l'on ne peut déterminer généralement, mais dont on peut trouver facilement la différentielle. En effet, donnons à u un accroissement ^u , le secteur prendra un accroissement AS = OMm. Du point O, avec les rayons OM, 0/71, décrivons deux arcs de cercle MM/, mm. En supposant que l'accroissement Au soit assez petit poui' que dans l'intervalle de n à r/ + Ai/, le rayon vecieur ail
ses points , on aura
,. i aj: , dx
COS«t = llin.± — — rrr***- — ^ ■
dx dy dz '
telles sont donc les équations de la tangente que Ton déduirait immédiatement des équations
cosa cosô cosc
AX ^f AZ '
en passant à la limite , et qui s'étendent même au cas où jo^jr^z représenteraient des coordonnées obliques.
On dit qu*tme droite est normale à une courbe en un point donné, lorsqu'elle est perpendiculaire à la tangente en ce point.
Cela posé , on pourra évidemment mener à une courbe par chaque point, une infinité de normales qui seront toutes comprises dans un même plan. Ce plan unique est œ qu'on appelle le plan normal. H est perpendiculaire à la tangente, et passe par le point (jc, y^ z). Son équation sera donc , en désignant par ^ , y? , (^ les coordonnées de Fun cpielconque de ses points ,
({ — «)co6«-+-(^r — y) 006*+(Ç— <)cosy=o,
ou, eh mettant pour cosa, cosë, cosy les quantités proportionndles dx^ dy^ dz^
156. Supposonsque m=F(x, j^, 2:)=:o, «^==/'(a:,jr, ^)=o, soient les équations de la courbe donnée , c'est-à-dire les équations de deux surfaces qui la renferment, on aura,
a88 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
en difTérentiant,
du du du
dp dff dv
d'où Ton tire, en éliminant tour à tour dz^ dy^ dx^ dx 4r ds
dudtf duAf dudv da dv dudv dudtf * dy ds dedjr dsdx dx 2i dxdjr"^ dydx
COS« CObC C08^
du dv du dv du dv dudv du dv du dv 4y dg ds dy dsdx dxdz dx dy dy dx
^/fdudv dudv\* fdudv dudv^ . (dudv du èf\^
V i^^rS^S^j ^\éû'Jbrdm) '^\d^ly^'ird^)
et les équations de la tangente et du plan normal d viennent
dué¥>- dudv du dv dudv dudv du dv"* dy dt dsdy dx dr dxdi dxdy ^5r
(du dv
fdudv dudv\,. . . f du dv dudv\ ,
fdudv du dv\
Les dénominateurs ou les coefficients de J — ^j ^ — , ^ — z se forment très simplement^ en écrivant sur de lignes les quantités
du
du
du
du
du
du
dx'
dx'
dz'
dx'
dy'
dz'
dp
dç
dv
dv
dp
dx'
dy'
Jz'
dx'
dy'
partagées en trois groupes, et multipliant en croix.
VINGT-SEPTIÈME LEÇOSf. 289
dans les deux équations dilTérentielles du du du
rfp , dtf , , dç .
ubstitue , pour dar^ dy, dz , les quantités proportions I — X, >] — y^ Ç — z ^ Ç, y?, (f étant les coordonnées point quelconque de la tangente , on a , pour les deux tions de cette ligne ,
kpiations représentent deux plans qui ont la tangente
commune intersection.
Tune des équations de la courbe , ii = o , par exemne renfermait que deux variables x ^y^ elle représen-
t la projection de la courbe sur le plan des xy^ et
lation
du . du
isenterait à la fois et la projection de la tangente à la be dans Tcspace, et la tangente à la projection^ et
ne le plan des dcy est quelconque, on en conclurait ralcment que la projection de la tangente à une courbe [X)nque sur un plan donné se confond toujoiu^s avec la lînte à la projection de la courbe sur ce même plan, héorème résulte d'ailleurs évidemment de la définimême de la tangente, puisque les tangentes à la courbe ' ^ projection sont les limites dont s'approchent indéfi- ;nt la sécante et sa projection.
n appelle plan tangent à une courbe donnée un plan T. I. 19
^yo CALCUL DIFFÉRENTIEL.
quelconque passant par la tangente \ il en existe donc une infinité , et en appelant généralement /, tti , n les angles que la perpendiculaire à Tun quelconque de ces plans fait avec les axes, il sera réellement tangent si Ton a
ces/ cos« -4- cos iit CCS C -+• cos/zcosy = o.
157. On déterminera avec facilité les asymptotes dW courbe tracée d^une manière quelconque dans Tespace, soit en remarquant que ces asymptotes auront pour projections sur les plans des coordonnées les asymptotes des projections de la courbe , soit en observant que si
sont les équations de ces asymptotes, les valeurs de^ et de z tirées des équations de la courbe donnée pourront se mettre sous la forme
jr z=z mx -{- p ^^ hy 2=:/tr + y+f,
h et i se réduisant sensiblement à o pour de très grandes valeurs de x. D'où l'on tire évidemment
m = lim.-, /i=liin, ~,
p = lim. {jr — /wx), q = lira, (z — nx).
Ainsi', pour calculer les coefficients m et n, il faudra poser dans les équations de la courbe, j^ = 5jrr, z =:tx\ puis chercher la limite ou les limites vers lesquelles convergent les variables 5 et t, tandis que la valeur de x croît indéfiniment. Après avoir trouvé m et n , on obtiendra ^ et ^ en posant
Y — mx =r 5, , z — /IX = /, ,
et cherchant les limites de 5, et de ï,.
Le calcul qui précède donnerait seulement les asymp-
VIMOT-SEPTlkME LEÇON. 29I
!8 non parallèles au plan des j^z ; mais en changeant re elles les coordonnées x ety^ on obtiendraitles asymp-
3s non parallèles au plan des zx ou au plan des zy^ etc. !^es points d'arrêt ou de rcbroossement, les points sailts , les points multiples , en général les points singuliers ne courbe tracée dans Tespace , ont ordinairement pour éjections sur chacun des plans coordonnés des points L offrent les mêmes singularités, mais qui, parce qu'ils Dartiennent à une courbe plane , pr^^ection de la courbe inée , seront facilement déterminés à Taide des méthoi déjà exposées.
applications.
158. i^*^ Exemple : L'ellipse produite par Tintersection cylindre à base circulaire u=x* +y^ — R' = o et du m ^^ = Ax 4- By 4- Cz = o. On trouvera
xdx + X^X = ^ 9 ^^ + ^^X + Cdi =r o ,
y -^ Ubx-Ax)
cos« cosC cosy
- (Rr — Ar) [C>R«+(ftr-Ar)>]5-
Les équations de la tangente seront
enfin
jrf +r» = R'. Af +B, + CÇ = o.
Ces dernières éqiutions reprétentent, comme on devait
393 CALCUL mFFÉRfilltlEL.
s'y attendre, la tangente au cepcle base' du cylindre , et le plan même de la coilrbe.
L'équation du plan normal sera
c(fr — «fj?) + (Bx — Ar)(Ç— *) = o.
2™« Exemple : La courbe produite par Tintersection du cône droit x'+^*=R'^", et du plan Ax-h^+Cz=o. Les équations de la tangente seront
arf -h «r = R*<, Af + B9 + CÇ = oj
celles du plan normal
C (iy — fix) + (Bf — Air)R»z + (Er— Aj) (Ç — z— R>«)=o.
Les équations de la tangente représentent , comme on pouvait le prévoir , deux plans : le plan de la coui:be et un plan passant par Torigine et le sommet du cône.
2"* Exemple : La courbe intersection de la spbère
et du cylindre droit
(^ — 4.R)»+z» = |R», ou X* — Rr + i»=o,
dont la base est un cercle qui a pour diamètre le rayon de la spbère. Cette courbe a pour projection sûr le plan
des xyj la parabole
sur le plan des zx^ le cercle
j: • — Rx + z * = o ,
sur le plan des jrz , la lemniscate
La tangente à la courbe proposée aura donc pour projections les tangentes â la parabole , au cerde et à la lem-
VINGT-SEPTIEME LEÇOIV. agS
niscate, e'est-â-direles trois droites
j:, + lRf =R(R— ix),
(x i.R)f + zÇ = lRS R»zÇ — (R» - 2^')ju=j4.
L'équation du plan normalpeut être mise sous la forme
et Ton reconnaît qu'il contient le rayon mené de l'origine au point (x, j^).
3"* Exemple : l'hélice. Considérons un cylindre droit
dont la base sur le plan xy soit le cercle
x'+7>=RS
et dans ce cercle un rayon mobile qui, appliqué d'abord sur l'axe des x, tourne indéfiniment autour de l'origine avec un mouvemeut direct ou rétrograde , c'est-à-dire de droite à gauche, ou de gauche à droite, et soit u l'angle variable décrit par le rayon' pris avec le signe + ou avec le signe — , suivant que le mouvement est direct ou rétrograde. Si maintenant , à partir de l'extrémité du rayon mobile , on porte sur la génératrice du cylindre , dans le sens des z positifs lorsque u sera positif, et dans le sens des z négatifs lorsque u deviendra négatif, une longueur proportionnelle à l'angle u, ou, ce qui revient au même , à l'arc ± Ku compris entre les côtés de cet angle , et représentée en conséquence par un produit de la forme riz âRu, a désignant un nombre constant, l'extrémité de cette longueur décrira une courbe à double courbure , appelée hélice, et dont il est facile d'établir les équations et les propriétés. En effet, soient x, j^, z, les coordonnées de cette extrémité ou d'un point quelconque de la courbe , on aura évidemment
x=zficosUf /=RsinM, z=zaKUf
HQ4 CALCUL DIFFÉRBHTIEL.
et Ton eu conclura **-+-7'=R*> 2= flRarccoft - =aRarc tang -•,
dx sina ^ dy cosa
a cos y =
et il résulte ëvidenmient de la dernière de ces équations- . que Tangle y formé par la tangente à la courbe avecTax^ des Zj eij par suite , avec la génératrice du cylindre , est un angle constant. En vertu de cette propriété, la courbe se développera en ligne droite, quand on développera le cylindre dont elle fait partie. On trouvera de plus, pour les équations de la tangente ,
? — J? — ^ — y ^ C — g — sinw costt a *
e^ pour Téquation du plan normal ,
(jj — x) cosa — (f — x)sin tf + a($ — z)=zo.
L'équation z = a'R arc tang - représente la surface hé-
liçoïde engendrée par une droite qui reste toujours comprise dans un plan mobile perpendiculaire à Taxe des z , qui rencontre cet axe au môme point que le plan , et qui tourne autour du point de rencontre , de manière à décrire, dans le plan mobile, des angles proportionnels aux distances parcourues par le point dont il s'agit. Cette même surface coupe évidemment le cylindre, suivant deux hélices dont les points correspondants se trouvent situés à égale distance de Taxe des z, sur la droite génératrice de la surface.
VIM&T-MUITIBME LEÇOM. 395
|>lan osculateur irune courbe quelconque. — De la normale principale.
159. On appelle plan osculateur d'une courbe queloque en un point donné, le plan qui contient les deux igentes menées à ce point et à un point infiniment voii , ou le plan qui passe par deux tangentes consécutives , enfin le plan qui passe par trois points infiniment voiis. En partant de ces définitions, on trouvera facilement quation du plan dont il s'agît.
1^^ Méthode. Désignons par x^ y^ z ^ les coordonnées point de la courbe \ par a , 6 , y , les angles que fait avec . axes la tangente en ce point \ par | , yj , Ç, les coordones de Tun quelconque des points du plan osculateur^ r /, m, /}, les angles inconnus que fait avec les axes la rpendiculaire à ce plan. Son équation sera
(f — x)cos/+(jy — /)cos/» + (Ç— z)cos/i =: 0.
* plan devant passer par la x*^^ tangente , et par une tan- Qte très voisine , qui fera avec les axes des angles dont I cosinus seront
cosC-|-:\cosC=:cosff-|-<'cos(^.(i +0, cosy+Aco5y=:cosy+r/co8y.(i-f-i'*),
(e\ e", e"* étant des quantités très petites), on aura
C05« COS/-|-COS^ COS/7t-f-COSy COS/t = O9
[cos«+rfcosoe.(i + i')]cos/+[cosff+rfcosff.(i+i")]co5iii
+ [cosy + ^/cosy. (i + 1*')] ca»« =0,
ou, en réduisant et supposant que, la seconde tangent devenant infiniment voisine de la première, les quantit e', e", e"*, s'évanouissent,
cos A ces /+ CCS C cosm + cosy cos a = o , </cos«e.cos/+ «fcos^.cos/71 -f-^fcosy.cos/1 = o.
On tire de ces deux équations , jointes à Téquation connu» ^^^c
cos*/ + cos*/»+ COS*/l = I,
cos / ' cosm cos n
eosCicosy-cos ydcos C'cos^tf cos «-cosatfcosy cosa<2cosC«cosC(feo8 <
[(ces C<{cos y-cos ><f cos C)*H-(cos T^cf cos «-COS «<2cos y)*-f-(cos «jlcot C-008 Ci c(
Les valeurs de cos/, cosm, cosn, et par suite réquatioi du plan osculateur , se trouveront ainsi complètement déterfhinées. Comme on a
dx ^ dy dz
COS« = --r-, C08b=-f-,. COSy = ~ ,
as as ds
les équations qui précèdent peuvent se mettre sous forme
cos I cos m cos n
dYà^-dzà% dsd^-^dxd^ dxd%^dyd^ '^ dt ds ds ds ds ds
En prenant Tare s pour variable indépendante, on aurai
I ,dx d^x i j djr d*Y 1 , dz d*z ds ds ds* ' df ds ds* ' ds ds ds* '
VIIfGT-HLITlÈME LEÇON. 297
et par suite
cos/ cosiw cos/i
dx<i >z — dzd^y did^x — dxd^z dxd^y — dyd^x
\/'{dyd^z^did^yY'^[dzd^x—dxdHY'\-{dxd^y—dyd^xf
C^ix a de plus
{^y-d^z — dzd^yY-^idzd^x — dxd^z^^idxd^y — dyd^x)^ = {dx^ + rfr» + dz^)\{d^xY^{d^yY+ {d^zY\
— (dxd^x -f- dyd^y + dzd^z)*;
otx a d'ailleurs, puisque 5 est variable indépendaute ,
On aura donc enfin
cos/ cos/ii cos/i
tiyd'^z^^dzd^y dzd^x~^dxd^z dxd^y^^dyd^x
Sii Ton cessait de prendre Tare s pour variable indépendante , on aurait
^yd j — d^^=^ {dy{dsdH^dzdU}^dz{dsd^y'-^yd^s)]
dzd -r— dxd -r- = -7- (dzd*x — dxdH) , d!f ds ds ^ ^
dxd^^dyd^ = ^ (rfrrf>7 — dyd^x),
I/équation rir' -|- dy^ -|- rf^' = //y' donnant d'ailleurs
dxd'x + dyd'y + r/s^'z = dsd^Sy
'^98 CALCUL DIFFÉRBWTIEL.
on trouverait
ces/ COS/Tt COS/l
dyd *z — dzd^jr- dtft^x^ dxd*z ^xd^y-'^^yd *x
^ \/^(d*x)*+{d^xY+(d^B)^—{d*sY *
Dans le cas particulier où Ton prend x pour yariabh indépendante, et où Ton désigne par j^', z'^j"^ z', les dérivées dey et de z du premier et du second ordre, on a
ces/ cos/n cos/i
Les angles /, m, n étant ainsi déterminés, réquatioi du plan osculateur deviendra
(f — x) (rfjrf'z— £/zrf*7)+(j»— j)(rfzrf»ar — dxd*z)
+ {i—z){dxd^X—dyd^x) = G,
ou , en prenant x pour variable indépendante ,
2"" Méthode, Soit toujours
(£ — x)cos/+(iy — j)cos/?i + (Ç— «)cos/i = « = o
Téquatlon cherchée du plan osculateur. S'il doit passer pai^' deœc autres points infiniment voisins du point (x,j^, z)n son équation 1/ = o devra être vérifiée quand on y remplacera x^y^z par
jT + Ax, jr + ùiXj z + Az,
et X-f-2A4? + A*X, J + 2A^ + aA'j, «+2AZ + A'»,
on devra donc avoir non-seulement Au= o^ du = o^ mais encore A*i/ = o, d*u =: o : on a d'ailleurs évidemment
du=, dx ces /-+- dy ces m^dz ces n , d^u == rf*x cos / + d^y cos /w + rf*r ces w :
VINGT-HUITIÈME LEÇOIV. 399
>ii aura donc nécessairement
dx cos / + dy cos iw -f- rfz cos « = o , d*x cos / + rf*jcos m + rf'z cos n = o/
t l^on tirera de ces dernières équations les valeurs déjà JciJées de cos m , cos n , cos /.
1 60. On appelle normale principale d'une courbe en a. point quelconque (x, y^ -z), celle des noiQiales à la ►urbe qui se trouve dans le plan osculateur. Dësnlors on ^itquc la normale principale est Tintersection du plan >TTnal avec le plan osculateur. En appelant X,fjt, v les ^ gles qu'elle fait avec les axes , Ê > '^ » ? ^^^ co^tlonnées - l'un quelconque de ses points, ses équations seront
cos A cos fé cos » '
^^is elle doit être perpendiculaire à la tangente et à la c>rmale au plan osculateur qui font avec les axes des anl~«s dont les cosinus sont proportionnels aux quantités
dxy dy, dzy riyd^z — dzd^x^ dzd^x^-dx d^Zj dxd^y — dyd*x\
Kl aura donc
cos Xdx -^ cos ^ dy -f-cos wdzzzz o ,
cos X{dyd^z — dz d*y) + cos/» {dz d*x — dx d*z)
'+'COSf(dxd^y — dy i/»x) = o,
['où l'on tire, en éliminant d'abord cos v,
osx(dx^ d*y — dxdyd^x — dzdydH + dz*d*y) ^coSf€{dz*d*x — dzdxd*z — dxdy d^y^ dy*d*x)-=iOy cos A [{dx^ 4- dz*) d^r — dy{dx d^x + dzd*z)] — cos fft [{dz *+dy*)d*x — dx (dz d*z + dy d^)] = o ;
Dais les équations
^'•+- dy* + dz* =ds*f dx d^x + dy d*y+dzd*z=zdsd*Sf
3oO GAI^CUL DIFFÉUBITEIEL.
donnent /
dz*+dxK^ds' — da:*y dz d^z + dy d^y z=,dsd*s^dx^r^ donc
C08 A [(** — dx*)d^x — dx{ds d^s — dy d^y)]
— i^fê[{ds^ — dx^) d*x — dx {ds d*s — dx d^x)] = Oj
• V.'. . ces A cos^.
dsd^x^^dxd^s dsd^y^^dyd^s
Eh ëlifiliiisCnt fx on aurait trouvé de même
COSA COSv
dsd^X'^-'-dxd^s dsd*z — dzdU on aura 'donc définitivement
