ST

du

on en déduira

du « dx

dz

du

dz d*u du du , d*u /du\^

d^u {du\ ,

dx*\dzj dxdzdxdz dz^\dx)

Il - — I • ~i I a

dz) d^u fdu\* d*u du du d^u du du d*u ém da

dxdy\dz) dydzdxdz dxdz dy dz dz* dxdy

€/»« /rf»Y d^u du du d*u /"dày

f ^ dy* \dtj

TREMTEK^fNQLlÈME LEÇON. 385

normales sur la surface, et que nous supposerons èti*e un infiniment petit du premier ordre , leur plus courte distance serait un infiniment petit du second ordre, tandis qu^elle est en général du premier ordre ou de même ordre que Tare. En partant de sa définition , voici comment le célèbre Monge arrivait à Téquation des lignes de courbure :

Supposons, pour plus de simplicité, que Téquation de la surlace soit

les équations de la normale au point (a:, ^, z) sei*ont

ou

Poui' passer de cette première normale à une seconde infiniment rapprochée, il faut faire croître les variables X, j^, z de leurs différentielles; mais les fonctions v^ iv croissent aussi alors de leurs difféi'cntiellcs, et par conséquent les équations de cette seconde normale seront

V"\^dv=.Oy ff' -f- dw = o , ou, en réduisant,

L€»s coordonnées du point de rencontre de ces deux normales seront données dès-lors par les équations

Mais le nombre de ces équations surpasse le nombre des inconnues, et par conséquent deux normales consécutives ne se rencontreront pas toujours : cela n'aura lieu qu'autant que l'équation de condition que l'on obtient en éliminant Ç, >7, ^ entre les écpiatîons qui précèdent sera vérifiée. On parvient facilement à cette équation en éliminant d'abord^ — z entre les deux dernières é(|ualions: on T. 1. .>3

trouve ainsi

(dx^pdz)dq = [dy -\^qd%)dp :

si, maintenant, ayant égard aux relations connues,

dz-=z pdx '^ qdy ^ dp zz: rdx ^ sdy , dq ^=z sdx -^ td)' ^

on substitue , pour dz ^ dp, dq^ leurs valeurs , il viendra

C'est Téquation à laquelle nous sommes déjà parvenus par une autre méthode.

iVbra. Le plan osculateur d'une ligne de courbure en un point donné doit être soigneusement distingué du plan normal qm passe parla tangente à cette ligne. De même, le cercle osculateur d'une ligne de courbure doit être en général distingué du cercle osculateur à la section normale à laquelle cette ligne de courbure est tangente. D n'exîsteen effet, eti général, qu'un contact du premier ordre entre la ligne de courbure et la section principale qui ont seulement une même tangente correspondante aux mêmes

djc dY d" valeurs des trois quantités— , ^-9^9 tandis que lés dif-

férentieQes secondes ^'x, d'^y^ d^z^ etc., dont dépendent le plan osculateur et le rayon de courbure, changeront ordinairement de valeur dans le passage d'une de ces courbes à l'autre.

200. Les coordonnées ^ , y? , ^ du centre , et le rayon o du cercle osculateur à une section normale passant par le point (or, y, z), vérifient, conune nous l'avons vu, les équations

du du du Q R '

dx dy dz

• TRfenfE-SIYlkME LEÇON. 4^1

lactdes deux surfaces. Soit a ce} ordre, et P, Q les points oà les courbes d*intersection normale prolongées dans un certain sens, sont rencontrées par un arc de cercle décrit du- point M comme centre avec un rayon très petit dési- « gné par L Si Ton considère ce rayon comme un infiniment petit du premier ordre, la distance PQ variable avec la position du plan normal sera elle-même une quantité infiniment petite dW ordre marqué par tm nombre constant ou variable dont a+i représentera la valeur unique ou la valeur minimum.

Concevons maintenant que par le point P sitpé sur la première surface on mène une sécante qui forme , avec le plan tangent aux deux surfaces, un angle tj sensiblement différent de o, et rencontre la secondé surface en S. On démontrera, comme nous Tavons fait quand il était question de deux courbes qui se touchent, que la distai^ PS •cra un infiniment petit du même ordre que PQ, et la distance MR du point M à la sécante PS un infiniment petit dtl premier ordre, et Ton déduira inmiédiatement de cette remarque les propositions suivantes.

SS07. Théorème i**^. L'ordre de contact de. deux surfaces qui se touchent en un. point donné M est inférieur d^ujie unité à la valeur unique ou à la valeur, minimum du nombre qui représente Tordre dé la distance infininqmt petite comprise entre les points P et S*ou elles sont rencontrées par une sécante qui fonne,un angle sensible avec le plan tangent commun. à ces deux surfaces, lorscpCpn considère la distance dû piôînt de contact à la sécante dont il s'agit comme un yifiniment petit du premier ordre.

Théorème 2"**. LcM'sque'deux smfaees ont entre elles

un contact de Tordre a , tout plan nCMmal ou oblique qui

forme un angle sensible avec le plan tangent commun â

ces surfaces, les ooupe vivant deux courbes qui ont ehtiie

388 CALCVL DIFFÉRENTIEL.

de Jc, jf, «, leurs valeurs tirées des précédenles, on

trouve

{"-k) i^-k) (r-hf"

Il ne s'agira plus que d'éliminer Q, ou plutôt — fentrè

ces deux formules, pour obtenir Téquation définitive entre$,>7,Ç. .

En substituant au contraire aux différences

fl» L h» L c* L

leurs valeurs

on aurait trouvé

Si Ton coupe la double surface lieu des centres de courbure de Fellipsoïde par les trois plans coordonnés , on (J)tiendra sur chacun de ces plans deux courbes distinctes. Cherchons en particulier les courbes d'intersection de la

double surface dont il s'agit avec le plan sy^ en faisant ^ = o, ce qui entraîne nécessairement z = o. Pour trouver ces courbes on déterminera d'abord les deux valeurs de Q que fournit l'équation

-{—h) '•{'•- k) '•{'•- if °'

quand on y suppose ^=0; or on peut alors satisfaire à

TRBNTE-SIXlkME LEÇON. 4^3

du premier ordre, et de diminuer ce nombre d'une unité. On reconnaîtra de cette manière que les surfaces z=x"4-j^*, r=:x*-+-/*? z=x^-\-y^^ ^=x^+j^*, ont entre elles, à Torigine, un contact du .premier ordre, tandis que les surfaces -? = j:"-t-J^% i^ = JC'*"*"*+j''**S

ont un contact de l'ordre /i, et les surfaces z=:x^+y^y

z = x* +y^y un contact de l'ordre 7.

Corollaire 3"®. En conservant les hypothèses du premier corollaire, et posant Ax = adx^ Ay = otdjr^

F(x -f- ttdXy y -h ady) — f{x -+- oLdx, y -4- »dx) = f («),

la différence F(j:4-Ax, j'+Aj^) — /(x+Ax,j^-+.Aj) deviendra ^(ce)^ et puisque, en supposant que a est un infiniment petit du premier ordre , cette dififérençe doit être un infiniment petit de Tordre a -H'.i , dans le cas où, ^ootnme nous le suppoMins , les deux surfaces ont entre elles un contact de l'oidre a , on aura , en désignant par n le nombre entier égal ou immédiatement supérieur à a

et çt"+* J (a) sera la première des fonctions dérivées de y (a) qui cessera de s'évanouir avec a. On*^ d'ailleurs, comme on l'a vu ,

^(o)=È(*, y) -/(x, r), ^'(o) = dV{x, r)-»/{x, x) , ■ pW{o}=à'¥(x,x)-d'/{x,x), 0(.•>+'^o) = d'+'¥(x,y)—d'+^/(x,x)■,

les coordonnées du point de contact des deux surfaces satisfetpnt donc aux équations

F(jr,/) «=:/(*,/), dV{x,y) = df{x,x),...

390 CALCUL DIPFÉRBIWTISL.

quation de Tellipsoïde , puis efiAçant le terme «^ oit vera pour l'équation de la seconde. courbe oherchée

Donc cette seconde courbe ne sera, comme on défit s'y attendre, que la développée de rellîpse •— -F r7 = i- !

201 . Considérons une courbe quelconque tracée sur k surface que représente l'équation u =0, et considéronsqiK par la tangente à cette courbe au point {x , jr, z) on fasse passer une section normale, le rayon jO du cei*cle osculatew à cette section normale correspondant au point (Xj y^ i^ et les coordonnées ^ , i) , (^ de son centre vérifieront les équations

dx dy dz

d'où l'on tire , . ^ \ du. i du y i du i I «

Q et R sont d'ailleurs (n^ 186) déterminés par les équations

du du du

Qds* zndxd,—, — 1* rfr d,— — |- dz d.-~ , ^ dx ^ -^ dy dz

- = N/(f Hl)v(îT-

Si l'on fait varier le point {x^y-t z) sur là courbe donnée, le point (Ç, r? , ^) variera en même temps et décrira une seconde courbe correspondante à la première, et dont on trouverait les équations en éliminant x^y^ z entre les

TREMTE-SIXI^E LEÇON. 4^^'^

. 1 / . / , ^ dz dz d*z d*z d'z

W-zelsesdënvéespartieDes^, ^, —, ^^, ^.,...

jusqu'à celles d<mt Tordre coïncidé avec le nombre entier égal ou immédiatement supérieur à Tordre du contact, conserveront les mêmes valeurs dans le passage de la première surface à la seconde.

Corollaire 4^"", Lorsque le plan ungent eommun aux deux surfaces n'étant pas parallèle à Taxe des z, Tordre du contact est un nombre entier, il suflSt, pour le aS|termîner, de chercher quelle est la dernière des équations

F(x,j)=/(*,r), dF{x,x.)=df(x,x), d-¥{x,y)^d-f{x,y)..,

d'^F{x,jr)=:d''/{x,x)y

qui se trouve vérifiée pour le point de contact , indépendamment des valeurs attribuées aux différentielles lixy dy des variables indépendantes. L'ordre dés différentielles totales comprises dans cette dernière équation sera précisément Tordre demandé.

Corollmre 5"*^. Si le plan tangent cbmmun aux deux surfaces devenait paiitllèle à Taxe des f , il faudrait, dans les corollaires qui précèdent , substituer Tune des variables jt, y à la variable z. Ainsi , pour montrer que les deux

surfaces z=jt: 3(1 — y^J^j z = x~(i-^j^')* qui touchent

à l'origine le plan jz ont en ce point un contact du

second ordre , il suffira d'observer que leulto équations ré-

2 3 solues par rapport à x prennent les formes x = .,

X ■=. V . et que la différenoe ^ ^ est un

infiniment petit du troisième ordre , quand on considère 7" et z comme des infiniment petits du premier.

Qb peut d'ailleurs choi^r toujours pom*,axe des z un axe qui fie soit pas parallèle au plan tangent mené p^r le

'ig2 CALCUL DIPFÉRRIITIEL.

et l'on en conclura

du ^ du , du ,^

ou, ce qui revient au même,

— diA- — d u^ — dt

dx df dz ^ dp

Rl/é/|»H-rf„»-+.iiÇ« "*" V^di^ + dn^ + dC*

Enfin, si en appelant /, m, n les angles que la perpendiculaire au plan de la section normale fait avec les axes , et en ayant égard aux équations

cos/^ + cosm dy '+'COsndz = o,

du du du,

ces / -— + cosm — — h cos« -r- =: o , dx dy dz

on ajoute de nouveau les mêmes équations respectivement multipliées par cos/, cosm, cos/i, on trouvera

cos/^S -f- co^mdn + cosndl^

I / du du du •■

= — — ( cos Id. —- + cosmd.— — |- cosnd.—- j. %2 \ dx dy dz !