I . I . . du du du

multipliées par —, 3~ » ^ » on trouvera

/ ^" JÉ . ^ » . ^jr\ * (d^ ,d^ dUjdudti, du'

~\di^^^'^'^df^rq\di''-dx^T/Ty-^Tz'^Tz

ijS CALCUL DlFFÉREMTtEL.

Cela posé, si après avoir multiplié resjlectîvemenf les équations (b) par cos /, cos m , cos /i, okt les ajoute , Q et T' disparaîtront, et Ton trouvera •

cos/l^rir

dxdy

/d*u \dxdjr

dxdz dx

dz\

-^ COS/I- ( -: — r- dx

d*u dz

dz^

.— , —^1 — dif ) =: 0,

\dxdz dydz dz* J

équation que Ton peut écrire sous la^forme très ^mple

du du du

cosld,-^ -H<x)smi/.-7- -i- cos n d.-^ =. o,

dx djr dz

puisque Ton a identiquement

dx * ' dxdy

Les trois équations

d*u .du

——' dz :ir a. — j , dxdz dx

etc.

, , — -du , du

cos/a. -r- -h cos-md. -— - -h cos/i a. -7- ,

dx dy dz '

, du du du

cos / - — h cos m — — h cos/i -p- = o, dx dy dz

cos*/ H- cos* /w -h cos* n =: 1 ,

^utlisent pour déterminer, au signe près, les trois quantiK^^ * cos/, cos m^ cos /*, ou pour fixer la position du pl*^ oscillateur à la section normale dont le rayon de courbu*^ est un maximum ou un minimum.

197. Supposons maintenant qu'ayant mené par le poî ^^ (x, j^, z) une section normale quelconque , on consid^^ sur cette section un second point dont les coordonn^^ soient X + Ar , y + A^, z + A^, menons par ce secc^ ^ point, ainsi que par le point (x,/, x:), deux normales f«- '^ surface , cl par Tuno de cos nomales faisons passer '^^ plan parallèle à Tautrc. Si Ton désigne par /', m', n '^^

TRENTE-CIMQUIÈME LEÇOJV. ^Q^

^ i^^Jy ^)' (Ç' ^' 0» comprennent toujours un le droit; la seconde fait voir que le cosinus de Fangle aé par la tangente à la seconde courbe avec la nore à la surface est équivalent, au signe près, au rapport "e la difTérentielle du rayon de courbure et la différenle de Tare de la seconde courbe. Enfin, si la courbe doncoïncide avec une ligne de courbure, on aura (n^l96)

du du du.

costd.— — h cosmd.— — f- cosnd,-r-:=z o , dx djr % dz

la troisième équation, réduite à

cos/£^{ -4- co&mdn -{- cos/i^{ = o,

mvera que la tangente à la seconde courbe sera comse dans le plau normal qui renferme la tangente à la minière ; et, comme d'ailleurs ces deux tangentes se couit à angle droit, on conclura que la tangente à la seconde Lrbe coïncide avec la. normale au point (a:, j^, z), A son de cette coïncidence , le cosinus que représente le smier membre de la seconde équation se trouvera réi t à ± 1 , et Ton aura

V/ri?« + rfi,» + </Ç» = d0' = ±dp,

^tant Tare de seconde courbe ; il suit de cette dernière ^tion que , dans le cas où la première courbe est une ûe dé courbure. Tare compris entre deux points de la onde courbe est équivalent à la différence des valeurs p qui correspondent à ces deux points ; et conmic dans cas le rayon de courbure p est précisément la partie de ^tigente à la seconde courbe qui se trouve comprise l'e cette seconde courbe et la première, il sera vrai de ^ que la seconde courbe fait , à l'égard de la première, Rce de développée.

i{8o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

On aura donc

cosl' cosm' cos/i' J

fi^l cos/n cosii '

cl par conséquent le plan normal qui renferme une section de plus grande ou de moindre courbure* au point (x^jr^ z) renferme en môme temps la normale à la 8i^ face menée par un second point de la section infiniment voisin du premier. *

198. Oi^ appelle ligne de courbure d'une âurfaa* courbe, toute ligne qui, étant tracée sur cette surface, est tangente en ce point à une section normale de plus grande ou de moindre courbure. D'après cette définition, les valeurs des diilérentielles </r , dy^ dz , ou plutôt des

rapports ^ > ^ v correspondant aux lignes de courbure,

doivent être celles qui répondent aux sections normales de plus *grande et de moindre courbure ; et , puisque ces valeurs se déduisent des deux équations

du , du , du .

■— dx-\- -r- dy -\ -j- dz=L Oy '

du du du

costd. - — h cos md, —. — h cosnd, -—-1=0,

dx dy flz

il est clair que ces deux équations sont précisément lei» équations différentielles des deux systèmes de lignes do courbure. La dernière de ces équations peut , comme on Fa vu, se mettre sous la forme

fd^udx d*u dy d'i$ dz\

\dx^ ds dxdy ds dxdz ds )

, . . / d^u dx d^u dy d^u dz \

/ d^u dx d*u dy d*ti dz \

cosw ( -7— r-r "♦ -T~-T -7 *' -; — v- 1 \ dxdz as aydz ds dz* as'

TREKTE-StXlBME LEÇON. 395

. âectkm normale avec la sectioiti <d>lique , le rayon de MUblire de cette dernière section est donné par Inéquation

faudra toéteasairement qne le' second membre de cette emière équation reste invariable dana te ]>assage de la remière surface à la seconde pour toutes les valeurs des ngles âc, 6, y que fait avec les axes la ungente à Tune iièlconque des sections faites dans la surface : or cette angente étant située daus le plan tangent on perpendi* ulaire à la normale , on aura

p cos «e -|^ 9 cos C = cosy ;,

Toù Ion tire, en substituant pour cosy sa valeur dans *ëquation

cos^ « + co^' ^ + co^* y =^ 1 9 cos*«-hcos*C + (/>cos*-|-^cosff)*= I.

LIktidra donc <|ue pour toutes les valeurs de a, 6, pro- 1res a vérifier cette dernière équation , Texpression

rcos*»+jcosct cosC + /cos*tf

ae change pas de valeur. D'ailleurs les deux surfaces se touchant par hypothèse, les quantités p et g, et par suite le dénominateur \/^p*^q*^i , ne varieront pas dans le [laM^ de Fnne k Tautre ; il faut dont quHl en soit de ntème du dénominateur

rcos' « + 2 ^ cos 4 cosC + ^ cos*C.

Or ce numérateur se réduisant , lorsqu'on suppose cosë ^:^ o, au produit rcos'ôf, et lorsqu'on suppose :iosa=^o, an produit / cos' S, il est évident que les deux

382 CAlXlJL niFFÉRENTlEL.^

Ainsi , par exemple , les lignes de çourbjire d -une dbpsoïde rapporté à son centre et à ses axes se trouveront déterminées par le système des deux éqAations différentielles ' , . r

xdx x^y ^*

'(^« — . r») dydz -\- fî (<?• — a^)dxdz

z H (a» — h*.)dxdy z=^o.

La première de ces deux équations différentielles peut être remplacée par Fécpiation même de rellipsoïde. Pour une surface de révolution on aurait (n** 191) '

du d*u d*u

dz^^' df^'^ dz"

et, par suite, Féquation (3) se réduirait à

et Ton en conclura que les lignes de courbure ne sont antre chose que les sections planes faites par des plans pe^rpcndiculaires à Taxe , ou par des plans passant par Taxe.

Puîsqu'à chaque point d'une surface donnée il existe en général deux sections normales de plus grande ou de moindre courbure , à chacun des points de cette surface correspondront aussi deux lignes de courbure qui, comme les sections principales , se couperont nécessairement à angle droit.

Considérons, en particulier, le cas où Téquation de la surface se présente sous la forme

Pour obtenir la direction des lignes de courbure, <ji"

TRENtE-SIXiÈME LEÇON. 3gy

correspondants aux mômes sections principales, et par conséquent leur point de contact sera un point d'osculalion. Toutefois cette conséquence ne serait pas rigoureuse si la valeur de p donnée par Téquation

cos^ /-cos« + 2^cos« cos? + /cos* C

se présentait sous une forme indéterminée, ce qui arri*veraît si les valeurs des quantités py q^ r, 5, t, ou de quelques-unes d'entre elles devenaient infinies; et, dans ce dernier cas, les deux surfaces, sans être osculatrices l'une de- l'autre, pourraient fournir pour le point commun des valeurs égales des dérivées p^ q^ r, 5 et t.

Corollaire i**". Pour qu'un point dans lequel les deux surfaces se touchent devienne un point d'asculation , il suffit évidemment que dans le passage d'upe surface à l'autre la courbe du second degré tracée sur le plan tangent, et dont les rayons vecteurs sont égaux aux racines carrées des rayons de courbure des sections normales, ne varie pas. Or, une courbe du second degré est complètement déterminée quand on connaît le centre et trois rayons vecteurs menés du centre à trois points de la courbe. De plus . étant donné le rayon de courbure d'une section faite dans une surface par un plan oblique , on en déduit immédiatement, à l'aide du théorème qui lie les rayons de courbure des sections obliques aux rayons de de courbure des sections normales ou de l'équation p=zpcosdy le rayon de courbure de la section normale qui a même tangente , et par conséquent l'un des rayons vecteurs de la courbe ci-dessus mentionnée. Donc, pour qu'un point dans lequel les deux surfaces se touchent soit un point d'oscnlation , il faut et il suffit que trois plans menés arbitrairement par ce point coupent les deux surfaces suivant des courbes osculatrices l'une de l'autre ^ ce

igS CALCUL UIFFÉHEMTIBL.

qui arrivera, })ar .temple, si les rayons de courboredes sections faites dans la première et dam la seconde smfaoe par des plans parallèles aux plans coordonnés sont égam et dirigés dans le. même sens.

Corollaire a"*. Soient maintenant ?i ;= o et i' = o les équations des deux surfaces courbes, u^ u désignant des fonctions, des coordonnées rectangulaires x^j^x. Si Ton difierentie deux fois la première de ces équations par rapport aux variables indépendantes x et 7, qii tih tiendra

du , du du , da

dx d*u S*

d^u dxdz

dxdf '^ dydz ^ d*u d*u

d*u dxdz

du di