II, . . I

- = - (cos*«« -h sm »«) = -.

Ou trouverait aussi que dans ce cas lès valeurs des coordonnées Ç , yj , f , ou des angles a , S , y qui correspondent aux rayons de coui^bure principaux , sont indéterminées.

Les points de la surface pour lesquels toutes les sections normales ont la même courbure s'appellent des ombilics.

Pour que les rayons de courbure principaux soient égaux et dirigés en sens contraires , il est nécessaire que dans l'équation AQ^ -f- BQ + C =o le coeflScient de Q s'évanouisse, et que l'on ait en conséquence

(/?» -h i)t — ^pqs H- (y» -H i)r = G,

Remarfjue, On démontrerait plus simplement la réalité des racines Q' et Q", en supposant, ce qui est toujours permis , que l'on a pris pour plan xy un jlau parallèle au

TRENT9-CIKQliIÈME JLE^N. 387

tît si la section normale est de plus Tune de^ deux sqqlions de plus grande et de moindre courbure , Q devra satisfaire à Téquation (A), page 364. hc cent» du cercle osculateur devient alors ce qu'op appelle uq. des deux centres de courbure de la surface donnée pour le point (x, y y z). Si Ton' veut obtenir Tëcpiation de la surface lieu de tous ces centres de coui^biure, il suffira évidemment d'éliminer les variaUes x, /, z et Q entre les équations

*' i J J^r-riy I ^m-^ J^

""■^' du ^Q' du ""Q* du ~"Q*

eix djr dz

«t Téquation (A).

Exemple : Si^pposons , pour fix^ les idées , que Téquation u = o soit celle d'un ellipsoïde rapport à sop centre et i ses axes, ou que Ton ait

Les équations entire tesqueUes devra ce faire ré)ipiinatiop seront

On peul même (n^ 19i) à ^'équation de la siirface ou de Tellipsoïde substituer la suiv.aiijtie : .

tf»— b^ — jr- r*^ —

Ep mettant ^^s ç^» deux dernier^ équations , a 1^ place

374 CALCUL DIFFÉREnTIBV

de coui'bure , on aura

du ,^ au , du ,

cos<r =- ~ ., ,-

D^ailleurs en différentiant deux fois de suite réquation U = G, et désignant par a, S, y, les angles que fôrmeb tangente prolongée dans un senl«ou dans un autre avec les demi-axes des coordonnées positives, on eu tirera, comme nous Tavons déjà vu,

du du du

— d^x -I- — £/*r -H — rf»z = — Qds*.

dx dy dz • .

la valeur de Q étant déterminée par Féquation

(l=:rT'Cos»» -i--7--cos*o H- --- cos*r ^ ctr' dx* dz*

-h a —, — r-COSb COSy 4- 2 ■ - COSyCOSii -h 2 — — =- cos« COSb. dydz dzdx dxdy

et Ton aura par conséquent

P ^ cos^ Q R .,

Des trois quantités R, Q et 5, la première R dépend uniquement de la position du point (x^ y^ z) sur la surface*, la seconde Q dépend à la fois et de cette position , et de la direction de la tangente à la courbe tracée sur la surface^ d représente toujours l'un des angles formés par le plan osculateur de la courbe avec le plan tangent, ou, ce qui revient au môme, par la normale principale de la coui'be, avec la normale à la surface. Cela posé, il est clair que si Ton donne avec le point (x, y^ z) , la tangente à la courbe, et le plan osculateur, ces quantités Q et R seront connues,

ainsi que coscî^on pourra donc déterminer le rayon de

courbure à Paide de réquation P = — — -cosJ. De plus,

TREMTE-CIMQUIEME LEÇON. 389

celle équalîon , soil en prenaul c* — — = o , ce qui rend

te dernier lerme du premier membre indéterminé, soil en posant

Dans le premier cas on aura

X ai y bn

çii subsliluanl ces valeurs de -, j- dans Téqualion de Tel-

lipsoïde, et supprimant le terme — , on a définitivement pour première courbe d^intersection Fellipse

Pour obtenir la seconde il faudra combiner entre ellc's les deux équations

On tirera de ces dernières

\a) ^ a^^b*' \b) ^ 6«— a»' ou 9 en faisant pour abréger

En substituant ces dernières valeurs de — -, ^~ dans Té-

376 CALCl-L DIFFÉRHMTIEL.

On peut aisément vérifier le théorème qui précède dans plusieurs cas particuliers. Ainsi, par exemple, si par un point donné sur une sphère , on fait passer un grand cercle et un petit cercle qui ai^nt en ce'point la même taiigente, on reconnaîtra sans peine que le ray6n du petit cercle est équivalent au rayon de la sphère multiplié par le cosîttiis de Fangle aigu compris entre les plans des deux cercles, y

Supposons encore que la surface cousbe est la surface de révolution engendrée par la rotation autour de Taxe des X de la courbe y =f(x)y et que Ton demande le rayon de courbure P de la section faite dans la surface par uu plan normal à la courbe génératrice , et passant par le point ÇXyj'j z). L'angle aigu compris entre ce plan et uu second plan pei^ndiculaire à Taxe des a:, sera évidemment égal à Tinclinaison r de la courbe génératrice par rapport au même axe. Ce second plan coupera la surface de révolution suivant un cercle dont le rayon P est égal au signe près à Fordonnécy(a:) de la courbe génératrice* Qn aura donc , en appelant toujours p le rayon de courbure de la section normale , et parce que

COSr = —7 . , /^COST=:P=±/(x),

Les équations qui précèdent se simplifient considérablement dans le cas où Téquation de la surface 11 = o est de la forme z — f{p^->j) = o; on trouve en eflet alors

R = \/p^ -I- ^a ^ , ^ Q = rcos'a 4- 2Jcos«cosC 4- tcos^Zy

COS^ rCOS*<t -h ?.JCOSii COSo -f- f COS'C

TllB9i^KBH:i»QUl£ME LEÇON. Sgl

équations (i) et rëquation de la surface w = /ot. Pojw par-' venir à connaître quelque^-une» des propriétés de cette seconde coui*be, différentîons 1^ équations (i) eu faisant varier à la fois toutes les quantités qu'elles renferment: nous trouverons ainsi

I du du I

d^-di = -d.- + -4,-^,

j du du I

dy — d$i^=z — d. ~- i'-r- f^' 7Z j

-^ Q dy^dy Q'

.„ i du du , i •

* = d=(^rfR+Rrf .1).

Si , en ayant égard à Ja Dc^vaule

du du du

on ajoute les trois premières de ces équations respectivement multipliées par dx , djr^ dz , on trouvera^

dx^ + dy* ^dz* ^{ dx di ^dydn + dzd^)

• / . , ^«^ , . du . . du\

et, par suite,

€ix di + dy dfi + d9 dl^ :=:: O,

Si, au -contraire, on ajouté ces équations respectivement