COS/I
*~ {x—Xo)cosC (j — ^o)«»«'
Les deux équations de la génératrice qui passe par le point (x , y, z) de la directrice seront dès-lors
(f — xjcoSa + (9 — J^)C06^ + ({ — z)coSy = O, [(^— 7„)cosy — (5 — a«)cosC] (f -«j;)
+ [(z— 2o)cos« — (*— J?o)cosy](if— r) y = «'i 4- [(x — j:o)cosC — (r— ro)cos«](Ç— a)
(a pour obtenir Féquation de la surface conoïde , il suffit d'éliminer x^ j^ z entre ces deux dernières équations et les équations de la directrice. On peut, dans la seconde des équations de la génératrice, substituer les coordonnées $ , >j , Ç aux coordonnées a: , ^, ^ , ce qui donne
[{^ — ro)co»y — (Ç — «to)cosC](| ^ x) i
+ [(Ç — ^) <^os« — (^ — Xo)cosy] (i — x) V = 0.
+ [(ê — .ro)coso — (u ~ro)cosa](Ç-- z) J
Or de cette dernière formule réunie à Téquation
(f — jcjcosa + (»i — j)co8» + (Ç — z)gos7 = o,
on tire è—j:
(f — .ro)— [(f— «o}cos«-t-(«y— ro)cosb + (Ç-— Zo)cosy]cos<
(v— /o)— [(? — -ï^o) COS« + (9 — ro) COsC+(Ç— CojCOSy] COS*
(Ç — 2o)— [(f— J^o)cos«H-(»— .ro)cosf+(Ç — 2;o}cosy]cosy
Lorsque la directrice est piano et représentée par les é(jualîons X cosX + j cosfi + z cosv = K , F(x, 7^, z) = 0. chacune» des fractions <[ui précèdent est équivalente au
TRENTE-HUITIÈME LEÇOfiT. ' 44 <
et pour que sa projection sur le plan xy passe par l'origine, il suffira que ses équations soient vérifiées quand on y fera \ = o, y? = o, ce qui donne
- = "i-, ou - = -.
Supposons maintenant que Taxe de révolution coïncide ivec une droite menée par le point (x^^y^^ Zq)^ de manière à former avec les axes les angles a, 6,. y; le cercle générateur aufa pour équations
XC0S4 -f- jr cosff -h »C0Sy = c,
(jC— j?o)* -4- {jr — Jo)' -f- (2 — «o)* = (P{c)y
d'où Ton tire
(j?— Xo)àx^ {y — /o)^r + (^ — «o)<fc = 0, cossiir -f- cosQdy -h cosyd^ = o , '"*'* et par suite
dx • dy
[y — Jojcosy — (» — Zo)co9C"" [z — Zo)cos« — (a: — Xo)cosy
dz [x — Xo)cosC — [y — 7o)cosflt'
combinées avec TéquatioiTi dz = pdx -|- qdj^ ces deraières équations donneront
p [( ^— ro)co6y — {z — Zo) ooeC] -\-q f (a -^ z©) cos « — {x — a:o)cosy]
= {x — Xo)cosC — {y — /o)co8«.
Telle est Téquation aux dérivées partielles des surfaces le révolution.* On pourrait encore établir celte équaion en exprimant que la normale menée k une semblable iurface par un point quelconque {pc^y^ z), rencontre touoiws l'axe de révolution. En jpfTet, si l'on nomme $, y?, Ç es c(x>rdonnées courantes de cet axe , on aura
i — Xq fi—yo C — ^
cos« cosff ces y
Cette dernière équation exprime qu'en chaque point de la courbe de contact la génératrice de la surface conoïde et la normale de la surface u = o se coupent à angles droits.
215. Proposons-nous enfin de faire passer une surface de révolution par une directrice donnée. Si cette surface a pour axe Taxe des z , les coordonnées | , yj , ^ du cerde générateur, passant par le point {x y y^ z) de la directrice, vérifieront les deux formules ^ * + yj' = ar* "Hj^*? ?^ = ^ 5 donc, si entre ces formules et les équations de la directrice on élimine x, j^, z^ Téquation résultante qui renfermera seulement { ? >7 , (^ sera précisément celle de la surface cherchée.
Supposons maintenant quèla surface de révdution doive être circonscrite à une autre surface représentée par l'équation u = Oy Alors on pourra prendre peur directrice la courbe de contaèlMes deux surfaces, qui s^a repfé>sentée elle-inêmè par les deux équations
du du
' dr -^ dx
Concevons, pour fixer les idées que la surface u =ose réduise à l'ellipsoïde de révolution
1 équation x — y-— = o se réduira a — = -:- : on
^ dx ^ dy Xo yo
aura
•^o ~" ro . ~ \/xi+xi
TRENTE-HUITIÈME LEÇOBT. 44^
hlej^ en suivant la marche que nous avons indiquée dans la dix-neuvième leçon. On en conclura, i® que si les équations de la génératrice renfermentime seule fonction arbitraire f(c), Télimination conduira à une seule équation aux dérivées partielles du premier ordre ; n^ que si les équations de la génératrice renferment deux fohctîons arbitraires (f(c)j x(^)' l'^lioiîiiâtion produira deux équations aux dérivées partielles du troisième ordre ^ 3^ que si les équations de la génératrice renferment trois fonctions arbitraires f (c) , x(^)' ^C^)' l^élimination conduira à trois équations aux dérivées partielles du cinquième ordre ; 4** qiic dans le cas où les deux fonctions )^(c) , <Ji(c) seront les dérivées première et seconde de la fonction f (c), l'élimination produira une seule équation aux dérivées partielles du second ordre, entre les variables x, j^ z, de sorte que la surface décrite par la génératrice^ sera représentée par une équation aux dérivées partielles du second ordre , qui ne renfermera plus la fonction <f ni ses dérivées. Parmi les surfaces de cette nature, on peut remarquer celles qui auront pour génératrice la normale principale d'une courbe à double courbure dont les équations seraient de la forme
/(x) désignant une fonction donnée, et (f{x) une fonction arbitraire.
248. I*' forem/^/e .'Considérons la surface développaMe qui aurait pour génératrice les diverses tangentes que Ton peut mener à une cottrt>e à double courbure. Si l'on représente par
la courbe dont il s'agit, la droite qui touchera cette courbe au point dont les cooitlonnées seront
Equations aux dcrifëes parlieltos des surfaces cngendroes par le
mouvement des lignes.
216. Considérons d'abord la surface engendrée par le mouvement de la ligne représentée par les équations i^ = c^ w = ç(c). Si Ton nomme p cl g le& valeurs des
dz fiz
dérivées partielles— et— que fournit Téqualion de la
surface , dans le cas où Ton regarde x^y comme variables indépendantes , et z comme une fonction de ces deux variables, on aura
dz = pdœ + fjtfyy
et cette dernière équation sera toujours satisfaite quand les coordonnées x^ y^ z varieront de manière que le point (Xjj^, z) décrive une courbe comprise dans la surface dont il s'agit. Or si la courbe en question se confoiid avec la génératrice de la surface , elle aura pour équation i/z=c, TV = C)(c), et les différentielles de ses coordonnées vérifieront les formules
dv ^ dç , dv , dw ^ dw , dw ,
-r- dx -\- -r dy -^ -r dz z=z Oy -j- dx -\- --r- dy -h -y dz = o:
dx dy dz dx dy dz
eu faisant, pour abréger,
dv dw dv dw dv dw dv dw
dy dz dzdy^ dzdx dx dz''
dv dw dv dw
dx dy dy dx*
TREKTE-HUITIÉME LJBÇON. 44^
-T- OU de -r- seront égaux dans lés deux membres , et Ton rix dy
lura par suite
puis Ton conclura, en éliminant la quantité c,
rt = s*.
Ainsi, quoique les équations de la génératrice d^une surface déreloppable renferment deux fonction» arbitraires »t leurs dérivées du pi^emier ordre, cette surface peut être représentée par une équatîbn aux dérivées partielles qui [16 renferme plus de fonctions arbitraires , et qui soit du »eoond ordre seulement.
Ql^^ Exemple : De la surface gauche engendrée par une droite qui glisse sur deux directrices quelconques
t'(*?/>«) = o>/(jP»r»«) = o et F,(x,7,2)=o,/,(x,^,z) =o,
en restant constamment parallèle à un plan fixe.
Nous prendrons le plan directeur pour plan ocj. Dèslors, pour construire la surface il suffira de couper les deux directrices par divers plans horizontaux et de joindre les points de section par des droites. La surface sera gauche en général , c'est-à-dire que deux positions consécutives de la génératrice ne seront pas dans le même plan. Les équations de la génératrice seront d'ailleurs de la forme j^ = aa:-f-6, z = y. Pour que cette droite s'appuie constamment sur les deux directrices données , il faut de plus exprimer que les quatre équations
d'une part , et de l'autre les quatre équations
y=ttx-^-C^ 2 = y, F,(j?, j, z)=:o, /,(x, j, z) =0,
sont vérifiées par les mêmes valeurs de x, j^, z. En éliminant X ^ y^ z entre chacun de ces deux systèmes de quatre équations, on arrivera à deux équations de condi-
:\'M) CALCUL mPFÉRBMTtRL.
équations de la génératrice, et par conséquent à P, Q, R; donc, puisque le cosinus de Tanglc des deux droites doit s^évanouir, on aura
^p-hQq —K=o ou P/>-hQy = R.
1*' Exemple : Concevons que Ton demande Téquatioii aux dérivées partielles d'une surface cylindrique. Si Ton noiume a , 6 , y les angles formés par la génératrice avec les axes, ses équations seront
* Xo
cosC
4, ■ Zo
~~ CO«y '
et
Ton
en
tirera
tix
«îr
eh
cos« cosC cosy
de sorte que Téquation aux dérivées partielles des surfaces cylindrique^ sera
cosy = pcosa -\- ^cosv.
Pour rétablir directement il suffirait d'exprimer que la normale menée par un point quelconque d'une surface cylindrique forme un angle droit avec Tune quelconque des génératrices de la surface.
^me Jixemple : On demande l'équation aux dérivées partielles d'une surface conique. En appelant x^, j^,, z^, les coordonnées du sommet , les expiations de la génératrice seront encore
ù l'on tire
X — Xo
cos^
cos«
cosy '
dx ros*
cosC
dz cosy'
et.
par
suite.
dx
y—ro
dz
atYcc colles des deux directrices, on obtiendra les deux relations
et il s'agira d'éliminer a , 6, y, entre les quatre dernières équations.
Or si d'abord on élimine a, y, il vient
d'où il résulte, en éliminant 6 entre celles-ci,
Cela posé , si l'on conserve le môme signe aux radicaux dans les deux membres , ce sera exprimer que la droite mobile glisse sur les deux courbes en passant toujours par
deux points situés d'un même côté du plan zx , car ces radicaux sont les valeurs de l'ordonnée y dans les deux courbes ; alors l'équation de la surface se réduit k
(^h—Â)cY = [{b^ c)x+cA— ^AJV/'c» — s»
et représente un conoïdc dont toutes les génératrices vont
percer le plan zx en des points situés sur une même verticale placée en dehoi^ des deux courbes , et que l'on obtiendrait par conséquent en faisant glisser la génératrice sur cette verticale et sur l'ellipse.
Lorsqu'on adoptera des signes différents pour les radi- <:aax dans l'équation de la surface , elle conduira à un conoïde analogue, maisdont l'axe sera entre les deux courbes, parce qu'alors on exprimera que la génératrice traverse
le plan zx entre les deux points où elle s'appuie sur la directrice.
Si avant d'éliminer è on n'avait pas résolu les deux équations qui contenaient cette indéterminée, on serait
438 CALCUL DIFFÉEEfITlEL.
entière, et, par conséquent, le point d'intersection de la génératrice avec l'axe , c'est-à-dire le point qui sur cet axe répond à l'ordonnée z. En effet, si dans l'équation du
plan tangent z — ^ = p(x — l) + ç(y — ri) j on pose
f=ro, j| = o, Ç=z, on trouve px 4- ^J^ = o.
Supposons maintenant que l'axe de la surface conoïde coïncide avec une droite menée par le point (Xq, y^,, z^), de manière à former avec les axei^les angles a , 6 , y ; la génératrice pourra être représentée par let équations
{x — ar„)cos/ -f- [x — jo)cos/ii -f- (z — So)cos/i = c, ^cos« -f- jrcosf -h zco%y = ^(c),
qui donneront par la diiférentiation
cosmda: -\- cosCdjr -f- cosydz = o, cosidx -h co&mdjr H- coêndz ■=: o ,
les cosinus des angles /, m, n étant d'ailleurs déterminés ^^jpar les équations
