ou
lation de la surface cylindrique ''circonscrite à cet îrboloïde serait, dans le premier cas,
iiis le second «
^ ^{costf j f cosC îcosy
rt» b*
4o8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
mine la quantité c qui seule varie d'une courbe génératrice à Tautre. La règle générale , pour trouver Téquation de U surface engendrée par les positions successives de la couil)e, est donc très simple. Il faut, i^ résoudre les équations de la génératrice par rapport aux deux paramètres variaUes c et 6, ; Q? exprimer que Fun de ces paramètres est fonction de Tautre ^ 3^ éliminer les deux paramètres en substi*' tuant pour chacun sa valeur enx^jr^z tirée des équations de la génératrice. Il importe de remarquer que la couriie donnée u=: c, u=:c,ne devient proprement génératrice que du tnoment où les deux constantes sont liées l'une avec l'autre .
i^*" Exemple : On demande l'équation générale d'une surface c]^ndrique, c'est-à-dire d'une surface engendkée par le mouvement d'une droite qui reste constamment parallèle k elle-même. Si l'on nomme a^ 6 , y les angles constants que doit former cette droite prolongée dans un certain sens avec les trois axes des coordonnées positives, et x^ jTq, Zq les- coordonnées variables d'un de ses points, ses équations seront
x — Xn r — r* z — z
co3« çosC cosy '
OU
arcosC — X CCS* = XqÇOS^ — j^'ocos « = c , xcosy — zcos*=:^oCOSy — ZoCOStf =c,,
c^'c^ désignant, pour abréger, les constantes arbitraires XoCOsê — j^ocosa, XoCosy — ZoCOsa. Si Ton attribuait aux constantes c et c. une infinité de valeurs sans établir entre elles aucune relation , la droite
poui'raitsc mouvoir de manière à remplir succcssivemenl
TREinnil-SBPTIÈliE LEÇON. 4^9
it Tespace*, mais si Ton suppose c^ = (f(c)j les éqpiations
xcosC — j^oos« = c, xco%r — «cos«=:^(c),
présenteront la génératrice d'une surface cylindrique li aura pour équation
xcosy — j^COS«:=^(xcOsC — / 006«).
1 aurait pu prendre, pour représenter la génératrice, les ux équations
Féquation de la surface cylindrique aurait été
/,4? -f- iw, / -h tt « = ^ (i^ 4- ntf -f- nz),
1 voit par ce qui précède que ix>ttr obtenir Féquation lie d We surface cylindrique , il suffit d'établir une relam. quelconque entre deux fonctions linéaires des varia- BSX,jr,z.
a»« Exemple : On demande Téquation générale d'une rface conique, c'est-à-dire d'une surface engendrée par le droite mobile qui passe constammenè par un point nné. Appelons Xo 9 J'o) ^o ^^ coordonnées constantes ce point qu'où appelle le sommet du cône, a, 6, y les gles variables formés par la génératrice avec les axes ^ i équations de cette génératrice seront
costf cosC cosy
X — Xo C08« 4? — Xo COS«
la surface conique aura pour équation
? — Xo \X — Xo/ \X — Xo/
4lO CALCUL DIFFÉREUTIEL.
cette valeur àe z — z^ est précisément celle que l'on obtiendrait en égalant à o une fonction homogène quelconque des trois différences x^-x^^y — jo^ ^ — ^o- Si Ton prenait Torigine pour sommet de la surface conique , on aurait
et pour obtenir Téquation de la surface conique, il suffirait d'égaler à o une fonction homc^ène quelconque des variables x^jr^z,
3"^® Exemple : On demande Téquation d'une surface conoïde engendrée par ujie droite mobile qui passe constamment par un axe donné , en demeurant perpendiculaire à cet axe. Si l'axe dont il s'agit coïncide avec Taxe des z , les deux équations de la génératrice et l'équation de la surface conoïde seront
en scnrte que l'ordiininëe de cette surface se tnmvera exprimée par une fonction homogène de or et de jf* du degré nul.
Supposons maintenant que Taxe de la surface conoïde coïncide avec une droite menée par un point donné x^, Jot ^o") ^^ manière à former avec les axes des angles a. 6, y. La génératrice de la surface pourra être considérée comme produite par l'intersection de deux plans mobiles, dont l'un passerait constamment par Taxe de la surface, tandis que l'autre serait perpendiculaire à cet axe. Nommons X, fx. V les angles que fait avec les axes la perpendiculaire au premier plan , son équation sera
(X — Xo) CCS A -h ( J — Xo) COSfi. -h {s «o) «>S f = o.
Les angles A , |ut, v satisferont de plus à la condition
COS« COfA -f- COSC COS^ -f- COSy COSi' — o.
TREWTE-SKrTfKME I.K<,:OW. 4^'^
lion (Ir lasiiila^H: conique sn réduili)
Concevons, poui- fixer les idées, (|ue la direclrico soit
rdlipsc z =o, — + yY = i , réc|uation de la surface» 4'onique sera
Supposons maintenant que la surface conique doive t'tri' circonscrite à une autre surface i/ = o^ comme en chaque point de la courbe de contact des deux suifaces, la généra tric*e de la premièi^e et la normale à la seconde- se couperont à angles dix)ils, les coordonnées x, y, « de cette courbe vérifieront évidemment les équations
Cl pour obtenir Téquation de la surface conirpie ,' il ne reste plus qu'à éliminer a:, j^, z entre ces deux équatiops Jointes à celles de hi génératrice.
Cçncevons, par exemple, que la surface conique doi^e
être circonscrite à l'ellipsoïde - -f- ~ -(- - = i , on dr--
vra avoir
et eu réduisimt
la courbe de contact sera.une courbe plane 9 et en ayapt
4ia CALCUL DIFfÉnfiNTIEL.
Si Taxe de révolution coïncide avec une droite mçnëepar un point donné Xq , /o 9 ^o^ ^^ manière i former avec les demi-axes des coordonnées positives des angles a, 6, y, le cercle générateur sera évidemment la courbe d^intersection d'une sphère qui aura pour centre le point x^^ j^o 9 '^o 9 et d'un plan perpendiculaire à Taxe de révolution ; les équations de ce cercle et Téquation de la surface de révolution seront dès-lors
xcos« -f-/ cosC -f- « oosy = ç,
(jc — «o)* -h (r — /o)* 4- (» — ao)*= ^ (jccos « -hr cos C -h s cosy).
209. On pourrait, en généralisant ces principes, faire mouvoir dans Tespace des lignes tellement choisies, que la construction des surfaces engendrées par le mouvemeni de ces lignes dépendit de plusieurs constantes ou fonctions arbitraires. Considérons en effet une ligne droite ou courbe dont les équations soient
et renferment avec les variables x, jr^ z, plusieurs paramètres ou constantes arbitraires c, Cj, c,,. . . Si l'on attribue sucoessivement à ces constantes une infinité de valeurs arbitrairement choisies , la ligne en question changera de position, souvent même de forme, sans décrire aucune surface déterminée , à moins que l'on n'établisse entre les constantes c^Ciy Cf^. , , . des relations telles que la valeur de l'une étant donnée , les valeurs de toutes les autres s'en déduisent , en posant , par exemple ,
c, =<p, (c), ca=^, (c), C3 = (p3{c) ;
f 1 •> ?s 9 ?3 9 • • • • désignant des fonctions de la constante r. • Dans ce cas, si Ton attribue successivement h cette constante une infinité de valeuis, la ligne en question se mouvra
TRElKTE-SEBTllSME LEÇON. 4^^
Concevons à présent qu'une droite soit menée du centre de Fellipsoïde à un point (1, yi, ^), choisi arbitrairement aur la surface du cône circonscrit. Cette droite coupera Fellipsoïde et le plan tangent qui touche rellipsoïde à Textréinké du rayon R en deux nouveaux points, dont les coordonnées jr , ^, ^ , et X, Y, Z , vérifieront les équatiAfti
«* j* «* Xcos« Ycos^ Zcosy i
De plus , si Ton désigne par r, s^ t les longueurs mesurées 8UP cette droite , à partir du centre de Fellipsoïde , et qui aboutissent aux trois points (x^jr, z)-^ (Ç, t}, Ç)î(X, Y,Z), on aura, comme on Fa vu plus haut,
et par conséquent
Telle est la forme la plm simple sour laquelle on puisse * [présenter Féquation de la surface conique circonscrite à • Tellipsoïde.
Si à Fellipsoïde on substituait Fun des hjpedboloïdes
représentés par les équations **
Féqoalion de la sur&ce conique circonscrite «e réduirait à Fune des suivantes :
r+ï7 -77+ • ;-\;^ + ïr-jï+«j (^j;+ p-^ + 'j-
4l4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
décrite par le mouvement delà génératrice s'appuyant dam toutes ses positions sur la directrice donnée.
211. Si Von voulait déterminer la fonction (f de manière que la surface fut circonscrite à une surface donnée, il faudrait chercher d'abord les équations de la ligne de contact des deux surfaces, et Ton procéderait ensuite, comme on vient de le dire , en prenant pour directrice la ligne dont il s'agit. Or, soit u=t) Téquation de la surface donnée ; la normale menée à cette surface par nn point quelconque (x, j", z) de la ligne de contact formera avec les axes des angles dont les cosinus seront proportionnels aiix
dérivées partielles ^^ -j-^ ^ , tandis que la tangente menée par le même point à la génératrice de la surface forme avec les mêmes axes des angles dont les cosinus (n^ 156) seront proportionnels aux cpiantités
dp div dv dw dp dw dp dw
df dt dz dy '^ dz dx dx d% ^ '
dp dw dp dw
dx dy dy dx'~'
Mais puisque, par hypothèse, la surface décrite par la génératrice doit être circonscrite à la surface w == o, la normale de cette dernière surface doit être perpendiculaire à la génératrice. On devra donc avoir pour tous les points de la courbe de contact
^du (\^^ TX^^
dx dy dz '
et les équations de cette courbe de coptact qui, dans l'hypothèse admise, deviendra la directrice de la surface
,i. = (p (c.), seront z^ = o, P — + Q;^ + E;j^ = o.
Quoique Ton puisse déterminer la forme de la fonction f à l'aide de la méthode que nous venons d'exposer,
TRENTE-SEPTIÈME LEÇOM. 4^^
m parviendra plus facilement à Téquatiou définitive de a surface qui a pour génératrice la ligne
A pour directrice la tigne
f{xy y,z) =o, F{x,^, z)=o,
m procédant comme il suit. Désignons désormais par ; , 19 9 ^ les coordonnées courantes de la génératrice , et jar V, W ce que deviennent les quantités v^ iv quand on j remplace x^y^z par |, >î, f ; les équations de cette gélératricc deviendront V = i^, W = iv. Or si Ton élinine x^y^z entre les quatre équations
/(x, j,z)=:o, F(jr, 7, z) = o, V = P, W = «',
m obtiendra une équation nouvelle qui renfermera les eules coordonnées Ç, >3î Ç, et' qui sera vérifiée pour un >oint quelconque de Tune des génératrices; donc cette kjuation sera précisément celle de la surface ci-dessus nentionnée.
De mième, si Ton élimine x^ y^ z entre les quatre squations
^ du ^ du ^ du
m obtiendra l'équation engendrée par la ligne ^^=0, V = 9(c), et circonscrite à la surface u =± o.
212. i^** Exemple : On demande Téquation de la surface cylindrique qui aurait pour directrice une courbe >lane donnée par les équations
xcosA -h / coa^ + zoos» =K, F (x, j^, 2) = o;
l, fA, V sont les angles que la perpendiculaire au plan de a courbe fait avec les axes. Letfr'éqaationB de la généra-
rice seront de la forme = 5- ^ , et en ap-
CM« rost» co«y '^
4l6 CALCUL DlFFÉRËMtlfiL.
pelant i Tanglé de la gënératrice avec la perpendiculaire au plan de la directrice, on aura
coa/ = oosâe cosA + cos^co9^+ cosy cos».
Des équations qui précèdent, on tire
î — x n —y ?--« (g--ar)cosA-f-(y— j)cos^-t-(C— g)coS' co8« cosC cosy oos«oosA+oos^cos^+ cosycosv*
et par suite
cos * , > * = Ç — ^J^(Ç COS A -f- ijf COSf*-f- Çôos » — K) ,
^ =» ^(f cosA4-«cos/«-f-Ccos» — K),
cos o
y cosy . ^ ^ ^ .
« = ç T,(ç cosA-+-iif cos/m4-Çco»» — K);
cos w
et en substituant les valeurs de x,y, z dans Féquation F ( X , ^9 z) = o , on obtiendra pour Téquation de la surface cylindrique
P i(fC08X-»-llC08tt-h4^008» — K), M 1 ( f COS X H- OtC .), t t{|C«'^+*'
* C08^^* r- s /» co»/'^* '' ^ cos/^*
Lorsque le plan de la directrice coïncide avec le plan xy, elle peut être représentée par deux équations de la forme 2 = 0, F(Xyy) = o, et Téquation de la surface cylindrique se réduit à *
^ /{cosy — Çcosflt 9COSy — Ç cosf
COS y cosy
Si la directrice devenait parallèle à Taxe des z , on aurait
a=r6= -,y = o,et la surface cylindrique se réduirait
à l'équation de la base : F (^ , yj) = o.
Concevons, pour fixer les idées, que la directrice soit
. TIlÉWrEHltePTIÈME LEÇON. 4^9
Tettipse — + ~ :?= i, Téquation de la surface cyli^idrique
$era
({cosy — Çcos«)* ff côsy — tcosCy
a"** Exempte. On demande l'équation d'une scurCstce cylindrique circonscrite à unettutre surface donnée ei = o. ,
.Pour obtenir son équation , il 'faudra, d'a:^ès ce que nous avons dit, éliminer x^ y^ z entre les quatre éqmalions
du ^ dti ^ , du
tt = 0. -r-C08«+ -7-C0Sb-l--pC08y = 0,
^' dx dy dsk
cosi« coéC poftv' Supposons que la surface ii = o est l'el
te - -r .
i>n aura
/tt du ^ du
— cc»a + -7- COS6 4- -r- cosy"
/r dy dz.
=3r-cosa+f-cosC-H--co5y==^ î^. j.» + r^=®;
3t en réduisant, t + Tr + -: =i-
Désignons de plus par lîR celui .des diamètres de rd-
Jps^ïde qui sera pardlèle aux génératrices dû cylindre,
es coordonnées de i'extrémijyé de ce diamètre seront
dcosa, BcosÊ, Rcosy; et, comme elles doivent vérifier
'équation de l'ellipsoïde , on aura .
cos*«c cos'^' cos*y J^ 1 T. i: ' ^7 .
4l8 CALCUL UIFFÉRENtlEL.
et par suite
/* X cos« , . cosC rosy
cosflc co»^ cosy cos'ce ^ cos'g co8*y
\ rt* ^» "• r* / Fcostf vcosC îcoiy
(cosa ^ ycosC , 4^^sy^
4' >»' Ç* /{cosa. Jfcos^ ÇcosyV J. + ^. + ^-'-ï^ I,— «'- + --ïi f-— — )•
Telle est ||é<{uati(m de la surface cylindrique circonscrite à Tellipsoïde. Pour lui donner une forme plus simple, M. Cauchy remarque que ]e plan tangent à Pdlipsoïdc au point (x, j, z) a pour équation, en appelant X, Y, Z ses coordonnées courantes ,
ou
Xo: Y/ Zz a:' ^•'
d'on Ton conclut, en ayant égaixl aux équations
:c = Rcos«, j=:RcosC, z = Rcosy, Xcos« Ycosb Zcosy 1
Supposons de plus fpi'on mène une droite; du centre dt* rdlipsoïde à un point (^ , y?, ^) pris sur la surface du cylindre circonscrit. Celte droite coupc^ra rdlipsoïde cl le
TREMTE-SEPTIÈMK LE^OK. 4^1
rappoil
»>o» x-*»lii— J'o)cos/ui-K^— »o)co«»-[( f — xo) coa*+(if— ^o)coêC+(J - «o)cos>]coff cT *
dans lequel cos^ ;= ro«a oosX -f- cosê cos|u + cosy cosv ,' et de cette seule remaix[ue on déduit immédiatement les valeui*s de x^y^ z, qui, substituées dans la seconde des équations F(j:, y^ ^) = ^9 fournis»ent Téquation en f , iQ , ^ propre à représenter la surface conoïde.
Si Ton prenait pour directrice la droite qui aurait pour
équation = — = • on trouverait
^ ces A cos^ cosy
cos/
Telle est Téquation du paraboloïde hyperbolique engeu* drépar une droite qui se meut en 8*appuyant sur les deux droites
coftM cosC cosy cosA cos^ cosv
et de manière à rester toujoUlrs perpendiculaire à la première de ces droites.
Lorsque la surface conoïde doit être circonscrite'à une autre surface u = o^ on peut prendre pour directrice la courbe do contact de ces deux surfaces représentée ellemême par les deux équations
.du . du ilu ''
: /du du du \
ou u = o, if-a:)^-h(,-:r)- + (Ç-z)-=:o.
Dans Tun et Tautre cas , la courbe de contact de l'hyperboloïde et de la surface cylindrique serait plane, et son plai^ serait représenté par Féquation
xcostt rcos^ zcosy
Si Ton demandait Téquation de la surface cylindrique circonscrite au paraboloïde elliptique représenté par Té-
quation — -f- ^ =: 2 - , on trouverait que le plan de la courbe de contact a pour équation
— cos« +Y~cosi» =:-cosy,
et que les coordonnées | , y? ^ ^, d'un point quetebnque de la surface cylindrique satisfont à la condition
On tirera de ces deux équations, jointes â celle de la génératrice ,
fcostf ifCosC cosy î* »* Ç
CCS* COSC COSy COS*a COS*b ^COStf 9COS^ cos
fcos« ifCO§€ COSy Y
a"^ b^ c cos'tf cos*C
Si au lieu du paraboloïde elliptique on considérait un paraboloïde hyperbolique représenté par la formule
l'équation de la surface cylindrique circonscrite deviea-
et par suite
OU, ce qui revient au même,
-<-'•'- 77 [«*- (Ç - «o)'! + *î -^- ri }'= 4& +J'o) (f*+ ••)•
Telle est Téquation de la surface de révolution qui , ayant pour axe l'axe des z , est circonscrite à Tellipsoïde de révolution donné. .*
Si Taxe de la surface de révolution coïncidait non plus avec Taxe des z^ mais avec la droite menée par un point donné {x^^ y^^ ^o)? ^^ manière à former avec les axes certains angles a , 6 , y, les coordonnées Ç , yj , Ç du cercle générateur passant parle point (x, y^ z) de la directrice, vérifieraient les deux équations
(î — x) CCS fit 4- {n — y) ces €^ -h (Ç — z) cosy = o,
(f-a:o)'-f-(f-ro)'+(Ç-^o)»=(x-a:o)»+(r-ro)'-f-(3~3o)% -
et la surface de révolution circonscrite pourrait être considérée comme ayant pour directrice la courbe représentée par les équations
«>> [(r— ro)cosC— (2— «o)cosy] — -I- [(a— «o)cos« — (a:— aro)cosy] J^
