COSA COS/K CO
dsd^x^dxd^s dsd*y — dyd*s "" dsd^z — dzd*s^ équations qu'on peut mettre sous la forme
cosA cos^ cos » ,
ds'
V^{dsd»X'dxd*sy+{dsdy-dyd^sy+{dsd*z-diid*sy La quantité sous le radical est évidemment égale à
ds* [d*xy+ idyy-H^^y]+ W* (^^ + <(r'+^*)
— :ids d*s[dxd*x+ dyd*y+dzdH], ou à
ds*[(d*xy+{dyy+{d*zy+{d\sy'-^{d^'sy]
=ds*[{d*xy+{d*yy+{d*zy—(d'sy]y
VINGT-HUITIEME LEÇON* 3qI
on aura donc définitivement . '
ces A cos^ ces f , ds- ■ ;
(h ds ds
et les équations de la normale principsUe seront
? — X __ Il — f Ij z — g ■
jdx "" ^dr "" ^^ '. •
ds ds ds •'
Quand on prend Tare 5 pour variable m4épendante, les équations qui précèdent se réduisent à
COSA COSfi cos» , r' 1
d^x "" «?>jf "" </*a ■
161 . Au lieu de définir directement le plan osculateur, pour déterminer ensuite la nomiâle principale à Taide du plan osculateur, on aurait pu, avec M. Cauchy, définir d'abord la normale principale pour en déduire le plan osculateur en procédant comme il suit.
Lemme. Etant données deux courbes qui se touchent , si , à partir du point de contact , on porte sur ces courbes, prolongées dans le même sens^ des longueurs égales mais très petites , la droite qui joindra les extrémités de ces longueurs sera sensiblement perpendiculaire à la tangente commune aux deux courbes.
Démonstration, Supposons que les longueurs égales portées sur la première et la seconde courbe, à partir du point de contact, aboutissent, d'une part, au point (Xjjr^ -r), de l'autre au point (Ç, y?, Ç) ; soient de plus 5, a les arcs renfermés^ i^ entre un point fixe delà seconde courbe et le point {x^y^ z)i a® entre un point fixe de la
302 CA]LCliL DIFFÉRENTIEL.
seconde courbe et le point (^ , v^ ^)y tandis que les ordonnées x,y, Zy ^y y?, ^varieront simultanément, la différence s* — (T restera invariable, puisque les petites longueurs portées sur les deux courbes sont par hypothèse égales entre elles ^ on aura donc
r. — s = const. , «• = ^ + coDSt. , da-=z elSf dw^ — dlr* = o,
^f > + i/,,» + £/Ç» -. £ir» — rfj« — di« — o, (df +dx) {d(^^)+{dii+dx){dn—dx)+{di:+dz){dZ—dz)-o,
Soient d'ailleurs a, 6, y les angles que forme avec les axes la tangente commune aux deux courbes prolongée dans le même sens que les axes 5 et a^ ^ la longueur de la droite menée du point (Ç , y? , (^) au point (x, jr, z) ; enfin , A, fc, y, les angles que forme cette droite avec les demi-axes des coordonnées positives , on aura
dx dS iir-f-rfî M djr dn dy+dn
ds do- ds + dv- ds or ib -{*dr
dx dC di+d^
cosy = — = — = ■ — -;
ds dr ds-\-dT
f — X jy — Y t *
COSA = — ^, cos^=-y-, cosr=-np;
ces trois dernières fractions, quand la longueur 8 sera très petite, seront sensiblement égales aux quantités
rfî — dx dn'^-'dy d^ — dz ~dV' d^ ' ~dr''
de sorte que Ton aura sensiblement
dSi-^dx du — dr dt^-'dz
Dès-lors , si dans Téquation
{di-^x){d^^^^x)Mà^'^^y){dn—dy)^{di:,^ '
VINGT-HUITIÈME LEÇON. 3o3
on met à la' place des trois sommes les quantités propor^ tionnelles cos a, cosë, cosy, et à la place des trois dififércnces, les quantités également proportionnelles cosX, cosfx, cosv,onaura
costfcosA +cosCcos^-|- cosycosy =o,
et cette équation exprime bien que la droite menée du point (x, y^ z) au point (^, >?, ^, est sensiblement perpendiculaire à la tangente commune aux deux courbes.
162. En remplaçant dans le lemme qui précède la seconde courbe par la tangente à la première , on obtiendra le théorème suivant : Si, à partir d'un point donné sur une courbe , on porte sur cette courbe et sur sa tangente prolongées dans le même sens des longueurs égales et très petites, la droite qui joindra les extrémités de ces longueurs sera sensiblement perpendiculaire à la tangente. Cette normale, qui mérite d'être remarquée, est précisément celle que nous aurions pu appeler à priori normale principale. Pour fixer sa direction, appelons! la longueur portée sur la tangente et sur la courbe , et substituons à f , r7, ^, leurs valeurs
f = X -f- I costf , n = j H- 1 cosC, Ç = a + 1 cosy,
dans les équations
di — dx dn^^dy dZ.^-'dz
^'on peut mettre sous la forme
cos A COSM COSv
^—dx'~dn—dy d^-^dz' >Ti trouve de cette manière
cos A COS/i cos» cos A COSm COSv
— — — ou — — •
dcostù dco&Z rfcosy' .dx dy ^^* *
ds ds ds
3o4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
or ces dernières équations prouvent bien que la normale en question coïncide effectivement avec celle qui est située dans le plan osculateur.
Après avoir ainsi défini d'abord la normale principale, on obtiendrait immédiatement Téquation du plan oscillateur, en le définissant un plan qui passe à la fois par la tangente et la normale principale. En effets si Ton appelle /, m , n les angles que la perpendiculaire à ce plan fait avec les axes , la double condition de passer par la tan* gente et la normale principale donne
costi cos /-t-cos Ccosm -^cosy cos/i = o y cos/cosA-^cos/7tcos^+cos/i cos» =o ,
ou
cos « cos /-(- cos ^cos m -f- cos y cos /i = Oy cosldcos»-\'COsmdcosC'^cosndcosyz=o;
d^où Poi;! déduirait, comme nous Tavons déjà fait, les va* leurs de cos/, cosm, cosn^ et par suite Téquation da plan osculateur.
VIMGT-KJEIJVIEME LEÇON. 3o5
deux courbarei , du rayon de courbare , da centre de courbure et du cercle oscuUteor d^une courbe quelconque.
165. L'angle compris entre deux tangentes consécutives ou entre les tangentes extrêmes de Tare infiniment petit zti Ay , est ce qu'on nomme Tangle de contingence ; désignons par Ar ce même angle , et par Aci> l'angle infiniment petit compris entre les plans osculateurs qui correspondent aux extrémités de ce même arc, ou, ce qui revient au même, entre les perpendiculaires aux plans dont il s^agit. Les quantités At et Aci) ne pourront s^évanouir constamment que dans certains cas particuliers, savoir : la première , lorsque la courbe proposée se changera en une ligne droite ; et la seconde, lorsque cette courbe deviendra plane. Mais en général Ar et Aeo conserveront des valeurs différentes de o ^ et l'on pourra en dire autant des limites
Vers lesquelles convergeât les rapports ±: — , ±: — 5 penchant que l'arc ±: A5 décroîtra indéfiniment, ces limites :^îi — , zb — , qui seront équivalentes, si l'on considère
tzine courbe plane , l'une à la courbure de cette courbe , l'autre à o, serviront à mesurer dans tous les cas ce que 'Tious appellerons la première et la seconde courbure de la courbe' proposée. Ces deux courbures sont réelles 5 en T. I. 20
petite dont Tordre a-\-2 surpasse de deux unités Tordre du contact des courbes.
174. Concevons maintenant que Ton projette les deux courbes et le triangle MPQ sur un plan qui ne soit pas sensiblement perpendiculaire au plan de ce triangle, et qui fasse avec lui un angle u. Les deux projections des courbes auront aussi une tangente commune, et en appelant f, ;(, ^y Içs angles que les droites MP, MQ, PQ font respectivement avec leurs projections, on aura
mp = MP cos^ = I cos^ 9 mq = MQ cos;^ = i cos;^, /?é7=PQcos4 = ^isinjêtcos4^y mpq =MPQcos'W=ji'sîn#coS'W = i* sin^ « cos-^ # cosv =z\mp Xpq X sin mpq = 71 cos^ X ai sin y« cos^^ sin mpq;
d'où
cos4'ircosir sm mpq = = 7-;
la perpendiculaire mr abaissée du point m sur la droite pq seira égale au produit mpX^sirLmpq^ et Ton aura
COS^^COS'Sr /C0S^«C05«
mr= mpXsinmpq = icos(f> , = —- j
COS <p ces ->L COS -yL
or la valeur de Tangle o) étant très petite , et celle des angles tr, ç, X» 4*' ^^^^ sensiblement différente de — , les
quantités cos|a), cosu, cosf, cos;^, cos^p auront des valeurs sensibles, et il suffira de jeter les yeux sur les équations qui donnent pq^'mr^ pour reconnaître, i^ que la distance /7^ est, dans Thypothèse admise, une quantité infiniment petite de Tordre a -4- i, et qu'dle forme avecla distance mp un angle sensiblement différent de o ^ a^ que la distance mr est un infiniment petit du i*' ordre. Observons encore que la tangente commune aux deux courI)cs ]>rojctées se confondant à très peu près avec la droite mff*
vingt-heuvième leçok. ioj
MDm' sera précisément Tanglé des deux {dans normaux^ ou, ce qui revient an mème^ Tangle At des denx tan*^ gentes menées aox extrémités de Tare ± A^, on aura donc, en exprimant que dans ce triangle les sinus sont proportionnels aux côtés,
ring+ .')
r (l+i)A5 Ar(l-|-fJ Ai*
sin
sitiAr , sinAr Ar
et, en faisant converger As vers la limite o, oh trouvera
= lim. ± — =3 - .
lim. r ^s f
Il importe d^obscrver que le plan osculateur passe par les deux tangentes consécutives, et qu'il est pdr conséquent perpendiculaire aux deux plans normaux infiniment voisins et à leur commune intersection; en sorte que la normale , qui est perpendiculaire à cette commune intersection et sur laquelle on compte la longueur r, se confondra sensiblement avec la normale comprise danfs le plan osculateur, e^est-à-dire avec la normale principale. Il suit évidenmient de ce que nou^ venons de dire que, pour obtenir le premier rayon de courbure p , il suffit de construire la normale principale correspondante au^ point (pOjj^ ^), et de chercher la portion de cette droite comprise entre ce point et un plan normal très voisin. Le rayon p , mesuré de cette manière sur la normale principale, est ce qu^on noïnxfifé le^ rayon de cddH^àré de là courbe proposée relatif au point (t^jr^ z)j et Po^ aj^l^Ué centre de courbure Te^i^trémité du rayon de courbure, qui peut être considérée comme le point de rencontre de la normale principale , et d^un plan normal itifitfhlfent v(nsin. Le cercle qui a ce dernier point pour centre et le rayon de courbure pour rayon , se nomme cercle de cour-
3o8 CALCUL DIFFÉRBlfTIEL.
bure y ou cercle oscillateur ^ il touche la courbe proposée et a même courbure qu'elle. Si par la tangente et par la perpendiculaire au plan osculateur on fait passer un nouveau plan , le centre de courbure sera évidemment situé, par rapport au nouveau plan, du même côté que le point
(x -h ^X'>y + ^y^ ^ •+- ^^)y et coïncidera nécessairement avec Tun des points du demi-axe dont la direction est déterminée parles angles X, [i , v, que la normale principale fait avec les axes , et qui , comme nous Tavons vu , sont donnés par les équations
cosA cos^ cos»
ds 'ds €ls
' 165. n est facile de calculer la longueur du rayoii de courbure , en partant de Téquation qui le définit
1 . ,. Ar , dr
- =±:lim. — = ±3".
p à s ds
En effet, cosa, cosS, cosy, cosa+Acosa, cos6-f-Acos6, cosy + Acosy étant les cosinus des angles que font avec les axes deux tangentes très voisines , on a
cos*« +cos*C+cos*y = t,
(cosa4- A cos«)* + (cosff-|-A cosff)» +(cOS7r -f-A COSy)* = I, cos Ar =cos« (cos «e 4- A cos«) + cos ff (cos Q+ A cosC)
+ cosy (cosy + A cosy) ;
si de la sonune des deu|[ premières équations on retranche le double de la seconde, il vient
2(1 —cos Ar) = (a cos«)* + (a cosC)* + (a cosy)*.
On a d^ailleurs
Ar . , AT
ODS Ar = I •— 2S1D' — , 2sm* — =1— COSAr;
VINGT-NEUVIEME LEÇON. 3o9
donc
asin — = V/{Acosa)*-f.(AcosC)» +(Acosy)*, et par suite
At . At . Ar
— sin— 2S1I1 —
,. At a ,. a ,. a
liin. — =z.lim. — = lim. = lim.
às àS ^s A 5
et enfin ,
I j dr /Jdcosâ^} /rfcosC\« , fdcosyy
En procédant de la même manière , on trouverait pour la seconde courbure
I .dtê //rfcos/V . /dcosm\* , /dcosny
Il resuite évidenmient de ces formules que la première courbure - est généralement nulle dans le cas où les angles a , 6 , y deviennent constants, et la seconde courbure - dans le cas où les angles /, m , n conservent toujours
les mêmes valeurs; ce qui s^accorde avec les définitions que nous avons données de ces courbures.
Si dans la valeur du premier rayon de courbure Ton
met pour cos oc , cos 6, cos y , leurs valeurs -r- , -^, —, il
* as as as
viendra
conde courbe un arc IVER. qui soit égal à Tare MP, les sécantes PR et PQ seront, comme on Ta vu, sensiblement perpendiculaires à la tangente commune ; de plus la corde QR étant comprise entre deux points de la seconde courbe très rapprochés du point de contact, sera sensiblement parallèle à cette tangente. Par conséquent dans le triangle rectiligne PQR , les côtés PQ et PR formeront avec le troisième côté QR des angles dont chacun différera très peu d'un angle droit; donc le rapport entre les deux premiers côtés qui est égal au rapport des sinus des angles opposés, différera très peu deTunité, et en désignant toifjours parc» rangl»des'deux.rayons, et par e uue quantité infiniment petite, on aura PR= PQ( i -f-e), et parce que PQ, corde de l'arc qui mesure o) dans le cercle dont le rayon est /,
est égale à 21 sin-, on aura
PR z= (i +f)2isin-.
D'ailleurs en remarquant que le rapport d'un arc à la f corde a pour limite lunité, et désignant par e' une nouvelle quantité infiniment petite , on a arc ]MP=(i +c')i*. Donc puisqu'en con^Mérant le rayon vecteur i comme in-» finiment petit du premier ordre , Tare MP sera lui-même
infiniment petit du premier ordre , tandis que , comme
nous l'avons vu, le produit 2 z sin -et la dislauce PR se-
ront des infiniment petits de l'ordre «-+-!,« désignant
l'ordre de contact des courbes, on obtiendra dans tous les
cas cet ordre de contact en diminuant d'une unité le
nombre qui exprime l'ordre do la distance infiniment
petite PR comprise entre les extrémités de deux longueurs
égylds (^X infiniment jletitcs dU premier oixlrc jJortées sur
les deux courbes à parjLÎr.du pmnt de contact, ce cpril
fallait démontrer. . ,
H VINGT-NBUVIÈME LEÇON. 3lt
. par conséquent , pour obtenir le rayon de courbure 'une courbe en un point donné, il suffit de porter sol* îtte courbe et sur sa tangente prolongées dans le même ms , des longueurs égales et infiniment petites, et de diiser le carré de Tune d'elles par le double de la distance )mprise entre leurs extrémités : la limite du quotient it la Taleur exacte du rayon de courbure. En comparant ensemble les équations
COSA COft^ CCS» ^, ^1 #
Hiv/(4jH-(4)V(4)"-' ■
Q trouvera
rf? 4 4
ds as as
COSA = p— , COSA« = p— , co»p = p — ,
en prenant s pour variable indépendante,
d*x dW d^z
COSA = p— , 0OS^=p, C08,=p^..
167. Si Ton suppose qiïe le plan xy devienne paraile au plan osculateur, on aura- -%. • ^
cQs/ is G, cofm =: o, 00611 =: d:: I ,
t par suite, en vertu des équations
coildx + cosm^ + cosndz = o; co$ld*x + coimd*jr + cOind^z = oj dz =: o'y d^z = o, f , dxd*Y'~^drd*x
3ia
Le rayon de courbure de la courbe donnée est donc égal en grandeur au rayon de courbure de sa projection sur le plan osculateur. Ces deux rayons de courbure co'meident aussi en direction , puisque la normale' principale , située dans le plan osculateur, sera évidemment la nor — maie à la projection de la courbe sur ce plan^ donc, etc..
168. Appliquons ces formules à Fhélice représentées par les équations
X 9b Kcqi^Uy j=R'sintt, «=aRs, et prenons II pour variable indépendante , on trouvera
dxzzz
dx — «ma"
ds = cosc
— Rsinu^iCy ify' ^ Kcosudu, dzz^aUdu^
— Rcosiw/a% d*jr = — Rsinif^tt^ rf»z=o,
cosif a costf smtt ' G
± V/i +fl*. Rf/a , d^s = o y cosC cosy , I
sma
cosif-
La différentielle seconde d^s étant nulle, on devra employer les formules où Tare s est pris pour variable indépendante , et Ton aura
ces A
COSil
cos/
cos^ cos»
sintt G
cosy = o,
asm If
cos m acosu
cos 71
V/i + û» V V ds J ^\ ds )
du
P =.(i + fl»)R.
. VINGT-» EITVIÈME LEÇON. 3l3
quatioa du plan oscillateur sera
a(f — x)Mna'^a(i»'^ j)co$if + Ç — 45 = 0, Ç — - 2 = a (9 CCS tt -^ f sinif).
în Ton aura
k la quantité a on sul>stitue Fangle 7, L'é avec a par raation- cosy = — . on trouvera
i cosut cos/i | B. ^ , .
= =±cosy, p = -T-Y~=Rcosec*yf
-;— cosic tangy srn'y
R = -; =aRcosécay.
sinycosy
équation cosv == o prouve que la norinale principale rhélice au point (or, y^ z)^ coïncide avec la perpendiaire abaissée de ce point sur Taxe des z, ou, ce qui ient au même, avec la génératrice de la surface héli-
le, représentée par l'équation z = oR arc tang '^. Donc
>lan qui passe par cette génératrice et par la tangente bélice , c'est-à-^re , en d'autres termes , le plan qui clie la surface héliçoïde au point (fc^jr, z), se conira nécessairement avec le plan osculateur de Thélice. ^n déduirait directement la valeur p = Rcoséc'y du ^u de courbure , de Técjuation
P=Uin-,
dans ce cas deviendra, comme on le prouvera faci- «nt
= *""• (ï^T=l^ =R{. 4-«')=RcosccV
TRENTIEME LEÇON.
Détermioation analytique da centre de courbure. — Dé?eIoppée (Puoe
courbe quelco^ue. ^^
169. Soit p le rayon de courbure d'une courbe quelconque, correspondant au point (ar^j^, z); |, n, Çjlc* coordonnées de rextrémitë de ce rayon appelée, centre d^ courbure; A, jù, v les angles formés avec les demi-axes des coordonnées positives par la droite menée du point (x^jf^^^ au point (|, y?, ^), droite qui coïncide avec la normale principale, on aura
