x--j?o)cos^— (7— jro)co

flZ

Ces applications suffisent pour montrer la marche à suivre dans chaque cas particulier.

42?. CALCUL DIFFÉRENTIRI..

et par suili!

Cela posé, si entre celte dernière formule et les équations de la directrice on élimine x, jr, z^ réquation résultante qui renfermera seulement Ç ^ >? ? Ç «era pi-écîsément celle de la surface conique.

Exemple : Si la directrice est la courbe plane Aar-f-Br+CzzzrK, F(j:,j, ») = i>, on aura

et par suite

Aa:„+By„+Cïo— K

j?=:Xo— (f — JPoj

A(f- Xo)-f-B(, -7o) +C(C-3or

^ — Jo — V" — 7o; T71

3 = «o — (Ç — ao)

A(f-Xo)+B(i, -jJ+C(Ç-z„)' Aaro+Bj'„H-C3o — K

A(e-*o)+B(i,-ro)+c(Ç~3p) •

En substituant ces valeurs dv jt, 7, z, clans Téquation % F(x^y^ z) = o , et posant

Aj?„+B/„+Czo — K

A(e — a;«)-j-B(i| — rJ+C(Ç — Zo) ou trouvera pour Téquation de la surface conique

F[x„ — (f--a:„)U, Xo — {*t—Xo)Vy 3o — (Ç — 3„)U]=o.

Lorsque la directrice lîsl comprise dans le plan :xy et rt*prés(»nlée par les formules s = o, F(.r, y) = o , rccjua-

TREWTE-HI'ITIÈME LEÇON. 4^5

-, ^ , , dx dr ftz

tirera de ces deux équations --= — =:—, et puis^joe

diflërentielles dx^ dy^ dz doivent vérifier rëquadon =^pdx+pdj ^ on aura définitivement

Ile est Téquation aux dérivées partielles de toutes surfaces que peut représenter Téquation w = ^(y)^ qui sont engendrées par le mouvement de la ligne = c, IV = ç(c). Cette équation aux dérivées par* lies ne renferme plus la fonction arbitraire indiquée pla lettre y, mais seulement les dérivées partielles de z, oîr, p et {/ avec les quantités P, Q, R qui sont des ictions déterminées des variables x^jr^ z, Dn peut parvenir directement à l'équationP^-f-Q^^R, éliminant par une double difTérentiation la fonction f. : effet, différentions l'équation tv = (^{y) en regardant ir à tour a: et z ou j^ et z comme seules variables, il

ïndra

dw dw dp {y) fdv dv \

di^d^^^ 1iir\dl:^ Jz^J' dw dw dçiy) (^^ ^^ \

d^ '^dz "^ ^ "ST ^^ "^ jz^y

I divisant ces deux équations Tune par Tautre ou les

iltîpliant en croix pour éliminer— ~^, on retrouvexii

quation P^ + Q7 = R.

On |X)urrait encore établir cette équation en cousidéit uji point quelconque (x^y^- z) de la surface w = (f(i^) observant (jue si Ton mène à ce point une normale à la [•face et une normale à la génératrice, ces deux droites T)nt perpendiculaires Tune à l'autre. En effet, les cosîs des angles que forment avec les axes la normale et la igeiite sont proportionnels, d'une part, aux quantités ^, — I, de Tauti-eanx valeurs de rir, dy^ dz tirées des

4M CALCUL DiFFÉftENTIEL.

égard à cette équation, on trouvera

^«^ 1 ^«' I *oî ',^ . i m l

«-^ + 1 + .^ - • (— )^+fro-r)^+(»o-4

a» "•"*•• I^" e^ par suite, ^

Telle est Téquation de la surface conique circonscrite a Tellipsoïde. Cette même équation peut être présentée sous une forme plus simple. Soient Rq le rayon vecteur mené du centre de Tellipsoïde au sommet de la surface conique^ a, 6, y les angles qu'il fait avec les axes; R la partie de ce rayon vecteur qui représente le rayon de Tdlipsoïde; l'extrémité de ce rayon aura pour coordonnéei R cosa , R cos S , R cos y , et Ton aura

co8*« cos'C ces* y I

^o=RoCOS«, J^o = RoCOsC, 2o = RoCOSy,

et l'équation de la surface conique deviendra

/çcos* ^cos^ Çcosy LY — /-î L^ /^^j-^*-i ?! — 1\

\ a* '^ b^ "*" r> Ro/ ""VR* rJ V/i*^* c' /

TREMTK-Ui:iTl£MË LEÇON. 4^7

Téquation aux dérivées partielles sera donc

Onrétablirait directement en exprimant que le plan tangent à la surface conique passe toujours par le sommet. En effet, si l'on nomme |, r^, Ç les coordonnées courantes du plan tangent mené à la surface par le point (jr, /, z)j son équation sera

et si ce plan -doit renfeimer constamment Iv. poinl i^^o^Jof -o)? on devra avoir

2 — «o = pi-^ — ^o) -+- <y(r — jo).

Dans le cas particidier où le sommet de la surface conique coïncide avec l'origine des coordonnées , l'équation aux dérivées partielles de cette surface se réduit à z .= px + (fj^. Celte dernière écjuation est celle que fournit le tliéoré^ne des fonctions homogènes dans le cas où Ton suppose que la fonction dcsvaiîables x^ r, dcsignée par z , est homogène et du premier degré.

3"* Exemple. On demande l'équation aux déiivées partielles d'une surface couoïde. Si cette surface a pour axe l'axe des z , la génératrice sera l'cpi'éstîntée par les

équations - = c, z = ç(r), d'où Ton tire

dx dr

— = — ,• dz = o,

et Ton conclura de ces dernières que l'équation aux (k*rivées partielles de la surface conoïde est/^x + ^jy =o. Cette équation est précisément celle qui exprime qiu» l'ordonnée s est une fonction homogène et du di^gré o des variables j:,j^. On peut l'établir encore ehsTCcmarquant que si parle point (x^y^ z) on mène un plan tangent à la surface couoïde, ce plan reoiermera la génératrice tout

Ainsi , par exemple, si Ton prend pour directrice FeU lipse x = a, — + — =i,la surface conoïde sera repré-

sentée par Téquation -757 + ^ = i , à laquelle 011 Tparviendrait aussi en prenant pour directrice le cercle

Supposons maintenant que la siuiace conoïde doive être circonscrite à une autre surface u -= o. Les coordonnées d'un point quelconque de la courbe de contact devront vérifier les équations

^da . ^du . ^du qui , parce que Ton «i

se réduisent à

^ , du

Cela posé, pour obtenir Féquation de la surface conoïde il ne restera plus qu'à éliminer x,jr, z, entre les quatre équations

i n V du ^ du

- = -, Ç = », a = o, ar -— -f- ^ — =s^>. X X dx dy

Concevons en particulier que la surface conoïde doive être circonscrite à Tellipsoïde

(x-xo)* ,(r~ro)* («-^)*

1 équation x ^ + J 5~ ^^ ^ deviendra

TaEHTE-HiaTlEME LEÇON. 4^9

lions, ou trouvera pour l'équatiou aux dérivées parlieUes de la surface conoïdc

(j^--ro)cos» — {%—Zo)cosÇ-\-p[{j^ — arojccso— (/— j-o)coa«

cos« -h p cosy

(g — gp) cosfli — (x — jeb)cosy -j- g [{x — JqJcosC— ( j — jo)cos •]

cos«-f-yo06y

On peut ^ésentcr cette équation sous une fonne plus simple^ pour csela éliminons dz^ i^ entre les équations

co&mdx -H cosmdjr -\- cosydz = o, cosldx -h cosmdjr -h co$ndz =. o;

a** entre les équations

dz = pdx -f- gdj' et cos/dLr H- cosmdy ■+- cf^ndz =r o;

nous trouverons de cette manière

cos«cos/i — cosycos/ cosCcos/i — cosycos///

ces/ -h/jcos/i cosiw -f- ycos/i

De plus , en ayant égard aux équations ^

GOStfCOS/ + COSC COS//I + cosy C08JI = o , {x — JPe)cOS/ -H(/ — Jo)cOS/ll -4- (z. — Zo)cOS/i=r o,

et égalant chacune de ces fractions k la fraction que Ton obtient quand après avoir multiplié haut et bas les deux termes de la première par cosa , et les deux termes de la seconde par cosS, ouïes deux termes de la pit^mière par X — JE^o 5 ^^ '^s deux termes de la seconde par jr — ^ç, on divise la somme des numérateurs par la somme des dénominateurs, on trouvera

cosn — cosycos/ co$Ccos« — cosycos/it cos'a ■+- cos'C -f-'cos'

cos/ -f-/^cos« ces m -H 7 ces /i /?cos« -H ^cosC — coî

(-g — jtq ) cos<6 4- ( ,> ~Jo ) costo -j- (s — Zq) cosy

43o CALCliL IJIFFÉnilTS'TîEL.

(1esc|uel]cs OU lire