Reprenons les trois équations

dx di -^ dy dti '•\' dz dJ^ =: o , -Hi+-d,-^-di: ^

cos / rf{ -f- cos/w r^if -f- cos « rfÇ

I /■ du du du\

=r — — cosld, — 1- COS/it d. — h cos/i d.—-\:

R\ dx dy dz)

la première exprime que les tangeiiles menées à la première et à la sec^onde courbe par les points rorrespon-

■ÇPB

TRENTE-SEPTIEaiE LEÇON

T>es surfiicesque peuvent engendrer , en se mouvant chml l*espàc6, dc« ligne* droilee ou courbes de forme constante ou variable.

208. Cousidéi*oiis une ligne droite ou courbe représen- * tée par deux cquaiions çpii repferment avçc les coordon-. nées rectangulaires Xyjr, Zy deux paramètres ouconstaiites arbitraires c et c, ; si Ton -résout céi équations par rappOBt aux conetantes.dont iLs^agit, on en tirera li = c, 1^ = c, , Il et i' désignant deux fonctions des variables Xy Y y z.'De plusy si Ton attribue successivement, aux constantes c et c, une infinité de valeurs arbitraireôm^nt choisies, la ligne représentée par le^ équations m = c, ^^=0, , changera de position , souvent même de forme , sans décrire aucune surface déterminée ; mais ^si Ton établit entre c et c, une relation quelconque , si Ton suppose^ pour fixer les idées, c,==y(c), (j>(c) désignant une fonttioii de la constante c , les équations u = c , (/ = ^o) représenteront une ligne dont la forme et la position sei*ont complètement déterminées pour chaque valeur particulière de la constante c. Donc si Ton attribue successivement à cette constante une ii^finité de valeurs, la ligne en question se mouvra de manière à engendrer une certaine surface dont Téquation sera «^ = ^(1/), ou ce quc^Fon obtient qu^teid, entre les deux équations de la courbe, on éli-

394 GàLCUL DIFFÉRENTIEL.

Des «urfcoeft q«l Mut OMVIatriees Tone dt IVutre en un point qui tear est comman. — Sur les divers ordreB de contact det suriaces courbet.

905. On <lit que deux surfaces sont oseulatrices Tune de l'autre en un point qui leur est commin lorsqu'elles ont en ce point, non-seulement le même plan tangent ou la même normale, mais encore des sections principales comprises dans les mêmes ]dans normaux, et les mêmes rayou de courbure principaux dirigés dans les mêmes sens. Alors le contact qui existe entre les deux surfacei prend le nom d'osculation. Concevons que, dans le même cas , on mène par le point commun aux deux surfaces un plan quelconque normal ou oblique : il coupera ces deux siu^faces suivant deux- courbes qui auront nécessairement le même rayon de courbure : car d'une part, les rayons de courbure des sections normales ne dépendent que des rayons de courbure principaux et de la direction de la tangente à la section normale ; de l'autre , les rayons de courbure des sections obliques sont complètement déterminés quand on connaît le rayon de courbure de la section normale correspondante et l'angle que font entre elles ces deux sections : or ces quantités dont dépendent les rayons de courbure sont évidemment les mêmes pour les sections faites par un même plan dans les deux surfaces oseulatrices. Cela posé, comme en appelant â Tangle de

TRENTB-SBPTIÈME LEÇON. 4P9

tout Fespace^ mais si Ton suppose CiZ=^(c)j les expiations

xoosC — ^cos« = c, xcosy — zoos«=:^(c),

représenteront la génératrice d'une siuface cylindrique qui aura pour équation

xeosy — JC0S«=:9(xC0sC — jr 006«).

On aurait pu prendre, pour représenter la génératrice, les deux équations

et réquation de la surface cylindrique aurait été

/, j? H- m,/ 4- ni « = ^ (to -+- mr -+• nz).

On Toit par ce qui précède que pour obtenir Téquation finie d'une surface cylindrique , il suffit d'établir une relati<m quelconque entre deux fonctions linéaires des varia- Mesx,jr, z.

a™' Exemple : .On demande l'équation générale d'une surface conique, c'est-à-dire d'une surface engendrée par une droite mobile qui passe constamment par un point ' donné. Appelons Xq^J^o) ^o ^^^ coordonnées constantes de ce point qu'on appelle le sommet du cône, a, 6, jr les angles variaUes formés par la génératrice avec les axes^ 1^ équations de cette génératrice seront

X — Xq __ J^— Jo__S — gp

oos« cosC cosy *

X — Xo COS« X — Xo cos« ^ '

et la surface conique aura pour équation

JC Xo XX—XoJ '^\X— Xo/

4lO CALCUL DIFFÉRElfTIEL.

cette valeur de z — z^y est précisément celle que l'on obtiendrait en égalant à o une fonction homogène quelconque des trois différences x— Xq, j^ — y^^ z — z^. Si Ton prenait Torigine pour sommet de la surface conique , on aurait

aro=o, ro=o, »o=i=o, zz=zxp\^\

et pour obtenir Téquation de la surface conique, il foffirait d'égaler à o une fonction homogène quelconque des variables x^y^z.

3"** Exemple : On demande Téquation d'une suriice conoïde engendrée par ujie droite mobile qui passe constamment par un axe donné, en demeurant perpendiculaire à cet axe. Si l'axe dont il s'agit coïncide avec Taxe des z^ les deux équations de la génératrice et Téquation de la surface conoïde seront

en sorte que l'ordonnée de cette surface se troBvera exprimée par une fonction homogène de J? et de jr du degré nul.

Supposons maintenant que l'axe de la surface conoïde coïncide avec une droite menée par un point donné x^. Joj ^o9 d^ manière à former avec les- axes des an^esa* 6, y. La génératrice de la surface pourra être considérée conmie produite par l'intersection de deux plans moUles* dont l'un passerait constammex^t par Taxe de la surface, tandis que l'autre serait perpendiculaire à cet axe. tîcmr mons X, |ji. V les angles que fait avec les axes la perpendiculaire au premier plan, son équation sera

(X — Xo) ces A 4- (j^ — yo) COSf* -h {m — So) cos » = o.

Les angles X ^ fx^ v satisferont de plus à la condition cos« cosA -f- cosC cos^ 4- cosy ces» — - o.

trbute-septième lbçoh. 4ii

De ces deux équations réunies on lire

COSA cos^

Cr — Xo) cosy — (a— Zo) cosC "" {z—Zo) cos«( — (a?— ar©) cosy

ces»

•"" [x—Xo) cosC — (r — Jo) cos« '

{y—JTo) cosy — (z — gp) COSC COSA

{x — Xo)cosy — (z — Zo)cos« cos^

L^équation du second plau perpendiculaire à Taxe sera évidemment de la forme

de sorte que les équations de la génératrice et de la surface conoïde seront

{y — jo) cosy — (z — Zq) coftC •

{x — Xo)cosy — (« — Zo)cos« ' xcosflt -hj^cosC-|-zcosy=: ^(c),

oos« -f- rcosC-hz

^ r (^ "^^o) cosy — (z — Zo) cosC "]

cosy=^ f -^ ) \ .

L(x — Xojcosy — (z — Zo)cos«J

4"* Exemple. Concevons que l'on demande Féquation finie d^une surface de révolution , on pourra prendre pour génératrice de cette surface une courbe plane tournant antoiir d*un axe nommé axe de révolution et situé dans le j^puB de la courbe, ou, ce qui revient au même, un cercle dont le rayon serait variable , mais dont le plan resterait toujours perpendiculaire A Taxe dont il s'agit , et dont le centre serait situé sur ce mén£e axe. Cela posé, admettons d'abord que l'axe de révolution coïncide avec l'axe des z, les deux équations du cercle générateur seront de la forme

et, par suite, Féqualion de la sui*face de révolution sera

4oO CALCUL DIFFÉRENTIEL.

fasse à six conditions; dès-lors, puisque réquatioii générale d'une sphère ne renferme que quatre constantes dont on puisse disposer, savoir, son rayon et les trois coordonnées de son centre , et que ces quatre constantes ne suffisent pas pour satisfaire à six conditions, il en résulte qu'il n'existe pas en chaque point d'une surface donnée de sphère osculatrice, ou qui ait avec cette surface on contact de second ordre , au lieu qu'il y a toujours un cercle osculatcur pour chaque point d'une courbe à simple ou à double courbure.

On peut assigner une raison plausible de cette difTérencc : le caractère propre de la sphère , c'est que sa courbure est la même dans toutes les directions autour de l'on quelconque de ses points , tandis que pour une autre surface cette courbure varie généralement d'une direction à l'autre , il ne pourra donc pas arriver que les rayons de courbure des sections faites dans 1^ sphère et dans la surface soient égaux, si ce n'est dans certains cas particuliers, par exemple si le point que l'on considère sur la surface est un ombilic.

L'équation générale de la surface d'un ellipsoïde contient neuf coefficients constants: si donc on donne un point M sur une surface donnée, on pourra toujours déterminer une infinité d'ellipsoïdes qui seront osculateurs de la surface en ce point.

206. Considérons plus généralement deux surfaces qui se touchent en un point donné M. Si par ce point on mène un plan normal aux devff surfaces, les deux lignes d'intersection seront tangentes l'une à Tauire, et auront entre elles un contact d'un certain ordre, cet ordre pouvant du reste demeurer toujours le mùme ou changer de valeur avec la position du plai> normal. Le nombre qui représente l'ordre de contact des deux lignes quand il est invariable, ou sa valeur minimum dans le cas contraire, sert à mesurer ce que Ton appelle l'ordre de con-

àe manière à engendrer une certaine surface ; or, la forme et. la position de cette surface dépendront évidemnient de la nature des fonctions f i , f i , . . . . que Ton peut choisir arbitrairement^ et pour obtenir son équation, il suffira d^éliminer c entre les deux équations

F[^>r>«>^>fi W> 9»{c) ]=o;

mais on ne pourra en général effectuer cette élimination qu^apirès avoir remplacé les fonctions arbitraires f i, f ,, . . . par des fonctions déterminées de la constante c.

On pourrait faire dépendre les unes des autres plusieurs des fonctions Qi, ft? fs,.... et prendre, par e:^mple, pour fi, ^89 1^ déri véer successives de la fonction <fi(c), enposant(j>»(c) = (j>;(c), yj (c) = 9" (c)

SIX). Lorsqu'une surface est engendrée par le mouvenlent d'une ligne droite ou courbe dont les équations renferment une fonction arbitraire , on peut déterminer cette fonction de manière que la surface passe par une ligne donnée qui s'appelle alors la directrice.

Soient toujours ^ = c, w^ f (c) les équations de la génératrice, et/(j?,j^j -2) = o, F(x,jj z)^=o^ les équations de la directrice, ou, ce qui revient au même, les équations de deux surfaces qui la renferment. Pour déterminer la nature de la fonction f , il suffira d'assujédr chaque génératrice à passer par un point de la directrice \ la fonction (f devra donc être choisie de telle sorte , que les quatre équations qui précèdent soient vérifiées simultanément par ui^ système unique de valeurs de x^ y^ z: par conséquent la valeur de f (c) se déduira de Féquation prodcdte parTélimination des coordonnées Xyj^ z entre ces quatre Sfliations. La nature de la fonction (f (c) étant ainsi déterminée, l'équation iv=:f(i^), qui ne renfermera plus rien d'arbitraire, sera l'équation de 1^ surface

4l4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

décrite par le mouvement de la génératrice s'appujant dam toutes ses positions sur la directrice donnée.

21 1 • Si Von voulait déterminer la fonction (f de manière que la surface fut circonscrite à ilne surface donnée, il faudrait chercher d'abord les équations de la ligne de contact des deux surfaces, et Ton procéderait ensuite, comme on vient de le dire , en prenant pour directrice la ligne dont il s'agit. Or, soit u=o Téquation de la surfisice ckmnée \ la normale menée à cette surface par nn point quelconque {Xyjr^ z) de la ligne de contact formera avee les axes des angles dont les cosinus seront proportionnels am

dérivées partielles j-'i -7-1 ^, tandis que la tangente menée par le même point a la génératrice de la surface forme avec les mêmes axes des angles dont les cosbus (n^ 156) seront proportionnels aux quantités

dç div dp dw dp dw dç dtv ^^

dy d% dz dy ' dz dx dx d%

dç dw dp dw

dx dy dy dx^"

Mais puisque, par hypothèse, la surface décrite par la gé* nératrice doit être circonscrite à la surface u = o, la normale de cette dernière surface doit être perpendiculaire à la génératrice. On devra donc avoir pour tous les points de la. courbe de contact

^du ^du du

et les équations de cette courbe de cojpitaet qui, dans Thypothèse admise, deviendra la directrice de la surface

IV = (p (i.), seront u = o, P— + Q^ + »^=o.

Quoique Ton puisse déterminer la forme de la fonction f à Faide de la méthode que nous venons d'exposer.

TRENTE-SEPTIÈME LEÇO^. 4^^

OU parviendra plus facilemeut à Féquatiou définitive de la surface qui a pour génératrice la ligne

et pour directrice la ligne

en procédant comme il suit. Désignons désormais par ^ , y? , ^ les coordonnées courantes de la génératrice , et par Vj W ce que deviennent les quantités i', iv quand on y remplace x^y^ z par |, >î, (^; les équations de cette génératrice deviendront V = i^, W = iv. Or si Ton élimine x^jTyZ entre les quatre équations

on obtiendra une équation nouvelle qui renfermera les seules coordonnées ^ , y? , ^ , etqui sera vérifiée pour un point quelconque de Tune des génératrices; donc cette équation sera précisément celle de la surface ci-dessus mentionnée.

De même, si Ton élimine x^ y, z entre les quatre écpiations

«, -^du ^du ^du

on obtiendra Féquation engendrée par la ligne ^^=0, t*' = ç(c), et circonscrite à la surface u-=±iO*

212. !**■ Exemple : On demande Téquation de la surface cylindrique qui aurait pour directrice une courbe plane donnée par les équations

X cos >^-\- y C08/4 -f- z cos» = K , F (j;, j^, a) = o ;

X, fx, V sont les angles que ia perpendiculaire an plan de la courbe fait avec les axes. Leà*' équations de la génératrice seront de la forme = 5- = , et en ap-

coê« roft% cosy ^

4b4 CALCUL DIFFÉHENTIEL.

on, ce qui revient au même, aux équations

<i*F « €/*F rf"F </■/

Ces dernières formules devant subsister queUes^que soient les yaleurs finies attribuées aux différ^tieUes dXj éfy^ eiH traîneront évidemment les suivantes :

F^^ .\^fi^ r\ ^F-^/ dY df d^Y^d^f

<i«F d^f d^Y d*/ dxdy dxdy ' dy^ ^ • *

rf-F rf"/ //"F • //»/ i/^F rf«/

//x" rfr"' rir*"'fl{)^ dx^^dy^'" dxdy*^' dxdy"^^^

Par conséquent, lorsque deux surfaces se touchent en un point où le plan tangent n'est pas parallèle à Taxe des z^ non-seulement, pour le point dont il s'agit, Tordonnée z considérée comme fonction des deux variables indépendantesx,j^,maisencoresesdifrérentielles J^,//'z. . . d'*~^z.

^ellipse ~ 4-*^ :?= i, rëquation de la surface cylindrique

era

2*^*" Eocémple. Ou demande Téquation d'une sfH^ce :ylindï*ique circonscrite à une Siiitre àurface donnée « = o. ...

Pour (obtenir son équation^ il/faudra, d*ft|^s ce que lous avons dit, éliminer x^y^ z entre les quatre éqma-

iions

du dw ^ ^ du

^' dx dy dik

coSM coèC qûfty*

Supposons que. la surface m = o est i'ellipçcroe

on aura ^ , ^ -^^

au du ^ du

■T- crtifit + -7- cost + ^- cosy*

cfr «(r ^ > ** '

^^cosa+^sC-^^cosyz^^ ^r\ .^, +~:^=o,

<!*£ y If 3c

et en réduisant, — r + tt 4- -r ^^ i •

Désignons de plus par îîR celuî.jies diamètres de Tel-

lipsirïde qui seik parallèle aux génératrices dû cylindre,

1^ coordonnées de i'extk*émi^ de . ce diamètre seroQl

Rcosa^ RcosS, Rcosy^ et, comme elles doivent véjificr

Téquation de Vellipsoïdé ,' 4>n aura ,

ces** - cos'^'' ces*

4o6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

point de contact des deux surfaces. A Taide de cette remarque jointe à la définition des deux surfaces oscuUtrices, on conclura génëralement que deux surfaces qui ont entre elles un contact du second ordre ou d'un ordre plus élevé sont osculatrices Tune de Tautre, et récipro* quement que deux surfaces osculatrices ont au point d'oir culation un contact du second ordre ou d'un ordre supérieur au second.

TRENTE-SEPTIÈME I.EÇOW. 4*9

tangent en deux nouveaux points (x,jr, ^), (X, Y, Z)-, Ton désigne par r, Sj t les distances du centre de psoïde aux points (x, jr, ^)î ($ » >3 > f ); (X, T, Z), on évidemment *

substituant ces valeurs dans les équations^ j" 3* Xcostf YcoïC Zcosy i

îndra

lemières équations, combinées avec' Téquation de la tce cylindrique circonscrite, la tranAfonneront en

__,=- ou - = - + -.

L* est la forme la plus simple que puisse. pren^i^el'équade cette surface.

k Tellipsoïde on substituait un byperbol^e.^à i{ne eux nappes représenté par Téquation