VA

TASIfTIÈME LEÇON. 3l5

Uy ce qui revient au même,

ans le cas où Ton prend x pouRgfeùJ>le indépendante, s formules précédentes se réduisSR^

l'aide de ces équations, on pourra déterminer les.ooor- ^nnées ^ , n, ^ du centre de courbure, ,qui, comme on .

prouvera facilement, vérifieront en général le S3fstème îs trois équations

({x)ic + (,— j')rfjr +(Ç — «)d« = o, — x)d*x+{ii-~-y)d*x+{Z — »)<'•» — dx'-'dx*—d»*=o.

c^ çef trois équations , la première exprime que le cttitre ^ co^nrbure çst à une distance pdu point (x, y, js)^ la Mupèn^ qu'il est dans le plan normal; la troisième, qu'il it partie d«à plan oscillateur : ask aurait pu le» écrire priori, et il est essentiel d'observer que Ton retrouve? i devxième et la troisième, Icnraqu'on différencie la predëre et la deuxième en opérant comme si les trois incoB--. ues ^ , y?, ^ étaient des quantités constantes.

170. Quandle point {pc,y^ z) vient à se déplacer sur la ourbe donnée, le centre de Gourbu^ê se déplace en même

3l6« CALCUL DIFFÉRENTIEL.

temps. Si le premier point se meut d'un mouvemoit continu sur la courbe dont il s^agit, le second décrira une nouvelle courbe : or pour obtenir les équations de cette dernière, il suffira d'exprimer en fonction d'une seule variable x, j', ou 5, à Taide des équations m = o, f =o, de la courbe donnée , les seconds membres des équations qui donnent | , y?, ^y dk d'éliminer cette variable entre ces trois équations. |flp€ux équations résultantes de cette élimination ne renfmneront plus que les trois variables I ? ^ > Ç 5 ®^ représenteront précisément la ligne qui sera le lieu géométrique. de tous les centres de courbure delà courbe donnée.

Pour établir les principales propriétés de cette ligne ^ différentions par rapport à toutes les variables, les deuc équations

en y regardant x^ y^ z comme tenant la place de lenr^ valeurs en 1, y?, Ç. En opérant ainsi, on trouve

dxdi'^ydiii'{- dzdl^ = o.

Cette dernière équation prouve que la tangente me^ née & la nouvelle courbe par le point (|, r? , Ç), forme un angle droit avec la tangente menée à la courbe donnée {xr le point (pc^j^ z). Donc la tangente à la nouvelle coiirf»^ est comprise dans le plan normal à la courbe proposée.

De plus, si l'on nomme a l'arc de la nouvelle courbe compris entre un point fixe et le point mobile |, u, C' on aura

dp £ — xdi , > — r ^» , Ç — * ^î dv (' do" fi dv (• dr-

TRENTIÈME LEÇON. ilj

i\ réstilte évidemment de cette dernière formule, que

:*épport -^ est égal au cosinus de Fangle aigu ou obtus,

Euépar le rayon de courbure p avec la tangente à la nou- Le courbe. Quand la courbe proposée est plane , cette ^ente se confond avec le rayon de courbure ou avec

L prolongement , et par conséquent le rapport — se ré-

L t au cosinus d'un angle nul, ou au cosinus de Tangle ir , strà-dire à di i . On a donc alors

fon en conclut , comme on Ta déjà fait, que Tare Aa est différence des rayons de courbure correspondant à ses ox extrémités. Mais il n'en est plus de même quand la Lorbe donnée cesse d'être plane , et dans ce cas le rap-

rt ~ obtient généralement une valeur numérique dif-

:^nte de l'unité.

171 . Concevons qu'un fil inextensible d'une longueur nnue , soit fixé par une de ses extrémités à un certain lint d'une courbe , et que ce fil , d'abord appliqué sur la Dgente menée à la courbe par le point dont il s'agit, enne à se mouvoir en demeurant toujours tendu, de lie sorte qu'une partie s'enroule sur l'arc renfermé entre point fixe et le point variable {pc^y^ z). L'autre partie i restera droite et touchera la courbe donnée au point , y y z)^ sera terminée par un point mobile qui décrira le nouvelle courbe , que l'on a désignée sous le nom de veloppante de la première. Celle-ci prend, par rapport [a deuxième , le nom de déi^eloppée. On peut facilement établir comme il suit, leurs propriétés respectives. Soient |, >}, (^, les coordonnées du point de la déveppante, qui correspond au point (pc^jr^ z),de la déveppée et r la distance entre ces deux points. En désignant

CALCUL DIFFÉRBIITIËL.

par ce , ê, y les angles que fait avec les axes la tangente I la première courbe , qui coïncide avec le rayon r, on aun à la fois "

dx ( — x ^ djr « — Y d» Ç.»-»

C0BC=x-7^ = , 0OSCs»-7 =2^ ^, OOBV=:-r = — ,

as r as r as r

et par suite ,

dx

dy

dz

en supi>osant que la longueur r est comptée à partir da point (x, jf<i z)^ de la développée sur la tangente prolongée dans le même sens que Tare 5. De pliis, on aura dans cette hypothèse,

r+j=rc, £/r = — dif; donc

dx dy dz rfr*

dx dy ^ de

en différenciant ces dernières équatioiis, on trouve

c/f — dxz=L^^dr---''^rd-rrt dn^-^dy=: — dr~-

af dr dr

rdt

dr

dr

ou en réduisant

d'où Ton tire

TRBNTIÈMB LEÇON. Sip

mais Ton a

donc

dxéBi + rf^^i/^r + dzdj(^ = o.

Il réstilte de cette dernière formtde que les tangentes menées parles points correspondants (x, j^, z), (|, 19, Ç), à la développante et à la développée, se coupent à angle droit. Donc la tangente à la développée est toujoum normale à la développante.

Lorsque la développée est connue, ainsi que ftoos Pavons supposé dans ce qui précède, il suffit pour avoir les équations de la développante de substituer dans les formules

j. dx àr ^ ds

k la place de x^jr^ z leurs valeurs exprimées en fonction de s et de remplacer, en outre, r par czps^ puis d'élimi-* ner s entre ces mêmes formules. En effet, on parviendra de cette manière à deux équations entre | , >7 9 ^ qui représenteront évidemment la courbe décrite par Fextrémité de la longueur r. •

i 72. Supposons à présent que Ton cherche non plus une développante, mais une développée de la courbe à laquelle appartiennent les coordonnées variables x^jr^ z. Appelons I r ^ 9 C ^^ coordonnées variables du point de cette développée qui correspond au point (x^jr^ z)^ r la distance entre ces deux points, a Tare de cette courbe comp-* tée à partir d'un point fixe ; a , ê, 7 les angles que lait avec les axes la tangente k la développée prolongée dan^le sens

320 CALCUL Différentiel.

de Tare, on aura

COS« = -;^=— , COSC'=-7-=^ y C08y = -^=:

dr r atr r dr r

r — »• = <?, drz=i àvy

d? = {Ç-.;r) ^, ■ rf, = (, -r) 7 . «^ = (Ç -») 7. (f — *)» + (, ^yf + (Ç — «)• = r'.

Si Ton diSerentie trois fois de suite cette dernière éqna- , tion, en prenant Tare ^ pour variable indépendante, et en ayant égard aux équations qui précédent, on trouvera

et, en mettant pour «f^, dn^ d^^ leurs valeurs,

—[((^x)dx+{9 — r) dy + (Ç — «)cfe]

=z—[li—x)dx+{n—x)djr+(!^—z)dz]+rdr=nir, d'où (f — x)d:r + (i,— 7)rfr + (Ç — *)dz — o;

2^. En différentiant cette dernière équation,

OU, à cause de

didx+dfidy + ^/Ç^/z = o, dx^ + <//» + i/z» = ds^^

(f — xy«x +(1, ^)rf»j. ■+:(? — z>/»z = d:^',

et , en metUnt pour $ — x,»}— y, f — z, leurs valeurs, r{did*x + difd»^+ t/Çi/»z) = ds^dr-, 3°. En difierentiant Téquation

{i—x)d*x + {fi—x)dy+{t;^ — z)d^z = ds\

ou

({— x>/.nrf»x + (1, —jr)d.niy + (Ç— z>/.n/*z -♦.rrf'a?(<a— dr)+ nrf»^ (d„ — dj) + rri^z (dÇ ^dz) = d.rd^\

aais

dxd*x + dyd^y + dzd*z =: dsd^s =i o,

r{did*x + d^id^x "H d^d*z) =ds^dr\ lonc

f — x)</./ï/»a?+ (9 — y)d.Td*X'HZ—^)^^^^^ + ^'^* = ^^'^'^ (f — x)d.rfix + (v '^y)d,rd^x -f- (Ç — z)d.rd*z = o.

3es quatre équations

(f— x)> +(1, — j^)* + (Ç — z)» = rS

(i—x)dx + (, — j)rfjr + (Ç — z)dz = o,

(f — j?)r/»x H- (1, —x)^X + (Ç — *)''•« = ds%

{i—x)d.rd^x + (, — j) rf.7Y/»j + (Ç,— «y,n/»2 = o,

>n tire

i*3-dsd,rd'*jr dsd,rd^x-dxd.r€bs dxd,rd»jr-4jrd,rd*x

ds*

c(jird.rd*g — dsd.rd*jr)-i-d*jr{ded,rd^x~~dxd,rd*M)'f'd*s(dxd.rd^jr — 4rd.rà»x)

V^l(4rd.rd*M''dsd.rd*x)*-i-(dMd,rd*X'^dxd,rd*£)»'^{dxd,rd*x-~'4yd,rd*xy]*

V^(ds*i(d.rd*xy'^{d.rd*jry'-h{dMu)*}^(dxd.rd»X'j^d,rd»x^^ l*

égalant ces deux dernières fractions, carrant et réduisant, on trouve * '

td*x d^x ,d*r ^ . ^ Iffl f^ d^ 'dH^'^ ds* ds^ ds» ds^yds

r^dix\ /dijry /du\ /dxd*x drd»r dsdny-]

l\^) \^^) '^KdTiJ^Kds ds^'^'^dF'^'Sdà^) J*"

(dxd*yd *£'dTd*Md ^X'hdrd*sd»X'4rd*xd ^»'^-dgd*xd*X'dtd*rd*x\ ■ — ^ r4 ,

équation que Ton peut mettre sous la forme

dr* ^ dr . ^ ^ .

A -r- + Br — + Cr» H- Dr» = o. ds* ds

Si Ton substitue dans cette équation pour Xyj^ z^ leurs valeurs, exprimées en fonction de s^ elle se réduira i

et sera ce qu^on nomme une équation différentielle da premier ordre entre r et j, à laquelle on pourra satisfaire par une équation de la forme (f (r, 5, c) = o, ou r = y (i, c), c désignant une constante arbitraire.

Eji donnant à c une valeur particulière, on aura ren fonction de 5, et si après avoir mis dans les équations

{i — x)dx + {n—jr)dx + (Ç — z)dz = q,

{i—M)d*x + {n—y)d*y + (Ç — «)i/»r ='ds\

((—x)d.rti*x + {n—x)d.rd^x + (Ç — «)</./«/»« = 0,

à la place de x, ^, z^ leurs valeurs en ^, on élimine s entre les trois équations résultantes, gn obtiendra entre les coordonnées (> >7 9 ^ deux équations propres i représenter une développée de la courbe que Ton considère. Cela posé , il est clair que cette courbe aura une infinité de développées qui correspondront aux diverses valenn de r, ou, ce qui revient au même, aux diverses Yalears de la constante arbitraire c.

Ajoutons que toutes ces déveV>ppées seront situées sur la surface que Ton obtiendra en éliminante entre les deux formules

{i — x)dx + {n — x)dx + {K — '^dz = o, *(i—x)d^x -h {^ — x)d*x + (Ç— -z)#/»45 = ds*.

La surface dont nous venons de parler, ou le lieu géométrique de toutes les développées, jouit de plusieurs propriétés remarquables , sur lesquelles nous reviendrons quand nous aurons parlé de l'application du calcul diffi^ rentiel k la rechercbe des j»*opriétés des surfaces courbes*

TRENTE-UNIÈME LEÇON. SaS

Dq contact des courbes situées d^une manière quelconque dans Pespàcéi

— Ginrbes oiculatriees.

175. Considérons deux courbes tracées dans Tespace et qui se touchent en un point donné M; si du point de con-« tact comme centre, et avec un rayon infiniment petit, on décrit une sphère, la surface de la sphère coupera {.fig> 3 a) les deux courbes en deux points très voisins Tun de TautreP et Q ; et en admettant les définitions que nous avons données (n° 141), quand il s'agissait de courbes situées dans le plan unique des coordonnées, on obtiendra im-^ médiatement le théorème suivant : .

Théorème i^^. Lorsque deux courbes se touchent en un point donné , Tordre du contact est inférieur d^une unité à Tordre de la quantité infiniment petite qui représente la distance entre deux points situés sur les deux courbes, également éloignés du point de contact, et dont la dis-* tance à ce point est un infiniment petit du premier ordre, n est bon d'observer que la droite PQ = s/sin-^o) ([ui unit ces deux points étant la base d'un triangle isoscèle IVfPQ, et opposée dans ce triangle au très petit angle (o, sera sensiblement perpendiculaire aux deux côtés de ce triangle, et par suite à la tangente commune aux deux courbes; tangente dont les deux côtés difièrent très peu. La surface du triangle est d'ailleurs ^ale au produit 7 /* sîn co, et, par conséquent, à une quantité infiniment

pelîte dont Tordre a+ 2 surpasse de deux unitës l'ordre du contact des courbes.

174. Concevons maintenant que Ton projette les deux courbes et le triangle MPQ sur un plan qui ne soit pas sensiblement perpendiculaire au plan de ce triangle, et qui fasse avec lui un angle xs. Les deux projections des courbes auront aussi une tangente commune, et en appelant (fj Xî ^î ï^® angles que les droites MP, MQ, PQ font respectivement avec leurs projections, on aura

mp = MP cos^ = I cos^, mq = MQ cos;^ = i cos;^, pq ^z'PQcoS'^ = s/sinjtfcos^', mpç=MPQcos'»=-5-/*sin«fcos«!» = i*sin|« cos^^cosv =z\ mp 'X. pq X siampq = ji cos^ X 2« sin y« cos4^ sin mpq-y

d'où

cbs-l-tf cosv sinmpq = r-i

la perpendiculaire mr abaissée du point m sur la droite pq seira égale au produit mp "X sin mpif^ et Ton aura

COs4-« COS'Sr I cos4-« cos<v

mrznmpyC, sinmpq = * cos^ j- = ; :

^ ^' cos^cos4 cos4

or la valeur de l'angle a) étant très petite , et celle des an-

gles cr , ç , X , ^ , étant sensiblement différente de — , les

quantités ces 7 a), coscy, ces y, cos;^, cosip auront des valeurs sensibles, et il suffira de jeter les yeux sur les équations qui donnent pq^mr^ pour reconnaître, i® que la distance y:;^ est, dans Phypotbèse admise, une quantité infiniment petite de l'ordre a + i, et qu'elle forme avec la distance mp un angle sensiblement différent de o ^ 2^ que la distance mr est un infiniment petit du i**" ordre. Observons encore que la tangente commune aux deux courbes projetées se confondant h très peu près avec la droite iw/^*

THEJNTE-DEUXIËME LEÇON. 34^

Les équalions de la normale et du plan tangent sont

Pour déterminer les points de rencontre du plan tangent ivec la surface , il faut trouver les systèmes de valeurs de ^, r;, ^ propres à vérifier simultanément les équations

a' ^* r> ' fl» ^^ ^* c» '

or , de ces deux équations combinées avec la formule

h ï = I » on tire

Vtf «"^ ^v V^* ^*y' \û* ^'

m, ce qui revient au même ,

!je plan tangent rencontre donc la surface suivant deux iroiles génératrices, déterminées par les équations

ix ^^mj ^ __ ^—fi( ^.Ç — z

a^ b^ c* ' ab c '

4°** Exemple : L'hyperboloïde à deux nappes

a*^^ b^ c* L'équation du plan tangent est

il n'a de conmiun avec la surface que le poiiit (j:, y^ z), 5*"*^ Exemple : Le paraboloïde elliptique représenté

par réquatioii

En diiOrérentiant, on trouve

J?' j' i/a du X //a jr du 7

Les équations du plan tangent et de la normale sont

(f a:)- + {,^>^-(C-.)- = o,ou-+^4=-,

fl» ' é

d'où l'on tire

L__J= -iîp^, x(f-ar)+jr(,j,)+2z(Ç»)=o.

Cette dernière équation prouve que la normale au paraboloïde elliptique en un point donné est comprise dans le plan tangent mené par ce point à un ellipsoïde de révo* lution dont l'équation serait de la forme

or* +.^*+ 2z* = C.

Dans le cas où l'on considère x^y^z comme seuls variables, l'équation

représente un second paraboloïde de même foi*me que le premier, mais dont l'axe coïncide avec la droite qui a pour équation

et le sommet avec un point situé sur cet axe et corres-

ondant à rordonnéc

ans cette même hypothèse, l'ëqualion— 4-"^ ^^

présente un plan qui coupe les deux paraboloïdes sui- Qt une ellipse, lieu des points de contact du paraboloïde une avec les plans tangents menés par le point (Ç, u, Ç). Si , entre les trois équations

élimine Ç et z, ou -2+^, on trouvera

• oomme on ne peut satisfaire à cette dernière équation *cn posant | = or, yj =y, et par suite Ç = z, on en :^clut que le plan tangent n'a de conmiun avec la sur- :c que le point (x^y, z).

Qme Exemple .^ Le paraboloïde hyperbolique repréàté par Féquation

»* y* 9.Z du 2J?, du 2y (iu az

Squation du plan tangent est

<t — x)x (y — 7) j g— g ou~— 'yi=^i^

& équations de la normale sont

3^8 CALCUL DIFFÉREMTIEL.

conde courbe un arc MB. qui soit égal à Tare MP, les sécantes PR et PQ seront, comme on Ta vu, sensiblement perpendiculaires à la tangente commune ; de plus la corde QR étant comprise entre deux points de la seconde courbe très rapprochés du point de contact, sera sensiblement parallèle à cette tangente. Par conséquent dans le triangle rectiligne PQR , les côtés PQ et PR formeront avec le troisième côté QR des angles dont chacun difTcrera très peu d'un angle droit; donc le rapport entre les deux premiers côtés qui est égal au r3pport des sinus des angles opposés, difiTérera très peu de Tunité, et en désignant toitjours par (o. Tangl» des deux. rayons, et par e uuc quantité infiniment petite, on aura PR= PQ( i -|-e), et parce que PQ, corde de Tare qui mesure o) dans le cercle dont le rayon est /,

est ^ale à 2i sin-, on aura

PR = (i +f)2isin-.

D'ailleurs en remarquant que le rapport d'un arc à la f corde a pour limite Tunité, et désignant par e' uuc nouvelle quantité infiniment petite , on a arc MP = (i +c')/'. i)onc puisqu'on con^dérant le rayon vecteur i comme in-» finiment petit du premier ordre , Tare MP sera lui-même

infiniment petit du premier ordre , tandi3 que , comme

nous Ta vous vu, le produit 2 isin-et la dislance PR se-

ront des infiniment petits de l'ordre a + 1 , a désignant l'ordre de contact des courbes, on obtiendra dans tous les cas cet ordre de contact en diminuant d'une miité le nombre qui exprime Tordre de la distance infiniment •petite PR comprise entre les extrémités de deux longueurs égçilds (^t infiniment petites dU premier ordre portées sur les deux çourbrs h partir. du point de eonlaet , cv ([u'il fallait démontriT. • .

TRBMTE-DEUXIÈME LEÇON. 347

S équations de la normale sont

ss génératrices sont données par les formules

. elles sont constamment perpendiculaires Tune à Taxe ïs X , l'autre à Taxe des j^.

8"* Exemple : L'héliçoïde représenté par Téquation

z = aRan;.tangN ~ n,

r=:;ctang , A = — ^ — :^ — ^ — i,

^-=-- cb = j;£(f — X dx,

aR

.«es équations du plan tangent et de la normale seront

e plan tangent coupe la surface suivant une infinité de, gnes dont Tune coïncide avec la génératrice, c'est-à- Ire avec la perpendiculaire abaissée du point de contact UT Taxe des z. ^

185. Quelquefois des lignes ou des points placés sur une urface courbe, offrent des particularités dignes de relarque, et analogues à celles que présentent les points nguliers des courbes. Parmi les points singuliers des irfaces, on doit distinguer ceux par lesquels on peut lire passer une infinité de plans tangents. En chaque point e cette espèce les valeurs de. cos X , cos p, cos v doivent tre indéterminées, ce qui ne peut avoir lieu que dans eux cas , savoir : i^ quand Tune au moins des quantités

33o CALCOL DIFFÉRENTIEL.

et Ton devra avoir au point de contact

ar=f,

dx di

ds ~ dr'

d^x dH

ds^ -^ do-*'*"

#x d»( ds^ '^ dt^^

dy ^dn ds dr^

d*x d'u ds* ~é/^>''-'

dy rf-t

ds^ ^ dr«*

dz dZ ds '^ds'

d^z rf>Ç ds- - A-»'--

Or ces équations renferment le théorème suivant :

178. Théorème 4°^® • Lorsque deux courbea^se touchent, en un point, si Ton considère les coordonnées x^y^ z de chacune d'elles comme des fonctions de Tare 5 pris pour variable indépendante , et si Ton suppose cet arc dompté sur chaque courbe , de telle manière qu'il se prolonge dans le même sens pour les deux courbes au-delà du point de contact, les variables x^j^ z et leurs dérivées successives jusqu'à celles dont Tordre sera indiqué par le nombre entier n , égal ou immédiatement supérieur à Tordre du contact, ne changeront pas de valeur dans le passage de la première courbe à la seconde : les dérivées

ou au moins Tune des trois, changeront de valeur quand on passera d'une courbe à l'autre.

Du théorème qui précède , joint aux principes établis dans la dix-neuvième leçon, on conclura immédiatement que si deux courbes ayant entre rlles un contact de Tordre a, on désigne par n le nombre entier immédiatement supérieur à a, i** les /i premières différentielles des variables x,^, z, prises relativement à une fonotion <^elconque rde ces variables, et même les n. premières différentielles d'une fonction quelconque t de ces variables, prises par rapport à une autre fonction arbitraire u des

Courbure d'une surface. — Rayons de courbure des sections faites dans la surlace par des plans normaux. — Rayons de courbure principaux.'

i86. On peut apprécier la courbure d'une surface donnée au point (x, y^ z), en étudiant la courbure des sections faites dans cette surface par divers plans passant par ce point , et parmi ces sections il importe de considérer surtout celles qui résultent de Tintcrsection de la surface par les plans normaux , et que Ton appelle sections normales.

Soient U'=-o Féquation de la surface, p le rayon de courbure de Tune des sections normales relatif au point (pc^y^ z)\ Ç , yj , ^ les coordonnées du centre de courbure correspondant , on aura '

cl , puisque l'extrémité $ , rj, Ç se trouve sur la normale au point {x , j, z) ,

Ç— a: ly— jr Ç— «

du du du '

dx dy dz

On aura de plus , comme nous l'avons vu ,

(^^x)d'X'h{i—y)d*f+{l^—z)d»z — dx*—dx*^dz*

'i5o CALCt'L DIFFÉRENTIEL.

et, en diflerentiant deux fois Téquation a = o,

du , du , du ^ . d^u , , , d*u , ^ , </*« , ^

dx

d^u du

dx d^u dzâx

dz'

ou

du du

d*x -4 d*r -J d*z = — Ods*^

dx ^ dx ^ ^ dz ^ '

«n posant, pour abréger, d^u dx^ d^u dr*

dx^ ds^ dy* ds* dz^ ds

d*u dz dx

dzdx ds ds

d*u dz* d*u djr dz

dfdz ds ds d}u dxdjr

dxdjr ds ds I / du du du\

Faisons en outre R = y/(g J + (^ )' + ( JJ, il viendra

LiLf — ^ — y « C — ^

donc — 1 — :

du

dx

«t par suite

Celte dernière équation donnera la valeur du rayon df

TREMTE-TKOISIÈME LEÇON. 35 1

courbure d'uiie section normale quelconque. Dans ces ronnules, R représente une fonction connue des coordonnées a:, y^z\ quant à la quantité Q, elle peut être exjft*înée en fonction de ces coordonnées et des angles a , 6 , y, jcte forme avec les axes la tangente menée par le point [jc ^ jTj z) k la section normale que Ton considère. On a en effet

dx 0» dy ' dz

ces et =:-!-, COSb=:-f-, COSy = —,

as as as

et par suite

d*u d*u ^ d*u d^ti -,

Q = -^-TCOS*«^ — ; — cos*te + -; — cos* y 4-2-7—7- COSTCO* y dx* dx dz* dfdz

+ 2 , , COSy COS«-t*2 -; — r- COS» COSb.

dzdx . dxdjr

H suffira doiA de donner avec le point (or, y^ z) la tangente à la section normale pour déterminer le rayon de courbure p de cette section.

187. Lorsqu'on, passe d'une section normale à l'autre sans déplacer le point (^, J", z)^ les angles a, 6,7, et par suite Q, p et Ç, yj, ^ changent de valeur; si dans ce passage la quantité Q change de signe, le rayon de courbure de l'une des sections normales sera déterminé par

l'équation - = ^ , et le rayon de courbure de l'autre par

l'équation -= — ^ : alors aussi , puisque p et R sont es-^

sentiellement positifs , et que de plus les quantités

~, -7-, -;- sont indépendantes de ûc, 6, y, il faudra néor dy dz ^

cessairement que les différences X — x , >? — y^ Ç — z changent de signe avec Q. Donc les deux centres de courbure seront situés à Tégard du point (x , /, z) l'un d'un côté , l'autre de l'autre , sur la normale menée par le même point à la surface.

Les rayons de courbure des diverses sectioiis normales, menées par un même point , ont entre eux des relaticms remarquables, que Ton mettra en évidence en examinant comment le rayon de courbure varie avec les angles a, 6, y. Pour y parvenir on a recours à une constmctioQ géométrique très simple , qui consiste à porter sur chaque tangente une longueur égale à' la racine carrée du rayon de courbure correspondant. Les extrémités de ces longueurs forment une courbe plane qui est du second degré : en effet, si Ton appelle |, >3, Ç les coordonnées de Tune de ces extrémités , on aura

f — X=:p'5'cos«, ly— j=:/5»COsC, Ç — « = p»COSy,

et en plaçant l'origine au point {x^y^ z)^

f z=: p'3' COS«, v = /5~CO$C, ÇzzrpTeoSy.

En tirant de ces équations les valeurs de cos a , cos 6 , cos/ et les substituant dans lequation Qp== ±:R, où Ton a d'abord mis à la place de Q sa valeur en fonction de ces cosinus, il vient

1 Cette dernière équation, quand on y considère |, r„l^ comme seuls variables, représente une surface du second degré qui renferme la courbe plane , lieu de toutes les extrémités. Cette courbe, dont le centre coïncide avec l'origine actuelle, ou avec le point (x,j', z), c»t donc bien réellement une courbe du second degré complètement déterminée par l'équation de la surface et ceUe du plan langont qui , dans Thypotlièsc où l'on prend le point (t, y^ z) pour origine, en posant .r = o,^ = o, r=o, se

réduit à

f,du du ^dtt

itaj en appelant X, p, v les angles que la normale à la surface fait avec les axes j

( COSA + 9 COS^ + Ç ces» = G.

Les équations de cette ligne se réduiraient encore à une

forme plus simple si l'on prenait pour plan xy le plan tangent mené par le point (oc^y, z)'^ alors, en effet, on aurait ^. = o, et Féquation de la courbe dan» son plan serait *^

d*u -., . du* ^ . d*u ,

On voit alors clairement que cette courbe sera une ellipse,,

SI la différence ( -j— r- 1 — ^7 X ^-7 est négative ; deux

hyperboles conjuguées si cette différence devient positive ; deux droites parallèles, si la même différence se réduit 4/

siéro. /

Ajoutons que Tellipse se transformera en cercle si Vtm a

et se réduira à un point, si Ton a de plus R = 6. Comme

on . peut d'ailleurs choisir arbitrairement Ifi'plan jjj^, le > raisonnement qu'on vient de faire, est évidemment applicable à tous les points de la surface proposée.

188. Pour chaque section normale, les coordonnéeâf Ç , y} du point situé sur la tangente à l'extrémité de la loii- T. I. • ■ * . 23 .

354 CALCUL DIFFÉABNTIEL.

gueiir p^ Térifient toujours une seule des deux équations

Si dans le passage d'une section normale a une autre, le , premier membre de ces équations change de signe, on devra eriiployer tour à tour ces deux équations, qui correspondent, la première à l'équation^ = ~ , la seconde!

Féquation - = — ^ . Alors aussi nécessairement les rayons

de courbure de djg3 deux sections normales seront dirigà en sens contraire : au reste ce premier membre ne peut clianger de signe que dans le cas où la différence

\dxdx) dx~* ^ ^

est positive, c'est-à-dire dans le cas où la courbe est formée du système de deux hyperboles conjuguées, ou dé . deux hyperboles , dont l'une a pour axe réel l'axe imaginaire de l'auti^e, et réciproqiy^ment. Dans ce cas le plan tancent à la surface donnée divise cette surface en deux parties dont l'une renferme les sections normales dont le rayon de courbure se dirige dans un sens, tandis que l'autre comprend les sections normales dont le rayon de courbure est dirigé en sens inverse. Au contraire, lorsque la courbé est une ellipse, toutes les sections normales •nt laur coigrbure tournée dans le même sens , ce qui suppose que la surface courbe est située tout entière (Tun même côté daplan' tangent. « >

Puisqu'il exista des relations nécessaires entre les rayons veoC^urs relatifs à certaines lignes du second degré et les rayons de courbure des diverses sections nor-

anales, toute propriété de ces rayons 'vectiars , toute relation (pii les fait dépendre les uns dé^ îintres ,. entrai- ' *■ aéra nécessairement une propriété corréspdhdante des rayons de courbure et établira entre evoL des"" relatidtis . plus ou moins importantes, qui, dans un grand nod^lil^ ie cas , permettront de les déduire les uns des autres.

Ainsi , puisque dans une courbe du second degré il y a, en général, deux rayons vecteurs principaux, ^qpt chacun est un maximum , ou un minimum, il y aura auspi ' pour les surfaces deux rayons de courbure principaux maxima ou mini ma. Nous nommerons sectioxlS {principales les deux sections normales auxquelles coFrespondent ces deux rayons de courbure. Les deux rayons vecteur^*, principaux étant pcrpcndîculstîres Tun à Tautxe, les plans •/ des sections principales se couperoÀt aussi à angle drodft et les rayons de courbure principaux seront dirigés dah^ le / même sens , ou eu sens contraire , suivant que la coùi4)e, lieu des extrémités des rayons vecteurs, sera une eHîgse/ ou la réunion de deux hyperboles cat1}ùguées««03s rayons de courbure représenteront dans, le prcmiericas mima»* ' mum e^ un minimum \ dans le second deux myilna. En d^autres termes, si la cotirbe du second degré est une ellipse, ces sections principales seront des sections normales de plus grande et de moindre courbure ; mais si cette courba est Tensemble de deux hyperboles, les sections principales seront Tune et l'autre des sections normales de plus grande courbure , seulement , leurs courbures se-' ront dirigées en sens contraires ; dans la même hypothèse, les sections normales dont les plans renfermeront les" asymptotes communes aux deux hyperËoles, auront éyidemment des courbures nulles', ou des rayons de courbure infinis^ dcînc les plans des deux sections notmales dont les courbures s'évanouiront formeront des angles égaux avec les plans d^s sections principales.' •

34o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et Féquation du plan tangent deviendra , en ayant <^ard encore à récjuation

(du dp , d(v \ ^

Dans le cas où Ton regardera J^j n^ Ç comme des consuntes, x^y-j z comme variables, cette dernière équation représentera une surface du degré m — i , lieu géométrique des points de contact de la première avec les plans tangents menés par le point (|, yj , Ç). Si la surface donnée est du second degré, la seconde se réduira simplement à une surface du premier degré, c'est-à-dire à un plan, et Ton arrive ainsi au théorème suivant :

Si , par un point donné , Ton mène des plans tangents à une surface du second degré, tous les points de contact feront partie d'une même courbe plane.

Si Ton suppose 1^ = 0, w = o ,.réquation de la surface donnée sera 7/ = r , et relie du plan tangent

du du du ^

Il peut arriver que le plan tangent mené à une surface parmi point donné (x,y, z), ne la rencontre qu'au point dont il s'agît, ou qu'il la touche suivant une ou plusieurs lignes, ou qu'il la traverse. Dans les deux derniers cas, si l'on désigne par

l'équation de la surface, par Ç, yj, ^ les coordonnées variables d'une des lignes suivant laquelle cette surface est touchée ou traversée par le plan tangent, ces coordon-

TRENTE-THOISIÈHE LEÇOH. 35^

dirigés dans uii certain sens, ei le sigms — pour ceux qui sont dirigés* en sens inverse, m sommé dont il s'agit sera ^ale 9 au signe près , à la sonmic ou à la difTérence des quotients que Ton obtient en divisant Tunité j)ar les -. rayons de courbure principaux.

i89. Si Ton suppose la courbe du second degré rap* portée à ses axes principaux, son équation doit se réduire à

ot Ton aura en conséquence

dxdy

De plus, si Ton appelle a, S les angles qu'un rayon vecteur quelconque r fait av6É les axes principaux , ce rayon vecteur partant du centre se trouve déterminé, si la courbe est une ellipse , par Féquation

— = -— cos*et + 7- cos*C = •— cos*« -t-yi^in*», ▼ r* a* 0* û* o*

et si la courbe est une hyperbole, par l'équation

±— = — cos*« — 7-cos*b = --cos*« — t: sm*«: on aura donc aussi , en ayant égard aux équations