COS/ COS

{y — Jo)co8y — {z — z„)cosC [z — Zo)cos« — (x — Xo)cosy

cos«

[x — a:o)cosÇ — {y — ro)cos»

on en conclut

[(jr —y o)cosy— {z — z„)c(^Q]dx \ -+- [(z — Zo)cos« — ix — Xo)cosy'\dy \ = o; H- [(x — Xo)cos^ — (j — /o)cos«]rfz )

et en substituant pour dz sa valeur dz = pdx + €{dy^ (cos« -f- p cost?) dx -h (ces» -i- q cosy) <// = o ,

{ (r — /"o) co» y ^ («— «o) C08 6 -»-/?[(x — jTo) co» C — (r— ^o) cos et ] } <fr

H- [ (« — «o) COë a — (x — Xo) c3l >-h^[(x— Xo)c08 6— (>-— 7'o)cos «] }<(r= «» i

si maintmant l'on élimine ^/.r (H r/^ entre ces deux cqua-

TREITTE-MKUVIÈME LEÇON. 449

TRENTE-NEirVIEBIE LEÇON

Equations finies des li|pies et des suriaces enveloppes.

2S0. Considérons une courbe tracée dans le plan xy et dont Téquation

renferme avec les coordonnées x^y \xa paramètre variable a^ en sorte qu'on ait

Si Ton donne successivement â a une infinité de valeurs différentes, Téquation

représentera Tune après Tautre une infinité de courbes enveloppées par une courbe unique dont il s'agit de trouver Téquation. Pour y parvenir, j'observe d'abord que si l'élimination de a entre les deux équations

produit la suivante

cette dernière formule i*ésultera aussi de l'élimination de T. I. 29

>eù eniiu

=(/?cos«-f-^cosf-cosy)[(a:-aro)cos«-4-(j-j'o)cas^-4-(z-2o)Cosy].

Telle est, sous la forme la plus simple, Féquation aux dérivées partielles de la surface conoïde. Pour établir directement cette équation , il suffira de projeter la distance du point (XqïJ'oj ^o) ^^ point (pCjjr, z)^ 1** sur Taxe de la surface conoïde \ 7? sur la normale men^ à la surface par le point (x^y^ z)^ et d'observer que la seconde projection devant être égale en longueur à la perpendiculaire abaissée du point (Xq, j^^? -^o) sur le plan tangent, a nécessairement pour mesure le produit de la première projection par le cosinus de Tangle aigu compris entre la normale et Taxe.

4"* Exemple. On demande Téquation aux dérivées partieUes d'ime surface de révolution. Si cette surface a pour axe l'axe des z , le cercle générateur sera représenté par les équations a:*+jr*=c, z=^(c), d'où Ton tirera

xdx -h ydy :=r o, dz = o.

Ces écpialions, combinées avec l'équalion riz ^zpdjc-^-qdj^

donneront - = -. On arriverait à la même conclusion

en observant cfiie , dans l'hypothèse admise , la noraiale menée à la surface par un point quelconque (a:, y^ z), doit toujours rencontrer l'axe des z, et qu'en conséquence, la projection de la normale sur le plan ocj doit passer par

l'origine. En eflet , si l'on nomme f , 7; , ^ les coordonnées courantes de la normale, cette droite sera représentée par la formule

et réliminatîon de a produira Téquation de la courbe en veloppante.

Au reste , on peut s'assurer directement que les deux courbes représentées par Véquation u = a^ i^ quand on suppose a constant , o? quand on prend pour a une fonction de a: et j" déterminée parla formule

se touchent dans tous les points qui leur sont conmiuns. En effet , pour «tous ces points les valeurs de ^ tirées des

équations des deux courbes sont évidemment les mêmes et

j r . , , du du dy

sont données par une même équation -7- -+- t- -r- = o.

* ^ dx dy dx

Applications. Si à la courbe qui a pour équation

on mène par le point dont Tabscisse est x, une tangqpte et une normale , les équations de ces deux droites seront respectivement

, ^ (j,) (f x) ^' (x) = o , f — 2: -h [jf — (p(x)] <p' (x) = o.

Par suite la tangente ella normale qui répondent au point dont Tabscissc est a seront rcpréseiilécs par les doux équations

y — (p («)— (f — «) <p\fi) = Oy

Si entre la première do ces é<]uatioiis et sa dérivée prise par rapport à a^ savoir.

D^ailleurspourquc la normale rencontre Taxe, il faut qu'un même système de valeurs de ^, y}, ^ satisfasse à ces équations

et aux équations de la normale = •- = f — - :

or, si Ton substitue dans les éqii^ons de Taxe les valeurs de ^ et de y? , tirées des équations de la ^lormale, on trouvera

cos« cosC COSy

(x — Xo)(cosC-i-ycosy) — (j— J^o)(cosct-f-/?cosy)H~(z — go)(/>cosC— ^ai

ce qui exige que Ton ait

{x — aro)(cosC -f- q CWy)— (j ~7o) (cos* -H/? cosy)

-h (z — Zo) (pcosS — qcosûi) = 0.

217. Si Ton faisait mouvoir dans Fespace, non plus la ligne que déterminent les équations i-* = c, w = ^c), mais celles que déterminent les formules

la surface engendrée par le mouvement de cette ligue pourrait encore être représentée par une ou plusieurs équations aux dérivées partielles qui ne renfermeraient pas les fonctions arbitraires ^, ;^, ^, etc. Seulement ces équations aux dérivées partielles seraient eu général d'un ordre supérieur au premier. Ajoutons que pour les obtenir il suffit, dans les deux équations de la génératrice, de considérer z et c comme des fonctions des valables indépendantes x^ y ^ puis d'éliminer les quantités

de de d^c d^c d*c

' dx' dy' dx\' dxdr' dy^' "'

t'utreces éc[uati(ms et celles qu'on en déduit par des dilîiérentialions r<»lalives, soit à la \ariable .r, soit à la varia-

TREIHTE-KBUVIEME LEÇOK. 4^^^

D'ailleurs a -f- 6 = K donue da -^^ dû = o. Donc

doue

-. = ^. , V^=rr et I -1 -f- ( r-r 1 = I.

û3""K' 63 ""K ^' VK.; ' v.kj ^